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專題 10 解三角形中的范圍問題
【湖北騰云聯盟2024屆高三十月聯考T8】在銳角中，角的對邊分別為，且的面積，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
由面積公式結合同角三角函數的基本關系得出，
法一：由正弦定理的邊化角公式結合三角恒等變換得出，由銳角三角形的性質結合三角函數的性質得出，進而得出所求范圍.
法二：由積化和差公式得出，結合地位平行對稱以及三角函數的性質得出，進而求出范圍.
由，得，可得，
兩邊平方，可得，
整理可得，
可得，則．
法一：由正弦定理得：
，其中．
，即，
，
，
，故選B.
法二：．
由題設知地位平行對稱，不妨設，
為銳角三角形，，
，
，，
，故選B．
1．在中內角，，的對邊分別是，，，面積為，則的最大值是 .
2．在中，角，，的對邊分別為，，，且，的外接圓半徑為，若有最大值，則實數的取值范圍是 ．
由三角形面積公式以及三角恒等變換得出，
法一：利用極限思想得出范圍，再由余弦定理結合對勾函數的性質的取值范圍；
法二：由正弦定理以及三角恒等變換得出，由極限思想當時，，從而得出范圍，進而得出的取值范圍；
由，得，可得，
即，得，則．
法一：
在中，．
在中，．
是銳角三角形，．
令，則．則，
易知在區間單調遞減，在區間單調遞增．
．
的取值范圍是．故選B．
法二： ，
由題設知地位平行對稱，不妨，
為銳角三角形，，
當時，，
則，，
，
，故選B．
3．已知的內角，，的對邊分別為，，，角為鈍角，設的面積為，若，則的取值范圍是 ．
4．已知在中，，為，所對的邊，，，.則的最大值為
由三角形面積公式以及三角恒等變換得出，
法一：由余弦定理得出，再由三角函數的性質得出范圍，進而求出范圍.
法二：由余弦定理得出，由銳角三角形性質以及余弦定理得出范圍，進而求出范圍.
由，得，同解法二得，
逆用正切的半角公式，可得，
再由萬能公式，可得．
法一：由余弦定理得：
．
，
又，
，故，
，
，故選B．
法二：令，則，
由，可得，
為銳角三角形，
解得，即，
，故選B．
5．銳角中，角、、所對的邊分別為、、，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．的外心為，三個內角、、所對的邊分別為、、，，，則面積的最大值是
7．在銳角中，角，，的對邊分別為，，，記的面積為，若，則取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．已知銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若且外接圓半徑為，則△ABC周長的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．在銳角中，角的對邊分別為為的面積，且，則的取值范圍為（　　）
A． B．
C． D．
10．在銳角△中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
11．在銳角中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，若，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
12．在銳角三角形ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，a＝1，則△ABC面積的取值范圍為
A． B．
C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】根據三角形面積公式及余弦定理，化簡，再利用均值不等式得出，設，利用導數求最大值即可
【詳解】（當僅當時取等號）.
設，，則，令得，不妨設且，當時，，當時，.所以當時有最大值，此時，所以.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵在于應用三角形面積公式及余弦定理，化簡所給式子，再利用均值不等式是解題的關鍵，難點在于利用導數求函數的最大值，屬于較難題目.
2．
【分析】根據正弦定理、余弦定理化簡得到，再利用正弦定理與三角恒等變換將化簡為，再根據存在最大值，分析的范圍列式即可
【詳解】由已知及正弦定理可得，整理得，由余弦定理得，又，得，由正弦定理得，
，
其中，又，
若存在最大值，即有解，即，
解得，即的范圍是．
3．
【分析】先根據得出，所以，
，，
進而可得，最后根據三角函數的有界性進行計算即可.
【詳解】根據題意，得，所以，所以，又B為鈍角，因此，所以，，所以，于是
，因為，因此.
故答案為：.
【點睛】本題考查余弦定理在解三角形中的應用以及三角恒等變換的應用，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于常考題.
4．
【解析】由于，根據平面向量平行四邊形法則，得出D點為的中點，結合正弦定理可表示，，然后代入后結合輔助角公式進行化簡，再結合正弦函數的性質可求．
【詳解】解：已知，，，
顯然D點為的中點，設.
根據正弦定理，得，
∴，，，
∴
為輔助角）．
故答案為：.
【點睛】本題考查利用三角函數的性質求最值，還涉及正弦定理求解三角形以及輔助角公式的應用，考查計算能力.
5．B
【分析】根據正弦定理，結合可求得角B．又由三角形為銳角三角形，求得角C的取值范圍，即可求解．
【詳解】由正弦定理得，
又
故選B.
【點睛】本題主要考查正弦定理和正弦兩角和差公式的應用．正弦定理和余弦定理在解三角形中應用比較多，這兩個定理和其推論一定要熟練掌握并能夠靈活運用，注意銳角三角形中角的范圍的確定，是本題解答的關鍵，考查計算能力，邏輯推理能力，屬于中檔題.
6．
【分析】取邊的中點，作邊的中線，由三角形外心和中線的性質，將化簡，即可由余弦定理求得，再由和余弦定理，借助基本不等式求得的最大值，即可求得三角形面積的最大值.
【詳解】
取邊的中點，連接、，
∵為的外心，
∴，即，
∵為邊的中點，
∴為邊的中線，，
∴
，
又∵，
∴，整理得，
∴由余弦定理可得，∴，
又，由余弦定理，即，
∴由基本不等式，即，當且僅當時，等號成立，
∴的面積，
即當且僅當時，面積的最大值為.
故答案為：.
【點睛】解決向量與解三角形綜合問題，重點在于將向量與三角形中的幾何關系轉化為三角形邊、角的數量關系，再結合題目進行求解即可.
7．D
【分析】利用余弦定理、正弦定理，三角形面積的正弦表示以及三角恒等變換化簡得出，利用為銳角三角形求出角的取值范圍，由正弦定理結合三角恒等變換可得出，利用二次函數的基本性質可求得的取值范圍.
【詳解】由題意得：，得：，
又，得：，
由余弦定理得：，化簡得：，
由正弦定理得:
，
因為：，則：，
又因為正弦函數在上單調遞增，所以：，即：，
則：，
因為為銳角三角形，則：，解得：，則：，
所以：
，
令：，則函數在上單調遞增，
故，故D項正確.
故選：D.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用三角恒等變換與解三角形的相關知識化得，從而得到的取值范圍，進而利用正弦定理的邊角變換與三角恒等變換即可得解.
8．C
【分析】根據題意，化簡得到，求得，得到，且，又由外接圓半徑為，化簡得到，結合三角函數的性質，即可求解.
【詳解】因為，由正弦定理的
又因為，可得，
所以，
即，
因為，可得，可得，即，
解得或（舍去），
因為，所以，則，
又因為外接圓半徑為，所以，
又由
，
因為為銳角三角形，且，所以且，
解得，可得，所以，
所以.
故選：C.
9．C
【分析】
由余弦定理結合面積公式，再應用同角三角函數關系求出，由正弦定理邊角互化，再應用兩角和差公式化簡，最后應用基本不等式及對勾函數的單調性求解即得.
【詳解】中，由余弦定理得，
且的面積為，
由，得，化簡得，
又，，所以，
化簡得，解得，或（不合題意，舍去）
所以，
所以，
由，且，，
解得，
所以，所以，所以，
設，其中，
所以，
當且僅當時，即時取最小值，
令，
由對勾函數可得函數在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，
所以．
故選：C.
10．A
【分析】
由正弦邊角關系、三角恒等變換及三角形內角性質可得，進而有，再把化為并確定的范圍，應用余弦函數性質求范圍即可.
【詳解】由，則，
所以，
則，
所以或（舍），故，
綜上，，且
所以，
，
由銳角△，則，可得，則，
所以，故.
故選：A
【點睛】關鍵點點睛：將條件由邊化角求角的關系，即，再把目標式，由邊化角得求范圍.
11．D
【分析】由，結合正余弦定理求得角，繼而由結合正余弦定理求出，再表示出，，利用三角函數的性質求得的范圍，即可求得答案.
【詳解】由，由正弦定理得,
即有，而，則，
又，
由正弦定理 余弦定理得，，化簡得：，
由正弦定理有：，即，，
是銳角三角形且，有，，
解得，
因此
，
由得：，，
所以.
故選：D
12．A
【分析】由題意首先求得△ABC的外接圓半徑，然后將三角形面積公式轉化為關于∠B的函數，由△ABC為銳角三角形可得，據此確定△ABC的面積的取值范圍即可.
【詳解】由正弦定理可得，，，
，
又為銳角三角形，，即，，
，.
本題選擇A選項.
【點睛】求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉化為關于某個角的函數，利用函數思想求最值.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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