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專題 12 三角恒等變換中的求值問題
【武漢市江岸區(qū)2023-2024學(xué)年高三年級(jí)元月調(diào)考第8題】
已知在中，，則（ ）
A. B. C. D.
根據(jù)三角形內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式化消去，得出，再根據(jù)正余弦的和差角公式展開并分解因式將問題化為求的值，后根據(jù)正弦定理及角的范圍結(jié)合二倍角公式分別計(jì)算得，即可.
由誘導(dǎo)公式及三角形內(nèi)角和可知
，
因?yàn)椋剩裕?br/>故，故，
故，
而，故，
故，
故.
故選：A．
（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）
1．已知，則（ ）
A． B． C． D．
（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)校考期末）
2．已知，且，則 .
先根據(jù)條件確定結(jié)果為正數(shù)，將問題式平方得出，再利用二倍角公式及正余弦和差公式化簡(jiǎn)得出計(jì)算即可.
由已知易得，
所以，
而
，
，即．
（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中校考階段練習(xí)）
3．已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．若，，則 .
法一、構(gòu)造對(duì)稱結(jié)構(gòu)，，利用余弦的和差角公式計(jì)算，得出計(jì)算即可.
法二、設(shè)，得，可分別求出，利用角的范圍及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及完全平方公式計(jì)算即可.
法一、由已知易知，
所以．
記，，
則
，
即，①
即，②
由①－②得，
即．
法二、由正弦定理可得：，顯然，
則，
設(shè)，則有，即，
∴，
再設(shè)，即，
易知，∴，
∴，
（舍負(fù)）.
∴選A
5．1643年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出了一個(gè)著名的幾何問題：已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其到這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心（即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線段兩兩成角120°），該點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知中，其中，，P為費(fèi)馬點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
利用和差化積將問題式化為，根據(jù)正余弦的差角公式展開得，再利用二倍角公式分別計(jì)算即可.
由已知及正弦定理可得，
易知，∴，
由和差化積公式得：原式
易知，所以，
同理，所以，
故原式.
故選：A
6．的值為（ ）
A． B． C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)
（2023上·江蘇蘇州·高三江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）
7．求值：（ ）
A． B． C．1 D．
（2024上·浙江寧波·高一鎮(zhèn)海中學(xué)校考期末）
8．已知，求（ ）
A． B． C． D．
（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）
9．已知，則（ ）
A．2m B． C． D．
10．對(duì)集合和常數(shù)，把定義為集合相對(duì)于的“正弦方差"，則集合相對(duì)于的“正弦方差”為（ ）
A． B． C． D．與有關(guān)的值
11．（多選）若，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知向量，滿足，，則的最大值為 ．
（2023上·海南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
13．的值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式及已知有，再由及差角余弦公式得，最后由和角正弦公式有，即可求結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋Y(jié)合題設(shè)，
所以，而，
所以，
即，所以，
所以.
故選：D
2．
【分析】根據(jù)角的范圍，確定的范圍，結(jié)合，利用二倍角公式求出的值，以及的值，再利用兩角和的余弦公式即可求得答案.
【詳解】由于，故，結(jié)合，
可得，
則，
，
所以
；
故答案為：
3．D
【分析】分別將和分別平方相加求出，然后逆用正弦兩角差公式并結(jié)合倍角公式從而求解.
【詳解】由得，，
由得，，
兩式相加得，，
則，
所以，故D正確.
故選：D.
4．
【分析】將,分別平方再求和即可.
【詳解】由題,,
.
兩式相加得.
故.即.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換.屬于中等題型.
5．A
【分析】設(shè)，則，由正弦定理得到和的關(guān)系式，進(jìn)而得到，設(shè)，得到，進(jìn)而求得，求得，結(jié)合，即可求解.
【詳解】如圖所示，根據(jù)題意，設(shè)，
則，
在中，由余弦定理得，所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
聯(lián)立方程組，可得，所以，
代入上式，可得且，
所以，
設(shè)，則，
由，可得，所以，
又由，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得，
所以，
由，可得，
又由函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
所以.
故選：A.

6．B
【分析】利用和差化積和二倍角的正弦公式可求代數(shù)式的值.
【詳解】根據(jù)題意，
．
故選：B.
7．A
【分析】利用積化和差和和差化積公式，結(jié)合半角公式，誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果.
【詳解】由積化和差公式可得
，
故
，
由和差化積公式可得
，
故
所以.
故選：A
【點(diǎn)睛】和差化積公式：，
，
，
積化和差公式：，
，
，
.
8．D
【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知等式可得，再利用兩角和差的余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)可得，繼而利用三角恒等變換，化簡(jiǎn)求值，即得答案.
【詳解】由題意知，
即，
故，
即，
故，
即
，
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及兩角和差的公式化簡(jiǎn)得出的表達(dá)式之后，要利用拆角的方法，繼而結(jié)合三角恒等變換公式，化簡(jiǎn)求值即可.
9．B
【分析】根據(jù)已知條件利用倍角公式和兩角和與差的正弦余弦正切公式進(jìn)行求解；利用特殊值法也可以直接求解.
【詳解】通解：因?yàn)椋?br/>所以，
即，
所以，
所以，
于是
，
優(yōu)解： 取，
則
，
所以，
則，
故選：B．
10．C
【分析】先確定集合相對(duì)于的“正弦方差”的表達(dá)式，再利用半角公式，兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.
【詳解】由題知，集合相對(duì)于的“正弦方差”為
把，，
，代入上式整理得，.
故選：C.
11．BC
【分析】利用和差化積公式化簡(jiǎn)，從而可求得，即可得出答案.
【詳解】解：因?yàn)椋?br/>所以，
因?yàn)椋裕?br/>從而，
于是，
所以，從而．
故選：BC.
12．##
【分析】
利用向量的運(yùn)算建立平面直角坐標(biāo)系即可得，由得，則，結(jié)合三角函數(shù)設(shè)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值.
【詳解】取平行四邊形，連接

設(shè)，則，
因?yàn)橄蛄浚瑵M足，所以，即，
設(shè)，，如圖以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則
所以，則，故，
所以
因?yàn)椋郑稍O(shè)
即，所以，其中，所以，所以，
故的最大值為，即的最大值為.
故選：.
13．
【分析】根據(jù)兩角差的正切公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式等知識(shí)求得正確答案.
【詳解】
，
所以.
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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