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專題9 三角函數應用中的最值問題 一題多解
【山東省臨沂市2023-2024學年高三上學期期中考試數學試題】某勞動教育基地欲修建一段斜坡．假設斜坡底在水平面上，斜坡與水平面的夾角為，斜坡頂端距離水平面的垂直高度為2.4米，人沿著斜坡每向上走1米，消耗的體能為，則從斜坡底走到斜坡頂端所消耗的最少體能為______．此時______．
由題設條件得出消耗體能，結合斜率的幾何意義以及直線與圓的位置關系求解即可.
設坡為，消耗體能，
令，，
轉化為到斜率.
由題意點在圓上.
，∴
1．函數的值域為 .
2．已知，則S的取值范圍是 ．
表示出斜坡總長，即可求出人從斜坡底走到斜坡頂端所消耗的體能的表達式，求其導數，判斷其單調性，可求得極小值點也即最小值點，結合同角三角函數關系即可求得答案.
由題意知斜坡總長為米，，
則人從斜坡底走到斜坡頂端所消耗的體能為，
即，
故，
設，
當時，即時，，在上單調遞增，
當時，即時，，在上單調遞減，
故時，即時，取最小值，
此時，y的最小值為，
即人從斜坡底走到斜坡頂端所消耗的最少體能為0.7，此時，
故答案為：0.7，
3．如圖，矩形OABC中，，以O為圓心，OC為半徑作圓與OA相交于點D，在BC上取一點E，OA上取一點F，使得EF與相切于點G，則四邊形OFEC的面積取得最小值時，（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料，O為半圓的圓心，，殘缺部分位于過點C的豎直線的右側，現要在這塊材料上裁出一個直角三角形，若該直角三角形一條邊在上，則裁出三角形面積的最大值為 .
由題意得出消耗的體能關系式，法一：由萬能公式結合基本不等式求解即可；
法二：由柯西不等式進行求解；法三：由倍角公式結合基本不等式求解即可.
法一：當且僅當，即，此時“＝”成立
法二：，
即
即，當且僅當取“＝”，即時取“＝”
法三：坡長，消耗體能為：，
當且僅當，即時取得最小值，此時
5．如圖，一個直角走廊的寬分別為a，b，一鐵棒與廊壁成θ角，該鐵棒欲通過該直角走廊，則鐵棒的長度L= （用含θ的表達式表示）；當a=b=2 m時，能夠通過這個直角走的鐵的長的最大值為 .
6．湖北省第十六屆運動會將于年月在宜昌舉行，為了方便宜昌市民觀看，夷陵廣場大屏幕屆時會滾動直播賽事，已知大屏幕下端離地面米，大屏幕高米，若某位觀眾眼睛離地面米，則這位觀眾在距離大屏幕所在的平面多遠，可以獲得觀看的最佳視野？（最佳視野是指看到屏幕上下夾角的最大值）（ ）
A． B． C． D．
由題意得出消耗的體能關系式，借助輔助角公式得出，由三角函數的性質得出，從而得出消耗體能.
設坡長為l，則，消耗體能為，則
即，∴，
設，∴，即
∵，∴，∴，即，
即，∴a的最小值為0.7
此時，∴
7．已知是半徑為，圓心角為扇形,是扇形弧上的動點，是扇形的接矩形，則的最大值為 .
8．為迎接大運會的到來，學校決定在半徑為，圓心角為的扇形空地的內部修建一平行四邊形觀賽場地，如圖所示.則觀賽場地的面積最大值為（ ）
A． B．
C． D．
9．如圖.已知是半徑為，圓心角為的扇形，D是弧上的動點.過點D作，垂足為A.某公司欲建一個風景區，該風景區由和正方形構成，則該風景區面積的最大值為 '.
10．既要金山銀山，又要綠水青山，說明了既要發展經濟，又要保護環境，兩者兼得，社會才能又快又好的發展.現某風景區在踐行這一理念下，計劃在如圖所示的以為直徑的半圓形山林中設計一條休閑小道(C與A，B不重合)，A，B相距400米，在緊鄰休閑小道的兩側及圓弧上進行綠化，設，則綠化帶的總長度的最大值約為 米.(參考數據：，)
11．如圖，某公園要在一塊圓心角為，半徑為的扇形草坪中修建一個內接矩形文化景觀區域，若，則文化景觀區域面積的最大值為 .
12．某地開發一片荒地，如圖，荒地的邊界是以C為圓心，半徑為1千米的圓周.已有兩條互相垂直的道路OE，OF，分別與荒地的邊界有且僅有一個接觸點A，B.現規劃修建一條新路（由線段MP，，線段QN三段組成），其中點M，N分別在OE，OF上，且使得MP，QN所在直線分別與荒地的邊界有且僅有一個接觸點P，Q，所對的圓心角為.記∠PCA＝（道路寬度均忽略不計）.求新路總長度的最小值 ．

13．某市以市民需求為導向，對某公園進行升級改造，以提升市民的游園體驗.已知公園的形狀為如圖所示的扇形區域，其半徑為2千米，圓心角為，道路的一個頂點C在弧上.現在規劃三條商業街道，要求街道與平行，交于點D，街道與垂直（垂足E在上），則街道長度最大值為 千米.
14．某干燥塔的底面是半徑為1的圓面O，圓面有一個內接正方形框架，在圓O的劣弧上有一點P，現在從點P出發，安裝三根熱管，則三根熱管的長度和的最大值為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】設，，得到為單位圓上的動點；令，根據直線斜率的坐標運算得到表示該單位圓上的點與點所在直線的斜率，將其轉化為過點的直線與單位圓有交點，設過點的直線方程為，聯立方程消得到關于的一元二次方程，令求得的范圍，從而求解.
【詳解】由題意得：，
設，，則，
所以為單位圓上的動點，且，
令，即表示該單位圓上的點與點所在直線的斜率.
如圖：

設過點的直線方程為，
即直線與單位圓有交點，
聯立，消整理得：，
所以，
化簡得：，解得：，
所以，
所以，
所以函數的值域為.
故答案為：.
2．
【分析】將轉化為點與點的連線斜率，而點在上，點在上，利用圖像可觀察出S的取值范圍.
【詳解】解：等價于點與點的連線斜率，
點在上，點在上，
如圖：
觀察圖像，當過點的直線和圓相切，且斜率存在時，斜率最小，無最大值，
設該直線為，即，
此時有，解得：
故S的取值范圍，
故答案為：
【點睛】本題考查分式型式子的最值問題，利用數形結合轉化為斜率問題，是中檔題.
3．B
【分析】根據圖中線段之間的關系，將四邊形OFEC的面積表示為關于的解析式，再結合導數判斷其單調性，求最值即可.
【詳解】設，，因為點G為切點，所以，
當與重合時，在Rt中，，
所以，即，所以，
過E作，垂為H，則，
在中，
所以
設，則，
令，解得；令，解得，
所以當時，單調遞減；當時，單調遞增，
所以時，有最小值，即有最小值.
故選：B
4．
【分析】分兩種情況討論：（1）斜邊在BC上，設，則，（2）若在若一條直角邊在上，設，則，進一步利用導數的應用和三角函數關系式恒等變形和函數單調性即可求出最大值.
【詳解】（1）斜邊在上，設，則，
則，，
從而.
當時，此時，符合.
（2）若一條直角邊在上，設，則，
則，，
由知.
，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
.
當，即時，最大.
故答案為：.
【點睛】此題考查實際問題中導數，三角函數和函數單調性的綜合應用，注意分類討論把所有情況考慮完全，屬于一般性題目.
5．
【分析】第一空：根據示意圖及三角函數定義，即可得長度L的表達式；
第二空：根據第一空的表達式，化簡可得，令，根據范圍，可得t的范圍，根據二次函數性質，可得L的最小值，即可得答案.
【詳解】作出示意圖，鐵棒，，
在中，，
在中，，
所以；
當時，
令，因為，，
所以，，
所以，且在上單調遞增，
所以當時，即時，L的最小值為，
所以能夠通過這個直角走廊的鐵棒的長度的最大值為.
故答案為：；
6．B
【分析】設，表示出，，利用兩角和差正切公式，結合基本不等式可確定當時，取得最大值，由此可得結論.
【詳解】如圖所示，
由題意知：，，
設，則，，
（當且僅當，即時取等號），
，當時，可以獲得觀看的最佳視野.
故選：B.
7．
【分析】設,用表示出的長度,進而用三角函數表示出,結合輔助角公式即可求得最大值.
【詳解】設
扇形的半徑為,是扇形的接矩形
則
,所以
則
所以
因為,所以
所以當時, 取得最大值
故答案為:
【點睛】本題考查了三角函數的應用,將邊長轉化為三角函數式,結合輔助角公式求得最值是常用方法,屬于中檔題.
8．D
【分析】如圖，連接，設，可用的三角函數值表示，，即可得到四邊形的面積，再根據三角函數的值域的求法即可求解．
【詳解】如圖所示： ．
連接，設，作，，垂足分別為．
根據平面幾何知識可知，，，．
∴，．
故四邊形的面積也為四邊形的面積，
即有
，其中．
所以當即時，．
故選：D．
【點睛】本題主要考查利用三角函數解決幾何中的最值問題，意在考查學生的數學建模能力和數學運算能力，屬于基礎題．
9．(或
【分析】設，把正方形的面積和的面積表示為的三角函數，利用三角函數求最值.
【詳解】設，則，所以正方形的面積，的面積.
則風景區的面積，
其中，當，即時，
取得最大值，且最大值為.
10．880
【分析】用表示出綠化帶的總長度，再利用導函數研究函數的單調性，可求得最值.
【詳解】如圖所示，設圓心為O，連接，，
因為點C在半圓上，所以，所以，
弧的長為，所以綠化帶的總長度為
，.所以.
令，得，所以.
當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以當時，取得極大值，也是最大值，所以.
故答案為：880.
【點睛】本題考查三角函數的實際應用，關鍵在于求得函數，并運用導函數去研究函數的的單調性，屬于中檔題.
11．
【分析】取中點，連結，交于點，交于點，連結，設，推導出和，從而得出文化景觀區域面積，利用三角函數的性質，解出面積最大值．
【詳解】取中點，連結，交于點，交于點，連結，
設，則，，
，
文化景觀區域面積：
，
當，即時，文化景觀區域面積取得最大值為．
故答案為：．
【點睛】本題考查文化景觀區域面積的最大值的求法，考查扇形、三角函數恒等變換等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
12．
【分析】求新路總長度的問題轉化為三角函數的最值問題，利用基本不等式求解即可.
【詳解】如圖：

連接.
∵∠PCA＝，可得∠MCP＝，∠NCQ，
在直角三角形MCP中，則，所以MP＝，，
NQ＝，
設新路長為，其中(，)，則，
∴，
，當時取等號.
故答案為：.
13．
【分析】設，利用幾何關系得出，由勾股定理得出，再由正弦函數的性質得出長度的最大值.
【詳解】過點作的垂線，垂足為，設，
則，
又，所以.
在直角三角形中，
，其中.
因為，所以，又，
所以當時，有最小值為，
即.
綜上，街道長度的最大值為千米.
故答案為：
14．
【分析】連接BD，DP，設，利用直徑所對圓周角為直角，以及三角函數定義表示出所求，然后利用輔助角公式化簡可解.
【詳解】如圖．連接，設，則，
在中，，在中，
所以
，其中，
所以，由的范圍可以取到最大值．
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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