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專題15 解三角形與解析幾何的關聯
【湖南省長沙市2024屆高三上學期新高考適應性考試】
在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足．
（1）證明：；
（2）如圖，點D在線段AB的延長線上，且，，當點C運動時，探究是否為定值？
第一問通過正弦定理和余弦定理直接證明；第二問通過建立平面直角坐標系，設出點的坐標代入第一問的結論進而化簡求出雙曲線方程得出結論
（1）由正弦定理和余弦定理得去分母得，∴
（2）建系如圖，
利用第（1）問知，∴化簡知：，故
（2023·全國·模擬預測）
1．已知A，B是雙曲線上的兩個動點，動點P滿足，O為坐標原點，直線OA與直線OB斜率之積為2，若平面內存在兩定點、，使得為定值，則該定值為 ．
（2022上·湖北武漢·高二華中師大一附中校考期中）
2．已知兩點的距離為定值，平面內一動點，記的內角的對邊分別為，面積為，下面說法正確的是（ ）
A．若，則最大值為2
B．若，則最大值為
C．若，則最大值為
D．若，則最大值為1
利用三角函數知識進行角的關系的轉化，通過角的兩倍關系構造角平分線，利用角平分線定理得到方程化簡，結合雙曲線定義得出結論
由，∴，∴，∴，∵A，B是△ABC內角，故或（舍），即，作∠A的平分線AQ交BC于Q，故Q在上，
由，，
故，
（2023上·全國·高三專題練習）
3．三角形內角平分線定理：三角形的內角平分線內分對邊，所得的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例．已知ABC中，AD為∠BAC的角平分線，與BC交于點D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，則AD＝（ ）
A． B． C． D．
（2024上·廣東廣州·高二鐵一中學校聯考期末）
4．記的內角A，，的對邊分別為，，，已知，.
(1)求A；
(2)若，是邊上一點，且是的平分線，.求的長.
（2023·河南·信陽高中校聯考模擬預測）
5．在中，角的對邊分別為.
(1)求的大小；
(2)若的平分線交于點，且，求的面積.
在兩個三角形中，利用補角余弦值互為相反數，算兩次余弦定理得到等量關系，進而得出結論
余弦定理轉化消元：由（1）知在△ABC中由余弦定理知
在△BCD中由余弦定理知
∴，即
又∵，∴，則，∴
故是定值
（2024上·云南昆明·高二統考期末）
6．在中，角，，對應的邊分別為，，且.
(1)求角；
(2)，，點在上，，求的長.
（2023·新疆·校聯考二模）
7．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．
(1)證明：；
(2)若D為BC邊上的點，，，求b的值．
通過邊的關系得到向量關系，通過平方將向量關系轉化為數量關系，再結合余弦定理列式聯立得出答案
由（1）知，又，
∴，
∴①
又②，
②式代入①得，
∴，∵，∴
即，∴
即，∴，∴
又，∴
（2023下·高一課時練習）
8．在中，D為邊AC上一點，滿足，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
（2023上·云南·高三校聯考階段練習）
9．已知的三個內角A，B，C對應的三條邊分別為a，b，c，且有：．
(1)求角B的大小；
(2)設，若點M是邊上一點，且，，求的面積．
（2023·貴州·清華中學校聯考模擬預測）
10．已知中，內角，，的對邊分別為，，，.
(1)求；
(2)若，，在上，且，求的長.
通過角的兩倍關系再構造等腰三角形，通過等腰三角形特殊性質與余弦定理列式聯立得出結論
作CH⊥AB，取AB上一點E，使，
設，則，則，
則
在△CAH中：①
在△CDE中：②
與②聯立，得
（2023下·江蘇無錫·高一江蘇省太湖高級中學校考期中）
11．在中，，，，是的內心，若，其中，則動點的軌跡所覆蓋圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
（2022·福建泉州·統考模擬預測）
12．四邊形為梯形，且，，，點是四邊形內及其邊界上的點.若，則點的軌跡的長度是（ ）
A． B． C． D．
（2022·全國·貴陽一中校聯考一模）
13．已知中，點，點，內角的對邊分別為，面積為，且，則滿足條件的點的軌跡長度為 ．
（2024上·廣東揭陽·高三統考期末）
14．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，的面積為S，已知．
(1)求；
(2)若，D為BC的中點，，求a的值．
（2023下·河北滄州·高一校考階段練習）
15．如圖，在中，.
(1)求的長；
(2)求的長.
（2023下·山東棗莊·高一統考期中）
16．中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分線.
（i）證明：；
（ii）若，求的最大值.
（2023·廣西柳州·高三統考階段練習）
17．已知的內角A，B，C的對邊為a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面積為，求內角A的角平分線長的最大值．
（2020下·江西景德鎮·高三統考階段練習）
18．若的內角A，B，C的對邊為a，b，c，且.
（1）求；
（2）若的面積為，求內角A的角平分線AD長的最大值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】設,根據得到，，根據點,在雙曲線上則，代入計算得，根據雙曲線定義即可得到為定值.
【詳解】設,則由,
得，
則，，
點,在雙曲線上,
，則
，
設分別為直線,的斜率,根據題意,
可知,即，
，即
在雙曲線上,設該雙曲線的左、右焦點分別為，
由雙曲線定義可知||為定值，該定值為.
故答案為：.
2．BC
【分析】設點坐標，根據條件分別求出動點的軌跡方程，再由三角形ABC的面積，轉化為由軌跡方程求的最大值即可得解.
【詳解】設，動點，
對A，，即，化簡可得C的軌跡方程，所以三角形ABC的面積，即C點為時，三角形ABC面積最大，故A錯誤；
對B，由題意可得，化簡可得C的軌跡方程，所以，即C點為時，三角形ABC面積最大，故B正確；
對C，由知，動點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓（除去長軸上的兩個頂點），橢圓方程為，三角形ABC的面積，即當C運動到短軸端點時，三角形面積最大，故C正確；
對于D，由題意，化簡可得C的軌跡方程， 三角形ABC的面積，
由雙曲線中的范圍知，三角形ABC的面積的最大值為，故D錯誤.
故選：BC
3．D
【分析】由三邊關系可判斷出ABC為直角三角形，根據三角形內角平分線定理將、長度計算出來，再根據余弦定理即可求出AD.
【詳解】∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，滿足，∴，故，
∵AD是∠BAC的角平分線，∴，∴，
在ABD中，由余弦定理，
得，
解得或者（舍去），
故選：D．
4．(1)；
(2)．
【分析】（1）由正弦定理化邊為角，然后由三角恒等變換求解；
（2）設，利用由余弦定理求得，從而由正弦定理求得（用表示），再代入余弦定理的結論中求得值．
【詳解】（1）由正弦定理及已知得
，
或，
又，所以，
所以，從而，所以；
（2）由余弦定理得，，，
又是角平分線，所以，又，則，記，因為，
所以，所以，
，則，
由正弦定理得，
所以，
所以，解得，即．
5．(1)
(2)
【分析】（1）由已知和正弦定理，將角化成邊的關系，再用余弦定理求出；
（2）方法一由角平分線定理和余弦定理得出三邊長的關系，再用三角形的面積公式得出結果；方法二由角平分線定理和三角形面積關系求出，再用面積公式求出面積.
【詳解】（1）由及正弦定理，
得，即，
所以，
又，所以.
（2）
方法一：因為平分，且，
所以，則，
由，得.
又，
將代入，可得或.
當時，，則，故舍去，所以.
所以.
方法二：因為平分，且，所以，則.
因為，
所以，所以，
則，所以，
所以.
6．(1)
(2)
【分析】（1）根據誘導公式和正、余弦定理計算即可求解；
（2）由（1），利用余弦定理求出AC，設，再次利用余弦定理表示，建立關于x的方程，解之即可求解.
【詳解】（1）由題意知，，
得，
由余弦定理，得，即，
所以，
由，得.
（2）由（1）知，，所以，
即，由，解得，
即，設，則，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
整理得，即，
解得，所以.
7．(1)證明見解析
(2)3
【分析】（1）由正弦定理角化邊，再進一步化簡即可；
（2）在和中由余弦定理分別列出方程，即可解出b的值，或利用向量的線性運算及數量積的運算法則結合條件即得.
【詳解】（1）證明：因為，
所以由正弦定理得，
又因為
化簡得：，
所以即，故得證.
（2）如圖，
解法一：在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，又因為，所以．
解法二：因為，所以，即．
所以
又因為，所以，
又由(1)知，化簡得，
因為，所以，所以為等邊三角形，
又，所以，所以．
8．C
【分析】在中由正弦定理結合條件可求出，再將向量分解成即可求
【詳解】在中，由及正弦定理，
得，
所以，
而，所以，
由，得，
所以，
所以，
所以.
故選：C.
9．(1)
(2)
【分析】（1）利用內角和定理與兩角和的正弦化簡等式即得；
（2）用向量方法表示，兩邊平方并結合余弦定理建立的方程組，由三邊關系可得是直角三角形，最后利用與三角形面積比即可求解.
【詳解】（1）依題意得，，
則有，
故：．
即：，
因為，所以，所以，
又，所以．
（2）如圖，由，所以，，．
在中，由余弦定理得，
即．①
又由于，
所以，
兩邊平方得，
即，所以．②
②－①得，所以，代入①得，
在中，，
所以是以為直角的三角形，
所以的面積為，
由于，知，
故的面積為．

10．(1)
(2)
【分析】（1）根據二倍角公式和同角三角函數關系化簡已知條件即可求解；
（2）根據同角三角函數關系得，由向量加法運算得，
平方化簡即可求解.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，由得，
即，平方化簡得，所以.
（2）由題意，所以，即,
又由（1）知，，
又因為，所以，
所以，
所以.
11．D
【分析】利用向量加法的平行四邊形法則可判斷點的軌跡，由余弦定理求解邊長，即可由等面積法求解內切圓半徑，即可由三角形面積公式求解.
【詳解】由，，
根據向量加法的平行四邊形法則可知：動點的軌跡是以，為鄰邊的平行四邊形及其內部，其面積為的面積的2倍.

在中，設內角所對的邊分別為，，，
由余弦定理，得.
設的內切圓的半徑為，則，
所以，解得，
所以.
故動點的軌跡所覆蓋圖形的面積為.
故選：D.
12．B
【分析】由向量投影定義得，向量在向量上的投影為2，即動點在過點且垂直于的直線上. 證明后，可得點的軌跡為線段，即可得到答案；
【詳解】
，即.
設向量與的夾角為，則，
因為，所以，
由向量投影定義得，向量在向量上的投影為2，
即動點在過點且垂直于的直線上.
在中，，，，
由余弦定理得，所以；
則，所以.
因為是四邊形內及其邊界上的點，所以點的軌跡為線段.
所以點的軌跡的長度為.
故選：B.
13．
【分析】根據正余弦定理、三角形面積公式及圓的周長公式直接可得解.
【詳解】如圖，，，
，，，又，
外接圓半徑為，，所以點的軌跡長度為，
故答案為：.
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的面積公式、三角恒等變換、正弦定理等知識化簡已知條件，從而求得.
（2）利用正弦定理、向量運算等知識求得，再利用余弦定理求得.
【詳解】（1）由題意得，即，
所以，即．
由正弦定理得，即，
所以，即，所以．
（2）由已知及正弦定理得，
由（1）得，所以，
解得（舍去）．
又D為BC的中點，所以，
所以，
所以，
所以，解得，所以．
在中，由余弦定理得:
，解得．
15．(1)
(2)
【分析】（1）確定，，，，計算得到答案.
（2），，計算得到答案.
【詳解】（1）；
，
，故，
.
（2），
.
16．(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）
【分析】（1）根據正弦定理邊化角，結合兩角和的正弦公式化簡，即可得答案；
（2）（i）在和中，分別應用正余弦定理，得出線段之間的等量關系，結合角平分線以及分式的性質，即可證明結論；（ii）利用（i）的結論以及基本不等式即可求得答案.
【詳解】（1）因為中，，
故
，
因為，故；
（2）（i）證明：中，由正弦定理得①，

又②，
同理在中，③，
④，
BD是的角平分線，則，
則，
又，故，
故①÷③得⑤，即，
由②④得，
，
則
，
即；
（ii）因為，故，
則由⑤得，則，
由以及（i）知，
即，則，
當且僅當，結合，即時等號成立，
故，即的最大值為.
【點睛】難點點睛：本題解答的難點在于的證明，證明時要利用正余弦定理得到涉及到的線段之間的等量關系，然后利用分式的性質進行變形，過程比較復雜，計算量較大，因此要十分注意.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，進而求出；
（2）由面積公式求出，由正弦定理得到，不妨設，，得到.延長至點, 使得, 連接，構造相似三角形，在中，由余弦定理得到，由基本不等式求出，得到角平分線長的最大值.
【詳解】（1）由正弦定理，得，即，
故，
因為，所以，
所以；
（2）由（1）知，
因為的面積為，所以，解得，
在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
因為AD為角A的角平分線，所以，
又，所以，所以，
不妨設，，則，故，
延長至點E，使得，連接，
則，又，
所以，故，，
則，，
則，，
在中，由余弦定理，得，
即，
因為，所以，
其中，當且僅當，即時，等號成立，
故，故.
所以長的最大值為.
【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問題，或與角度有關的范圍問題，
常用處理思路：①余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數求出最值.
18．（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理將已知式化角為邊，再由余弦定理求出；
（2）由（1）的結論及的面積為，求出和.再由二倍角公式求出.將拆分成兩個三角形和，利用面積相等，求出，再利用基本不等式求出其最大值.
【詳解】解：（1）由正弦定理，
及，
可得，即，
由余弦定理得：；
（2）由，得 ，
，
，則，
由
得，
，
當且僅當時，等號成立，
即.
【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理的應用，二倍角公式，基本不等式的應用，屬于中檔題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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