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專題13 解三角形與平面向量中的最值問題
【重慶市2023年11月質量檢測第8題】
在等邊中，M為內一動點，，則的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
角度一、翻折得，根據四邊形對角互補確定四點共圓，建立平面直角坐標系，結合三角換元表示三點坐標，利用兩點距離公式及輔助角公式、三角函數有界性計算即可.
角度二、建立坐標系，由定邊定角確定的軌跡，設，利用阿氏圓的概念含參表示的軌跡方程，則兩圓相交由此得出圓心距不大于半徑之和，解不等式即可.
角度一、四點共圓+三角換元
如圖所示，以BC邊的中點O為原點，BC為x軸，過O點垂直于BC的直線為y軸，建立直角坐標系如圖，
再將延x軸翻折得，設的外接圓的圓心為Q，
∵，∴四點共圓，且M點在的劣弧BC上，
不妨設等邊的邊長為2，可得：，，，，
又點M所在圓的方程為：，故，
∴，
化簡得：，
其中，，
即，解得，
∴.
故選：C．
角度二：阿波羅尼斯圓+圓與圓位置關系
設的邊長為，如圖所示以中點為原點，直線、分別為軸建系，
則，取的中心，并翻折得，
易知，
可得四點共圓，圓心為，
則M點在（部分）上，
另設，，
則，
即，則又在以為圓心，為半徑的圓上，
故兩圓有公共點，所以，
即，即，解得．
故選：C.
1．設向量，，，，點在內，且向量與向量的夾角為，則的取值范圍是 ．
2．在中，，且所在平面內存在一點使得，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
角度一、翻折得，根據四邊形對角互補確定四點共圓，構造相似三角形轉化兩邊之比結合正弦定理計算即可；
角度二、取BC中點D，由定邊定角確定的軌跡為圓，逆用阿氏圓可得，構造中位線將兩邊之比轉化，利用正弦定理及三角函數的值域計算即可.
角度一、構造相似三角形
如圖所示，將延翻折得，作的外接圓，設其直徑為，
∵，∴四點共圓，且M點在的劣弧BC上，
延長交于點，易知三點共線，且，是外接圓的直徑，
即，則，所以，
則，故．當且僅當過圓心時取得等號.
故選：C.
角度二：逆用阿波羅尼斯圓+函數思想
同上得與的外接圓與，取BC中點D，MC中點N，
易知，所以，
又，則由正弦定理可知：，
當且僅當時取得等號.
故選：C.
3．若實數成等差數列，點在動直線上的射影為，點，則線段長度的最小值是 ．
4．在平面四邊形ABCD中，， ，．若， 則的最小值為 ．
角度一、設，，利用正弦定理得出，，作商結合三角函數的值域計算即可；
角度二、將繞點B逆時針旋轉60°得，結合正弦定理將線段比值化為，根據三角函數的值域計算即可；
角度一、正弦定理+函數思想
如圖所示：設，，則．
在與中，分別由正弦定理得： ①
②
②÷①得：，
當且僅當時等號成立，故的最小值為，
故選：C．
角度二、幾何性質+函數思想
將繞點B逆時針旋轉60°得，
則，，，，
所以，
當時，取得最小值為．
（2022年全國甲卷理16）
5．已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
（2024·全國·模擬預測）
6．已知是銳角三角形，內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（浙江省名校協作體2024屆高三上學期7月適應性測試）
7．在中，點，分別是，邊上的中點，線段，交于點D，則的值為（ ）
A． B． C． D．
8．銳角中，，，為角，，所對的邊，點為的重心，若，則的取值范圍為（ ）
A．， B．， C．， D．，
9．在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
（2023·山西臨汾·校考模擬預測）
10．在中，點D在上，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·河南省實驗中學校考模擬預測）
11．已知三角形中，，角的平分線交于點，若，則三角形面積的最大值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2023·安徽滁州·統考二模）
12．在平面直角坐標系中，△OAB為等腰三角形，頂角，點為AB的中點，記△OAB的面積，則（ ）
A． B．S的最大值為6
C．的最大值為6 D．點B的軌跡方程是
（2024上·福建泉州·高二校考階段練習）
13．如圖，四邊形中，，，，，則面積的最大值為 .
（2023·四川瀘州·四川省敘永第一中學校校考一模）
14．在中，，若點為的中點，則的取值范圍為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】以直線OA為x軸，線段OA的中垂線為y軸建立坐標系，探求點C的坐標滿足的關系，再利用換元法借助三角恒等變換計算作答.
【詳解】以直線OA為x軸，線段OA的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，如圖，
因，則，而，解得，
則，設，有，，
因向量與向量的夾角為，則，
，，
，整理得：，即，
因此，，，令點，，
令，
則，
于是得，又，即有，解得，
當時，，即，而，有，
，矛盾，即，
當時，，即有，其中銳角滿足，
則有，，，顯然存在滿足條件，則，因此，，
所以的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】思路點睛：給定向量的模探求向量問題，可以建立平面直角坐標系，借助向量的坐標表示，利用代數運算、三角變換等方法解決.
2．B
【解析】以的中點為坐標原點，建立直角坐標系，寫出三點的坐標，利用兩點間距離公式，以及圓與圓的位置關系，解不等式，得出的范圍，再由三角形的面積公式以及二次函數的性質，即可得出面積的最大值.
【詳解】以的中點為坐標原點，所在直線為軸，建立直角坐標系
設，，，則
設，由得
即，
即點既在為圓心，為半徑的圓上，又在為圓心，1為半徑的圓上
可得，由兩邊平方化簡可得
則的面積為
由，可得，取得最大值，且為.
故選：B.
【點睛】本題主要考查了兩點間距離公式的應用以及由圓與圓的位置關系求參數范圍，屬于中檔題.
3．
【分析】由成等差數列得直線過定點，然后可知在以為直徑的圓上，由圖形可知，求出即可得到結果.
【詳解】解：由、、成等差數列可得，∴直線過定點，
由點在直線的射影為得， ，則的軌跡是以為直徑的圓，
易得，圓心，，∴．
故答案為: .

【點睛】本題考查直線和圓中的最值類問題，考查了等差中項的性質，考查了直線過定點問題.關鍵在于能夠確定所求最小值即為兩點間距離減去半徑.
4．
【分析】以的中點為坐標原點，以方向為軸正向，建立如下平面直角坐標系. 設，根據已知條件可求得點在以為圓心，2為半徑的圓上，取，可得，從而有，因此＝，因此只要最小即可．
【詳解】如圖，以的中點為坐標原點，以方向為軸正向，建立如下平面直角坐標系.
則，，
設，則，，
因為
所以，即：
整理得：，所以點在以原點為圓心，半徑為2的圓上.
在軸上取，連接
可得，所以，所以
由圖可得：當三點共線時，即點在圖中的位置時，最小.
此時最小為.
故答案為．
【點睛】本題考查平面向量的數量積，考查平面向量的幾何應用．解題關鍵點有二，一是建立坐標系，求出點在一個圓上，二是取點，構造出，于是，問題轉化為求的最小值．
5．##
【分析】設，利用余弦定理表示出后，結合基本不等式即可得解.
【詳解】[方法一]：余弦定理
設，
則在中，，
在中，，
所以
，
當且僅當即時，等號成立，
所以當取最小值時，.
故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.
則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
設BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，則，
，
，
當且僅當，即時等號成立.
[方法四]：判別式法
設，則
在中，，
在中，，
所以，記，
則
由方程有解得：
即，解得：
所以，此時
所以當取最小值時，，即.

6．C
【分析】由余弦定理和正弦定理，結合正弦和角公式得到，結合為銳角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范圍即可.
【詳解】因為，得．
由余弦定理得，
所以，即．
由正弦定理得，
因為，則，
所以，即．
因為是銳角三角形，所以，，所以．
又在上單調遞增，所以，則．
因為是銳角三角形，所以，，，
所以，
由正弦定理得
，
令，因為，所以．
在上單調遞增，
當時，，當時，，
故
故選：C．
【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問題，或與角度有關的范圍問題，
常用處理思路：①余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數求出最值.
7．C
【分析】
方法一：由三角形重心的性質求解；方法二：設，根據題意計算可得，再由共線可求出的值.
【詳解】
方法一：可由三角形重心的性質知：
方法二：設，則，
由共線可知，，，故，
故選：C．
8．B
【分析】設點在圓上，且，，設直線，的傾斜角分別為，.兩角差正切公式得，再求出即可
【詳解】設，是單位圓的直徑的端點，在圓上，
設，點為的重心，.
點在圓上.
是銳角三角形，點在圓上，且，，
設直線，的傾斜角分別為，.
則，，
.
.
故選：.
9．A
【分析】以D為坐標原點，DB,DC分別為x,y軸建立直角坐標系，求出A點軌跡方程，再根據圓的性質求最值.
【詳解】以D為坐標原點，DB,DC分別為x,y軸建立如圖所示直角坐標系，則,因為，，所以由平面幾何知識得A點軌跡為圓弧（因為為平面四邊形，所以取圖中第四象限部分的圓弧），設圓心為E,則由正弦定理可得圓半徑為，
因此對角線的最大值為
故選：A
【點睛】本題考查正弦定理、圓的軌跡方程以及圓的性質，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.
10．B
【分析】根據給定條件，利用余弦定理把表示成的函數，再利用導數探討函數的最值即可得解.
【詳解】依題意，由，得，
設，由，得，
在中，，
在中，，
則，
令，則，
由，解得，由，解得，
因此在上單調遞增，在上單調遞減，
即當時，取得最大值，
因此當時，取得最大值為，
所以的最大值為.
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用余弦定理，將問題轉化為求函數最值，由此得解.
11．C
【分析】先根據正弦定理可得，再建立平面直角坐標系求解的軌跡方程，進而可得面積的最大值.
【詳解】在中，在中，
故，，
因為，故，
又角的平分線交于點，則，故.
故.
以為坐標原點建立如圖平面直角坐標系，則因為，，
故，，設，則，
即，故，
化簡可得，即，故點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（除去）.
故當縱坐標最大，即時面積取最大值為.

故選：C
12．ABD
【分析】令且，根據題設及兩點距離公式求軌跡為且，應用余弦定理、三角形面積公式求表達式，利用，結合圓的性質求面積、最大值，令，則代入軌跡求B的軌跡方程，即可判斷各項的正誤.
【詳解】由，，為AB的中點，
若且，則，故，
整理得：，則軌跡是圓心為，半徑為2的圓（去掉與x軸交點），
如下圖，由圓的對稱性，不妨令在軌跡圓的上半部分，即，
令，則，
所以，則，
所以，A正確；
由，則S的最大值為6，B正確；
由下圖知：，所以無最大值，C錯誤；
令，則代入軌跡得，即，
所以軌跡為且，D正確；
故選：ABD
13．
【分析】
建立直角坐標系，求解出相應圓的標準方程，延長交圓③于點F，得到，，進而求解的最大值.
【詳解】以E為坐標原點，為x軸正方向建立平面直角坐標系，
則，，A在圓①：上，
D在圓②：上，
作圓③：，
延長交圓③于點F，則，
所以.
設直線與圓②交于點G，
取，連接，，得，
則，則，
為圓②內接三角形，當且僅當為正三角形時，最大，
此時，所以的最大值為，
即的最大值為.
故答案為：
【點睛】關鍵點睛：利用數形結合的思想進行轉化為圓的標準方程,利用圓的性質和三角形面積求解.
14．
【分析】由中點性質結合向量的加法法則得，平方結合向量運算律的性質得，由余弦定理得，所以，利用基本不等式及不等式性質得范圍.
【詳解】記，因為，點為的中點，所以，
所以，
在中，由余弦定理知，
所以，
當且僅當即時，等號成立，即的最大值為，
又，所以，所以的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題的解題關鍵是找到與的關系，從而建立分式函數，利用基本不等式求解，另外注意向量在解三角形中的應用，尤其是邊角關系轉化時.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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