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專題14 解三角形求角問題
【廣東省佛山市2024屆高三一模】
已知中，，邊上的高與邊上的中線相等，則__________.
通過建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)垂直關(guān)系得到點(diǎn)坐標(biāo)，通過題目中的長度關(guān)系列出方程即可求解.
如下圖所示，以為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
作，取AC中點(diǎn)G，則，
則，
由
1．在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)，則的余弦值是（ ）．
A． B． C． D．
2．在直角三角形中，，，，點(diǎn)P在斜邊BC的中線AD上，則的值可能為（ ）
A． B．8 C． D．2
通過建立平面直角坐標(biāo)系，以所求角為變量，通過中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到中點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合長度關(guān)系列方程求解即可.
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
，∴
∵，∴，
∴，∴，∴
結(jié)合中線得到，平方后將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系求解即可.
如下圖所示，設(shè)邊上的高為，邊上的中線為，
在中，，所以，
由，平方得，
代入得，，
化簡得，，解得，
又因?yàn)椋裕?
3．已知AD是的中線，若，，則的最小值是 ．
從題目所給“中線”這一特征入手，利用中線長定理得到，結(jié)合余弦定理和長度關(guān)系得到再解方程即可.
AB邊上的高.
考慮中線長定理可知，
得，
由余弦定理可知，
于是，
則，
得.
4．在銳角中，，，則中線的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．如圖，已知AM是中BC邊上的中線．求證：．

從題目所給“中線”這一特征入手，將邊也構(gòu)造出一個(gè)中點(diǎn)，即通過延長構(gòu)造出中位線，結(jié)合長度關(guān)系的轉(zhuǎn)化和相似三角形直接得到角度大小即可.
延長，使得，
∵D是AC中點(diǎn)，，BD是△ACF中位線，∴，
∵，∴
由，可知，∴
∴
從題目所給“三角形的高”這一特征入手，分類討論E在AB延長線上和E在線段上，由中點(diǎn)作平行線構(gòu)造中位線和直角三角形，結(jié)合勾股定理計(jì)算即可求解答案.
1.E在AB延長線上時(shí)，作，設(shè)，
則，即
∴，解方程得，
易知此時(shí)B為鈍角，∴
2.E在線段上時(shí)，同上易知，不符合題意（舍去）
綜上：
從題目所給“中線”這一特征入手，將面積進(jìn)行拆分，運(yùn)用面積相等得到大三角形面積為兩個(gè)小三角形面積之和，結(jié)合三角形面積公式代入求解即可.
如圖所示，E為AC的中點(diǎn)，CD為AB邊上的高，
則有，
又，∴，
又，∴
所以.
6．已知在中，角和角的角平分線交點(diǎn)為到的距離為2，的周長為4，，則（ ）
A． B． C． D．
7．已知在中，角和角的角平分線交點(diǎn)為到的距離為2，的周長為4，，則（ ）
A． B． C． D．
從題目所給“中線”入手，倍長中線，則可以構(gòu)造出一組全等三角形，再進(jìn)行角的關(guān)系的轉(zhuǎn)化，由余弦定理進(jìn)行計(jì)算，代入同角三角函數(shù)平方關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可.
設(shè)，則，
由面積公式可知，∴
倍長中線至D點(diǎn)，連結(jié)CD，易知，
則
∴，
易知，∴∠ABC為鈍角
由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可，
解之得，即，∴，∴
8．在中，角所對的邊分別為，且，若的面積為，則邊上中線長的最小值為 .
由“中線”這一特征可知，大三角形面積等于兩倍小三角形面積，代入面積公式計(jì)算即可.
BD是AC邊上中線，設(shè)AB邊上高為h
由，
又，∴
即，∴，∴
9．中，內(nèi)角的對邊分別為邊上的中線，則下列說法正確的有（ ）
A． B．
C． D．的最大值為
10．在中，，，，點(diǎn)在線段上，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若是高，則 B．若是中線，則
C．若是角平分線，則 D．若，則是線段的三等分點(diǎn)
11．已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，，，則邊上的中線AD的長為 .
12．在中，角A，，的對邊分別為，，，若，，則邊上的中線長度的最大值為 ．
13．在中，，為邊上的中線，，則該三角形面積最大值為 ．
14．在中，，為邊上的中線且，則的取值范圍是 ．
15．在等腰中，AB＝AC，若AC邊上的中線BD的長為3，則的面積的最大值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
16．在中，，，，AD是三角形的中線．E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，，（x，），線段EF與AD相交于點(diǎn)G．已知的面積是的面積的2倍，則（ ）
A． B．x＋y的取值范圍為
C．若，則的取值范圍為 D．的取值范圍為
17．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，若邊BC的中線，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A． B．
C． D．△ABC的面積為
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量法求得的余弦值.
【詳解】由余弦定理得，
所以，所以三角形是直角三角形，且，
以為原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
，
，
，
所以.
故選：B
2．CD
【分析】利用已知條件，建立坐標(biāo)系，利用斜率的數(shù)量積化簡，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可．
【詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，方向分別為軸，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，,
設(shè)，，所以，，，
則，
所以．
所以時(shí)數(shù)量積取得最大值，當(dāng)或時(shí)數(shù)量積取得最小值．
即．
故選：CD．
3．
【分析】先求得，然后利用基本不等式求得的最小值.
【詳解】，
，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.
故答案為：

4．D
【分析】利用正弦定理邊化角，結(jié)合已知求出邊b長的取值范圍，再借助平面向量用b表示出中線的長，求出函數(shù)值域作答.
【詳解】令的內(nèi)角所對邊分別為，由正弦定理及得，即，
銳角中，，即，同理，
于是，解得，又線段為邊上的中線，
則，又，于是，
因此，當(dāng)時(shí)，，，
所以中線的取值范圍是.
故選：D
5．證明過程見解析
【分析】根據(jù)這一等式，利用余弦定理進(jìn)行證明即可.
【詳解】因?yàn)锳M是中BC邊上的中線，
所以，
因?yàn)椋?br/>，
.
6．A
【分析】由題意可得出，又因?yàn)椋夥匠炭汕蟪觯儆善矫嫦蛄繑?shù)量積的定義求解即可.
【詳解】設(shè)，
角和角的角平分線交點(diǎn)為到的距離為2，
所以點(diǎn)為的內(nèi)心，且點(diǎn)到各邊的距離都為，
的周長為4，所以，
所以的面積為：，
又因?yàn)椋裕獾茫海?br/>.
故選：A.
7．A
【分析】由題意可得出，又因?yàn)椋夥匠炭汕蟪觯儆善矫嫦蛄繑?shù)量積的定義求解即可.
【詳解】設(shè)，
角和角的角平分線交點(diǎn)為到的距離為2，
所以點(diǎn)為的內(nèi)心，且點(diǎn)到各邊的距離都為，
的周長為4，所以，
所以的面積為：，
又因?yàn)椋裕獾茫海?br/>.
故選：A.
8．
【分析】先由等式得，再由的面積為得到，
結(jié)合圖象和余弦定理可得，利用基本不等式可得最小值.
【詳解】因?yàn)椋?br/>由正弦定理得，整理得，即，
因，所以，得，
則，
因?yàn)椋?

如圖，設(shè)邊上的中點(diǎn)為，在中，由余弦定理，得，又，
所以
由得代入上式，
得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以AC邊上中線長的最小值為.
故答案為：.
9．ACD
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷A，根據(jù)余弦定理，結(jié)合不等式和三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解BCD.
【詳解】因?yàn)椋珹正確；
因?yàn)椋裕叔e(cuò)誤；
由余弦定理及基本不等式得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），由選項(xiàng)知，所以，解得，
由于，所以，故C正確；
對于（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），因?yàn)椋裕郑缘淖畲笾担珼正確.
故選：ACD

10．BC
【分析】分別求CD為高線，中線，角平分線及等分線時(shí)CD的長.
【詳解】由題，，所以，
若CD是高，，得，故A錯(cuò)誤；
若CD是中線，，所以，
所以，故B正確；
若CD是角平分線，則，
即，得，故C正確；
若D為線段AB的三等分點(diǎn)，或，
，或，
所以或，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】根據(jù)D在AB的位置，可用，表示，用向量方法解決平面幾何問題是常用思路.
11．
【分析】根據(jù)余弦定理得出.進(jìn)而在中，利用余弦定理，即可得出答案.
【詳解】
由余弦定理可得，.
在中，有，，
由余弦定理可得
，
所以，.
故答案為：.
12．
【分析】利用正余弦定理化簡得，再由平面向量在幾何中的應(yīng)用結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.
【詳解】
在中有，
故由正弦定理可得，
由余弦定理得，
由三角形中線的性質(zhì)可得：，
即，
又，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，
所以.
故答案為：.
13．8
【分析】法一：已知，以為定點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，由，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡，由此可得面積最大值；
法二：引入變量與角，由余弦定理得到的等量關(guān)系，又面積為，消，再求函數(shù)最值即可.
【詳解】法一：如圖建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)，由得：，
即：，
所以點(diǎn)A的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，，
所以當(dāng)A到x軸距離最大時(shí)，即為半徑時(shí)，面積最大.
故．
法二：設(shè)，則，在中，
由余弦定理可知，，，
而，，
由圖可知，為半圓上的點(diǎn)與連線的斜率，其最小值為直線的斜率，

故面積的最大值為.
故答案為：8.
14．
【分析】根據(jù)題意利用可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律整理得，設(shè)，代入結(jié)合一元二次方程求的取值范圍.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)闉檫吷系闹芯€，則，
可得，
即，整理得，
設(shè)，則，
可得，整理得，
關(guān)于的方程有正根，則有：
①當(dāng)，即時(shí)，則，解得；
②當(dāng)，即時(shí)，則，解得或（舍去），符合題意；
③當(dāng)，即時(shí)，則，解得；
綜上所述：，即的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)三角形中線長度問題的求解，可考慮利用向量運(yùn)算來建立關(guān)系式.有關(guān)三角形邊長的和、差的取值范圍，可考慮余弦定理（或正弦定理），結(jié)合基本不等式（或三角函數(shù)的取值范圍）等知識來求解.
15．A
【分析】利用余弦定理得到邊長的關(guān)系式，然后結(jié)合勾股定理和基本不等式即可求得面積的最大值．
【詳解】設(shè)，，
由于，
在和中應(yīng)用余弦定理可得：
，整理可得：，
結(jié)合勾股定理可得的面積：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．
則面積的最大值為6．
故選：A.
16．ACD
【分析】利用三角形面積公式即可得到，利用對勾函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式即可判斷B，利用共線向量定理的推論即可判斷C，利用轉(zhuǎn)化法計(jì)算即可判斷D.
【詳解】對A，，
，
又因?yàn)椋矗?br/>解得，故A正確，

對B，因?yàn)椋瑒t，解得，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
根據(jù)對勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知當(dāng)或1時(shí)，，則，故B錯(cuò)誤，
對C，因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線，
則存在，使得
則有，則，，故C正確；
對D，，，
則
，
因?yàn)椋瑒t，則，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題較難的CD選項(xiàng)的判定，需要利用共線向量定理的推論，從而得到，然后解出，從而得到其范圍；對于D選項(xiàng)，則利用轉(zhuǎn)化法來計(jì)算，最后得到，再進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化為單變量表示即可得到其范圍.
17．ACD
【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合平面向量加法的幾何意義、平面向量數(shù)量積的定義、三角形面積公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】根據(jù)正弦定理，由
，
因?yàn)椋裕虼耍?br/>因?yàn)椋裕虼诉x項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確；
因?yàn)槭侵芯€，所以由
，或舍去，
因此，所以選項(xiàng)C正確；
△ABC的面積為，所以選項(xiàng)D正確，
故選：ACD
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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