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專題20 解三角方程
【福建省名校聯(lián)盟優(yōu)質(zhì)校2023-2024學(xué)年高三2月大聯(lián)考】
方程所有正根的和為（ ）
A. B. C. D.
由倍角公式化簡得出，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)得出或，進而解方程得出答案.
原式可化簡為：，即
所以或
得：或或
化簡得：，或者（無解），
所以，，所以所有正根之和為，選C
（2019上·湖南長沙·高二雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）
1．方程在區(qū)間上的所有根之和為 .
（2023上·河北秦皇島·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）
2．已知函數(shù)在上有兩個不等根，則的值為（ ）
A． B． C． D．
根據(jù)倍角公式以及積化和差公式得出，進而得出，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)解方程得出答案.
解：由已知得
，
即，
.
又，，
，
又，，的奇偶性相同，
題中方程的所有正根之和等于，選C
（2024上·福建莆田·高一莆田第四中學(xué)校考期末）
3．已知函數(shù)，則（ ）
A．的一個周期為 B．的圖像關(guān)于中心對稱
C．的最大值為2 D．在上的所有零點之和為
（2021·上海·高一專題練習(xí)）
4．已知是一元二次方程的2個根，求的值.
（2022上·河南駐馬店·高三校聯(lián)考期中）
5．函數(shù)在上的所有零點之和等于（ ）
A． B． C． D．
（2021上·四川德陽·高一德陽五中校考階段練習(xí)）
6．方程 區(qū)間上恰有三個根，其根分別為，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2024上·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）
7．已知，則的零點之和為（ ）
A． B． C． D．
（2022上·廣東東莞·高三校考階段練習(xí)）
8．已知向量，，若函數(shù)，則的零點之和等于（ ）
A． B．
C． D．
（2022上·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
9．函數(shù)在上的所有零點之和等于（ ）
A． B．π C． D．2π
（2024·全國·模擬預(yù)測）
10．已知，且，則滿足條件的的個數(shù)為（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】利用二倍角公式展開方程，即，或，或，再結(jié)合圖象的對稱性，得出結(jié)論．
【詳解】方程，即，
，即，
即，或，
即，或，或．
在區(qū)間，上，由，可得，或．
利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，
由，可得它的兩個根之和為；
由，可得它的兩個根之和為．
故在區(qū)間，上的所有根之和為，
故答案為：．
2．D
【分析】根據(jù)三角恒等變換可得，根據(jù)自變量的范圍可得，，故，根據(jù)誘導(dǎo)公式可求解.
【詳解】
，
在有兩根，
則時，，
，
不妨設(shè)，
則，
.
故選：D
3．ABD
【分析】根據(jù)周期性和對稱性的定義，即可判斷AB；再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，即可判斷C；利用三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)，再求函數(shù)的零點，即可判斷D.
【詳解】對于A，，所以A正確；
對于B，，所以B正確；
對于C，若最大值為2，則，，
當(dāng)，，此時，，，故C不正確；
對于D，，
令得，所以或，又，
所以或或或或，
解得或或或或，即所有零點之和為，故D正確.
故選：ABD
4．
【分析】利用和差化積公式，結(jié)合韋達定理直接化簡求解.
【詳解】因為 是一元二次方程的2個根
所以，
，
故答案為：.
5．B
【分析】，然后對化簡可得答案.
【詳解】令
，得或.
因為，所以，則，或.
故在上的所有零點之和為.
故選：B
6．D
【分析】依題意可得，即直線在與有三個交點，
【詳解】解：因為，
所以，
令，，
因為，所以，函數(shù)圖象如下所示：
令，解得，
令，則或，
解得或，
依題意直線在與有三個交點，
則，
不妨設(shè)，
根據(jù)三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，可得，
而，關(guān)于直線對稱，
那么，
的取值范圍．
故選：D．
7．C
【分析】令，由二倍角的余弦公式和輔助角公式化簡可得，則或，結(jié)合，即可得出答案.
【詳解】由，
則，所以，
即，
所以或，
解得：或，
因為，所以，或，
所以的零點之和為，
故選：C.
8．C
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及輔助角公式化簡可得的表達式，令，解三角方程即可得答案.
【詳解】由題意得
，
由得，即，
即或，
即或，
因為，故或，
故的零點之和等于，
故選：C
9．C
【分析】根據(jù)化簡可得，再根據(jù)結(jié)合正弦函數(shù)的零點求解即可.
【詳解】令，得或．
因為，所以，則，或，或，
故在上的所有零點之和為．
故選：C
10．C
【分析】解法一：利用正弦和差公式化簡得到，從而得到或，結(jié)合，求出滿足條件的的個數(shù)；
解法二：利用和差化積公式得到，從而得到，從而得到或，結(jié)合，求出滿足條件的的個數(shù).
【詳解】解法一：
，
故或．
當(dāng)時，，即，
因為，所以，，，，；
當(dāng)時，因為，所以，．
所以符合題意的共有7個；
解法二：由和差化積公式得到，
所以，
因為，所以或，
當(dāng)時，，即，
因為，所以，，，，；
當(dāng)時，因為，所以，．
所以符合題意的共有7個；
故選：C
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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