資源簡介

專題17 三角值域問題
【湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2023-2024學年高三下學期2月收心考試】
將函數的圖象上所有點的橫坐標不變縱坐標伸長為原來的2倍，向下平移1個單位長度，向左平移個單位長度，最后所有點的縱坐標不變橫坐標壓縮到原來的0.5倍，得到函數的圖象．若對任意，都存在，使得，則的取值范圍為______．
根據題意得到函數值域包含關系，利用值域中一定有1這個元素，縮小的取值范圍，再結合更多的約束條件得到精確的范圍.
由已知可知，因為對任意，都存在，使得，所以在上的值域是在上值域的子集
在上的值域，且
因為值域中一定有1這個元素，所以∴（必要條件）
還需要約束的最小值小于等于－1，所以或者．
因此或者，所以
（2023下·上海普陀·高一曹楊二中校考期中）
1．設.若對任意，都存在，使得，則可以是（ ）
A． B． C． D．
根據題意得到函數值域包含關系，轉化為動直線與函數的圖象恒有公共點，結合圖象進而討論即可.
由已知，
當時，的值域為．
令，則當時，，．
令，則由已知得動直線
與函數，的圖象恒有公共點，
即動直線與函數的圖象恒有公共點．
又，∴．
在坐標系中畫出直線，與函數的大致圖象
結合圖象可知，或
由此解得或，
因此的取值范圍為
根據題意得到函數值域包含關系，進而分，情況討論即可.
由已知，，
當時，的值域為．
令，則當時，，．
令，則由題意知，
對，關于的方程，即在恒有解，（*）
注意到當時，，且當時，，
因此，要滿足（*），只要函數的值域包含即可．
當時，函數在上單調遞增，其值域為，顯然此時；
②當時，，函數的值域為，其中a是中的最小值．
由得或
由此解得或，
綜上，的取值范圍為
（2024上·云南昆明·高一校考期末）
2．已知函數，，對任意，存在、，使得，則實數的取值范圍是 .
（2022下·湖南株洲·高三株洲二中校考期中）
3．已知函數．
(1)當時，直接寫出的單調區(qū)間（不要求證明），并求出的值域；
(2)設函數，若對任意，總有，使得，求實數的取值范圍．
（2024上·吉林長春·高一東北師大附中校考期末）
4．已知函數，且．
(1)設，若對任意，總存在，使成立，求實數t的取值范圍；
(2)函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱，求不等式的解集．
（2022·全國·高三專題練習）
5．下列四種變換方式，其中能將的圖象變?yōu)榈膱D象的是（ ）
①向左平移個單位長度，再將橫坐標縮短為原來的；
②向左平移個單位長度，再將橫坐標縮短為原來的；
③橫坐標縮短為原來的，再向左平移個單位長度；
④橫坐標縮短為原來的，再向左平移個單位長度；
A．①和③ B．①和④ C．②和③ D．②和④
（2024上·湖南長沙·高一周南中學校考期末）
6．已知函數，其圖象與直線相鄰兩個交點的距離為，若對任意恒成立，則的取值范圍是 .
（2023下·山東德州·高一統(tǒng)考期中）
7．已知函數，若任意，存在，滿足，則實數t的取值范圍是 ．
（2022下·遼寧大連·高一大連八中校考期中）
8．已知函數，其中．
(1)若，，求的對稱中心；
(2)若，函數圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，是的一個零點，若函數在且上恰好有個零點，求的最小值；
(3)已知函數，在第（2）問條件下，若對任意，存在，使得成立，求實數的取值范圍．
（2023下·四川成都·高一統(tǒng)考期末）
9．已知函數，函數的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位得到的圖象，.
(1)若，求；
(2)若對任意，存在使得成立，求實數的取值范圍.
（2023下·江西南昌·高一校考階段練習）
10．已知函數.
(1)對任意，存在實數、，使得，且，同時函數圖象經過點，若將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變）， 再向左平移個單位長度，得到函數圖象，求函數的解析式；
(2)在（1）的基礎上，設，則是否存在實數，滿足對于任意，都存在，使得成立
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】由題意可知，，若對任意，都存在，使得成立，得，只需，即可，進而將選項中的角，依次代入驗證，即可求解.
【詳解】因為對任意，都存在，使得成立，
所以，即，
因為，，所以，
若對任意，都存在，使得成立，
得，只需，即可，
因為，則，
對于A：當時，，則，因為，
所以的取值不符合條件，故A錯誤；
對于B：當時，，則，因為，的取值符合條件，故B正確；
對于C：當時，，則，
因為，的取值不符合條件，故C錯誤；
對于D：當時，，則，
因為，的取值不符合條件，故D錯誤；
故選：B
2．
【分析】求出函數在區(qū)間上的最大值和最小值，以及函數在上的最大值和最小值，由題意可得出，即可求得實數的取值范圍.
【詳解】當時，，則，
則，
因為，所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
故當時，，
又因為，，故，
因為任意，存在、，使得，
則，解得.
因此，實數的取值范圍是.
故答案為：.
3．(1)單調遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為和；值域是
(2)
【分析】（1）利用對勾函數性質結合奇偶性判斷單調區(qū)間，利用基本不等式求值域；
（2）求出的值域并將題目轉化為函數的值域是的值域的子集，分情況討論t的范圍，求的最值列不等式求解.
【詳解】（1）當時，,
易知，且定義域關于原點對稱，故為奇函數；
結合對勾函數的性質可得：的單調遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為和．
當時，，
當且僅當時等號成立；
當時，，當且僅當時，等號成立．
所以的值域是；
（2），
因為，所以，所以，，
所以，那么的值域為．
當時，總有，使得，
轉化為函數的值域是的值域的子集，
即當時，恒成立．
當時，在上單調遞增，可得，，所以；
當時，，滿足題意；
當時，對任意的，，顯然，
所以，對任意的恒成立，可得．
當時，，，此時．
綜上可得，實數的取值范圍為．
【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：
一般地，已知函數，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若若，，有，則的值域是值域的子集 ．
4．(1)
(2)
【分析】（1）由求得，根據正弦函數性質可得，然后將問題轉化為，，使得，參變分離，結合對勾函數性質可解；
（2）先求的解析式，然后結合余弦函數圖象即可求解.
【詳解】（1）因為，
則，可得，
因為，則，所以，可得，
所以．
當時，，則，
依題意，，使得，
所以，
因為，則，
令，函數在上單調遞減，
所以，所以，，
因此，實數t的取值范圍是．
（2）因為與的圖象關于直線對稱，
則
，
因為，令，
則，即，
作出函數的圖象如圖所示：
由可得，
即，
因為，故，可得，
解得或，
即，
因此，原不等式的解集為．
5．B
【分析】利用三角函數圖象的平移變換、周期變換進行判斷.
【詳解】因為，
對于①，函數的圖象向左平移個單位長度，得到，
再將每個點的橫坐標縮短為原來的，得到函數的圖象，故①正確；
對于②，函數的圖象向左平移個單位長度，得到，
再將每個點的橫坐標縮短為原來的，得到，故②錯誤；
對于③，將函數的圖象每個點的橫坐標縮短為原來的，得到，
再向左平移個單位長度，得到，故③錯誤；
對于④，將函數的圖象每個點的橫坐標縮短為原來的，得到，
再向左平移個單位長度，得到，故④正確.故A，C，D錯誤.
故選：B
6．
【分析】由題意得函數的最小正周期，解出的值，由對任意恒成立，列關于的不等式組求解即可.
【詳解】函數的最大值為3，其圖象與直線相鄰兩個交點的距離為，
則的最小正周期，由，得，解得，
若對任意恒成立，即對任意恒成立，
則，解得，
由，可得時，的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】方法點睛：相鄰的兩個最大值點間隔一個周期，余弦不等式可以利用單位圓和三角函數線或借助于函數圖象求解.
7．
【分析】由，求得，根據題意得到，再由，結合三角函數的性質，即可求解.
【詳解】由，可得，則，
可得，即，
因為任意，存在，滿足，
是的值域的子集，
因為，可得，則，
則滿足，解得，即實數的取值范圍是.
故答案為：.
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用誘導公式和二倍角公式可化簡，由已知可確定最小正周期，由此可得；利用整體代換法可求得的對稱中心；
（2）根據三角函數平移變換可得，結合和可求得，根據的零點個數可得，要使最小，則恰好為的零點，由此可得結果；
（3）根據已知可知的值域是值域的子集，根據三角函數值域求法可求得兩個函數的值域，根據包含關系可構造不等式組求得結果.
【詳解】（1）；
，，最小正周期，
，解得：，；
令，解得：，此時，
的對稱中心為.
（2）由題意知：；
，，
或，
解得：或，又，，
，其最小正周期；
令，即，解得：或；
若在上恰有個零點，則，
要使最小，則恰好為的零點，.
（3）由（2）知：，
設在上的值域為；在上的值域為，
若對任意，存在，使得成立，則；
當時，，，則；
當時，，，；
由可得：，又，，即實數的取值范圍為.
9．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡的解析式，從而由解得；
（2）利用三角函數的圖象變換規(guī)律求出函數的解析式，根據題意，將所給條件轉化為和的值域的包含關系，根據分段函數的特征及二次函數的性質分類討論，列出不等式組，求得實數的取值范圍．
【詳解】（1）
，
若，則，
∴，∴.
（2），
當時，，，
若對任意，存在使得成立，
則函數的值域是的子集.
，
令，記，
當時，，
，
在時單調遞減，則，即，
由題意得，解得，又，矛盾，所以無解；
當時，，
，
，
在時單調遞減，在時單調遞增，在時單調遞減，
，
由題意得，解得，
又，所以；
當時，，，
，
在時單調遞減，在時單調遞增，
，
由題意，解得，
又，所以；
當時，，，
，
在時單調遞減，則，即，
由題意得，解得，
又，所以，
綜上可得，.
【點睛】方法點睛：一般地，已知函數，，
（1）若，總有成立，則；
（2）若，使得成立，則；
（3）若，使得成立，則；
（4）若，使得成立，則的值域是值域的子集．
10．(1)
(2)不存在
【分析】（1）根據題設函數性質求得、，寫出解析式，再由圖象平移寫出解析式；
（2）由（1）及題設求出、在上的值域，根據恒成立成立確定值域間的包含關系，即可判斷參數的存在性.
【詳解】（1）由題，對任意，存在實數s、t，使得，且，
所以函數的半個周期為，最小正周期為，所以，
又函數圖象經過，則，即，
又，可得，故，
將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），則，
再向左平移個單位長度，得到函數圖象，則有．
（2）由，則，故，即．
由，則，故，又，
所以，即，
假設存在實數m，滿足對任意，都存在，使得成立，
則的值域是值域的子集，即，則，
此方程組無解，故滿足題意得實數m不存在．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑