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專題19 解三角形中的面積問題
【長(zhǎng)郡中學(xué)2024屆高三月考試卷（五）】
已知是邊上的點(diǎn)，
，，且，則面積的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
解題策略：本題是一道三角函數(shù)題，考查求三角形的面積的取值范圍，其中綜合了求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的問題．解決此類問題有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一是通過已知邊、角的條件，得到點(diǎn)滿足的條件，進(jìn)而得到點(diǎn)的軌跡方程為圓；二是面積公式的選擇，決定求范圍的方法．
利用正弦定理多次解三角形，化簡(jiǎn)變形得，根據(jù)線段比值建立坐標(biāo)系得出的軌跡，利用三角形面積公式，結(jié)合圖形計(jì)算即可.
設(shè)．在和中，
由正弦定理，得
由①②得 ③
在和中，由正弦定理，得
由③④，得⑥
由③、⑥兩式相除，得．
又在中，由正弦定理，得
所以，所以．
以所在直線為軸，線段的中垂線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
由，可得，．設(shè)，
由，得，
整理，得，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓（除與軸的交點(diǎn)），
所以．
故選A，B．
感悟反思：
此法第一步運(yùn)用了正弦定理和面積公式，把底邊上的線段之比轉(zhuǎn)化為另外兩邊之比為常數(shù)，得到頂點(diǎn)的軌跡為阿波羅尼斯圓（除兩點(diǎn)）．第二步，利用面積公式，結(jié)合圓得到高的取值范圍，進(jìn)而確定了面積的取值范圍即可解決問題．
通過三角形面積公式及線段比值關(guān)系化簡(jiǎn)變形得，思路一、建立坐標(biāo)系求的軌跡方程為圓；思路二、根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義待定系數(shù)得的軌跡圓半徑，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可.
，
，
又，．
，
即，，
點(diǎn)的軌跡為圓．
思路一：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
以點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
由，得，設(shè)．
由，得，
整理得，
即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
故的邊上的高的取值范圍是，
故其面積的取值范圍是．
所以A，B選項(xiàng)滿足條件．
思路二：設(shè)（且），則的軌跡為圓，且此圓的圓心在所在直線上，設(shè)圓的半徑為，則把代入可得，，
故的邊上的高的取值范圍是，
故其面積的取值范圍是．
感悟反思：
此法第一步借助面積比把底邊上線段比轉(zhuǎn)化為兩邊之長(zhǎng)為常數(shù)。第二步有兩種思路：一是運(yùn)用直接法求出軌跡方程后得到圓的半徑，再結(jié)合圖形得到面積的范圍；二是利用了阿氏圓的半徑公式求出圓的半徑，再結(jié)合圖形得到面積的范圍．
1．阿波羅尼奧斯是與阿基米德、歐幾里得齊名的古希臘數(shù)學(xué)家，以他姓名命名的阿氏圓是指平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的比值為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡．已知在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
借助面積比把底邊上線段比轉(zhuǎn)化為兩邊之長(zhǎng)為常數(shù)，思路一是利用構(gòu)造直角三角形利用勾股定理利用判別式法得到高的范圍，再結(jié)合圖形得到面積的范圍；思路二是利用正余弦定理，把面積表示為以邊為變量的二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)式，利用二次函數(shù)求出面積的取值范圍．
又
即
思路1：過作于，設(shè)，則．
由勾股定理可得，整理得，
由，得，解得，
，故選：AB．
思路2：設(shè)，則．
，
故選A，B．
總評(píng)
本題是一道三角函數(shù)題，主要考查了動(dòng)態(tài)三角形的面積的范圍的求法。對(duì)于此類問題，主要分兩步完成，第一步確定頂點(diǎn)的軌跡，第二步結(jié)合軌跡特點(diǎn)選擇幾何法或是函數(shù)法求出范圍。對(duì)于本題，關(guān)鍵是利用正弦定理或是面積關(guān)系把底邊上線段比轉(zhuǎn)化為兩邊之比為常數(shù)。接下來可以利用阿波羅尼斯圓得到圓的半徑，再結(jié)合圖形得到面積的范圍；也可以利用構(gòu)造直角三角形利用勾股定理建立方程后，用判斷式法確定三角形高的取值范圍，后再結(jié)合圖形得到面積的范圍；還可以把面積表示為以邊為變量的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合二次函數(shù)求出范圍即可。這些處理方法各有特點(diǎn)，總體差別不太，使用時(shí)可以根據(jù)具體情況作選擇。
（2023下·廣東廣州·高一廣州市白云中學(xué)校考期中）
2．如圖，在中，D，E在BC上，，，．
(1)求的值；
(2)求面積的取值范圍．
（2023上·河北張家口·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）
3．在中，，為邊上的中線，，則該三角形面積最大值為 ．
（2023·廣西桂林·校考模擬預(yù)測(cè)）
4．△ABC中，角A，B，C所對(duì)的三邊分別為a，b，c，c＝2b，若△ABC的面積為1，則BC的最小值是 ．
（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）
5．已知是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023下·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中校考期中）
6．已知的面積等于1，若，則當(dāng)這個(gè)三角形的三條高的乘積取最大值時(shí)，
7．如圖所示，在△ABC中，，AD是∠BAC的平分線，且.
（1）求k的取值范圍；
（2）若，求k為何值時(shí)，BC最短.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】求得，，然后以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的軌跡方程，可得出中邊上的高的最大值，由此可求得面積的最大值.
【詳解】由正弦定理可得，設(shè)的外接圓半徑為，
則，
以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
則、，
設(shè)點(diǎn)，由，可得，
化簡(jiǎn)可得，
所以，的邊上的高的最大值為，因此，.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求與圓有關(guān)的軌跡方程時(shí)，常用以下方法：
（1）直接法：根據(jù)題設(shè)條件直接列出方程；
（2）定義法：根據(jù)圓的定義寫出方程；
（3）幾何法：利用圓的性質(zhì)列方程；
（4）代入法：找出要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式．
2．(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式結(jié)合條件可得 ，，進(jìn)而可得，然后利用正弦定理即得；
（2）設(shè)，根據(jù)余弦定理及三角形面積公式結(jié)合條件可表示三角形面積，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>所以，
，
故，即，
則在中，根據(jù)正弦定理可得，；
（2）設(shè)，則，由解得，
在中，，
則，
，
由，得，
則，
故面積的取值范圍為．
3．8
【分析】法一：已知，以為定點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，由，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡，由此可得面積最大值；
法二：引入變量與角，由余弦定理得到的等量關(guān)系，又面積為，消，再求函數(shù)最值即可.
【詳解】法一：如圖建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)，由得：，
即：，
所以點(diǎn)A的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，，
所以當(dāng)A到x軸距離最大時(shí)，即為半徑時(shí)，面積最大.
故．
法二：設(shè)，則，在中，
由余弦定理可知，，，
而，，
由圖可知，為半圓上的點(diǎn)與連線的斜率，其最小值為直線的斜率，

故面積的最大值為.
故答案為：8.
4．
【分析】由三角形面積公式得到，利用角A的三角函數(shù)表達(dá)出，利用數(shù)形結(jié)合及的幾何意義求出最值.
【詳解】因?yàn)椤鰽BC的面積為1，所，可得，
由，可得
，
設(shè)，其中，
因?yàn)楸硎军c(diǎn)與點(diǎn)（cosA，sinA）連線的斜率，
如圖所示，當(dāng)過點(diǎn)P的直線與半圓相切時(shí)，此時(shí)斜率最小，
在直角△OAP中，，可得，
所以斜率的最小值為，
所以m的最大值為，所以，所以，即BC的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】解三角形中最值問題，要結(jié)合基本不等式，導(dǎo)函數(shù)或者數(shù)形結(jié)合，利用代數(shù)式本身的幾何意義求解.
5．C
【分析】由余弦定理和正弦定理，結(jié)合正弦和角公式得到，結(jié)合為銳角三角形，得到，故，再利用正弦定理得到，求出取值范圍即可.
【詳解】因?yàn)椋茫?br/>由余弦定理得，
所以，即．
由正弦定理得，
因?yàn)椋瑒t，
所以，即．
因?yàn)槭卿J角三角形，所以，，所以．
又在上單調(diào)遞增，所以，則．
因?yàn)槭卿J角三角形，所以，，，
所以，
由正弦定理得
，
令，因?yàn)椋裕?br/>在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故
故選：C．
【點(diǎn)睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，
常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.
6．
【分析】設(shè)三條高分別為，根據(jù)面積計(jì)算出三條高，并將三條高的乘積的最大值問題，轉(zhuǎn)化為最大來求解.
【詳解】依題意可知，三條高分別為，根據(jù)三角形面積公式有，故，，而，即，所以.故當(dāng)取得最大值時(shí)，三條高的乘積取得最大值.作平行于且與距離為的平行直線，作的垂直平分線，交直線于.過上一點(diǎn)作圓，使圓經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)，由于由于圓外角小于圓周角，故此時(shí)取得最大值，也即取得最大值.在三角形中，，由余弦定理得，.即三角形的三條高的乘積取最大值時(shí).
【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角形的面積公式，考查余弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.
7．（1）（2）
【解析】（1）（方法一）利用正弦定理在△ABC和△ACD中分別建立等式,通過整理便可得到k關(guān)于角的關(guān)系式；
（方法二）AD將△ABC一分為二,即以AD為界將△ABC分成兩個(gè)三角形,通過面積相等建立等式；
（方法三）利用余弦定理在△ABC和△ACD中分別建立等式,通過整理便可得到k關(guān)于角的關(guān)系式；
（2）在,由余弦定理可得,根據(jù)三角形面積公式可得,則,記,則,可整理為,進(jìn)而求得滿足最值的條件即可
【詳解】（1）方法一：由AD是∠BAC的平分線,可得,則,
在△ABC中,由正弦定理得①,
在△ACD中,由正弦定理得②,
由①②得,
又,,
所以,則,
因?yàn)?所以
方法二：由,
得,
又,,整理得,
因?yàn)?所以
方法三：在△ADC中,,
在△ABD中,,
又,則,
解得,
因?yàn)?所以
（2）由余弦定理得,
因?yàn)?所以,即,
故,
記,則,
（其中）,
故當(dāng)時(shí),y取得最小值3,此時(shí),
又由（1）知,
而,
則,故,
即當(dāng)時(shí),BC最短
【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形,考查角平分線定理的應(yīng)用,考查三角形中的最值問題
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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