資源簡介

專題2 等差數列中的計算
【數列（蘇教課本試題）】在等差數列中，前項和滿足，，求．
【方法名稱】整體代換法
【思路分析】利用等差數列的求和公式和等差數列的性質進行合理轉換.
【詳解】法一：不妨設，，
∴，又，故．
【舉一反三】
1．在數列中，已知，則該數列前2023項的和 .
2．已知等差數列的前項和為，若，則 .
【方法名稱】等差數列性質法
【思路分析】根據等差數列性質得為等差數列，再根據一次函數性質求結果.
【詳解】因為為等差數列，所以為等差數列，
即三點共線
則
故答案為：
【舉一反三】
3．已知等差數列的首項為，前項和為，若，且，則的取值范圍為 ．
4．等差數列中，，前項和為，若，則 .
【方法名稱】等差數列前n項和的函數特征
【思路分析】利用等差數列前n項和的函數特征去整體代換
【詳解】設公差為d，∵
設①，則②
①－②得③
而
【舉一反三】
5．已知是各項不全為零的等差數列，前n項和是，且，若，則正整數 ．
6．在等差數列中，滿足，且是數列前項的和， 若取得最大值，則
【方法名稱】基本量法
【思路分析】設出基本量，均用基本量表示代換
【詳解】設首項為，公差為 . ∵，，
∴
∵，∴，∴，∴
【舉一反三】
7．已知等差數列的前n項和為，，，，則實數m的值是 ．
8．記等差數列的前項和為，若，則 .
9．已知等差數列的前項和為，且，，則取最小值時， ．
10．設等差數列、的前項和分別為、，若對任意的，都有，則 ．
11．已知是等差數列{}的前n項和，若僅當時取到最小值，且，則滿足的n的最小值為 .
12．在數列中，若，前項和，則的最大值為 ．
13．已知是等差數列的前項和，若則 ．
14．在等差數列中，，其前項和為，若，則 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．2023
【分析】由題目條件分析可知數列為等差數列，然后利用等差數列的前項和公式、結合等差數列的性質求解.
【詳解】由可知，數列為等差數列，
所以，
所以.
故答案為：2023.
2．
【分析】根據等差數列的前n項和公式，及等差數列的性質求解即可.
【詳解】因為數列為等差數列，所以，
所以.
故答案為：
3．
【分析】根據等差數列通項和前項和的函數性可證得數列為等差數列，結合已知等式可求得，由可構造不等式組求得結果.
【詳解】設等差數列的公差為，
，，
數列是以為首項，為公差的等差數列，
，解得：；
，，解得：，
即的取值范圍為.
故答案為：.
【點睛】結論點睛：若數列為等差數列，公差為，為數列的前項和，則數列是以為首項，為公差的等差數列.
4．
【分析】由已知結合等差數列的性質可得為等差數列，再設公差為及通項公式即可求解．
【詳解】設的公差為，由等差數列的性質可知，因為，故，故為常數，所以為等差數列，設公差為
，，
，
，
，則
故答案為：
5．
【分析】設出等差數列的首項和公差，將前n項和看成關于n的二次函數，利用二次函數的圖象和性質即可求解.
【詳解】設等差數列的首項和公差分別為，，則，
也即，可以把可看成關于n的二次函數，
由二次函數的對稱性及，，
可得，解得．
故答案為：.
6．11
【分析】根據等式條件，可求得與的等量關系，結合等差數列前n項和公式及二次函數性質，即可求得取得最大值時的值.
【詳解】等差數列中，滿足，
由等差數列通項公式可知，即，
由等差數列前n項和公式可得
，
因為
所以當時，取得最大值，
故答案為：11.
【點睛】本題考查了等差數列通項公式的基本運算，等差數列前n項和公式的應用，二次函數性質求最值，屬于中檔題.
7．
【分析】利用求得正確答案.
【詳解】依題意，
設等差數列的公差為，
則，，
兩式相減得，則，
，
所以，解得.
故答案為：
8．
【分析】利用等差數列前n項和、等差中項可得，再應用通項公式求結果.
【詳解】，則，
其中為公差，則，故.
故答案為：
9．13
【分析】根據，利用等差數列前n項和公式推得，結合判斷，再結合等差數列性質可推出，即可求得答案.
【詳解】由題意知，，設等差數列的公差為d，
則，即，
因為，故，即等差數列為首項是負值的遞增數列，
又由可得，
即，故，
即等差數列前13項為負，從第14項開始為正，
故取最小值時，，
故答案為：13
10．
【分析】根據等差數列的性質即可求解.
【詳解】，
由于，
故答案為：
11．11
【分析】由前n項和有最小值可知，得出，所以，再由即可求出n的最小值.
【詳解】因為，當時取到最小值，
所以，所以，
因為，所以，即，所以.
，則，因為，
所以，解之得：,因為，所以n的最小值為11.
故答案為：11.
12．66
【分析】根據得到，根據二次函數的性質計算最值即可.
【詳解】=21，解得，故，屬于二次函數，
對稱軸為，故當或時取得最大值，
，，，
故的最大值為66.
故答案為：66.
13．4034
【分析】設等差數列前項和為，則可得是以為首項，為公差的等差數列，由此可得答案.
【詳解】設等差數列前項和為，則成等差數列，是以為首項，為公差的等差數列，的值等于.
故答案為：.
14．100
【分析】由等差數列性質得數列為等差數列，設其公差為d，進而得，故，進而得，再計算即可.
【詳解】∵數列為等差數列，
∴數列為等差數列，
設其公差為d，又，解得：，
又∵，
∴，即
∴
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑