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專題1 數(shù)列中的不等關(guān)系的證明
【2023 全國高三專題復(fù)習(xí)】已知函數(shù)滿足．設(shè)是數(shù)列的前n項和，證明：．
【方法名稱】放縮法
【思路分析】利用結(jié)合不等式性質(zhì)得到，從而可證題設(shè)中的不等式.
∵，且，
設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時，，即．
∴．
∵，∴，
∵，
∴．
從而
【舉一反三】
1．已知數(shù)列滿足，，證明：．
2．已知數(shù)列滿足，.證明：
(1)；
(2)
【方法名稱】數(shù)學(xué)歸納法
【思路分析】
1.目標(biāo)分析
這道題是數(shù)列求和不等式S（n）＜f（n）.若存在函數(shù)g（n） s.t. 對于每一個n都有an2.條件分析
由蛛網(wǎng)圖不難得出{an}單調(diào)遞增.在證明是，結(jié)合這一結(jié)構(gòu)，自然想到連接正弦函數(shù)的（0，0）點和（，1）來證明，進而證明{an}單調(diào)遞增.
3.綜合分析
{an}單調(diào)是個好條件，我們可以找到同樣單調(diào)的，余下用數(shù)學(xué)歸納法證明an＞g（n）即可.
引理1：
令， 則.
因為單調(diào)遞減且， 所以存在唯一使得.
對于;對于，.
所以， 所以.
引理2： （只需構(gòu)造即可，證明略.）
因為；n>=1時，， 所以. 由引理1，得：.
下面證明.
（1.1）當(dāng)n=1時，，結(jié)論成立.
（1.2）當(dāng)n=2時，，結(jié)論成立.
（1.3）當(dāng)n=3時，，結(jié)論成立.
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k>2，且k∈Z）時成立，則
當(dāng)n=k+1時，
經(jīng)歸納，得：
所以.
【舉一反三】
3．設(shè)數(shù)列滿足，．
(1)若，求實數(shù)a的值；
(2)設(shè)，若，證明：．
4．已知數(shù)列滿足，．
(1)若數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，求m的值．
(2)當(dāng)時，證明：．
(3)求最大的正數(shù)m，使得對一切整數(shù)n恒成立，并證明你的結(jié)論．
5．已知每一項都是正數(shù)的數(shù)列滿足，．
(1)證明：．
(2)證明：．
(3)記為數(shù)列的前n項和，證明∶．
6．已知函數(shù)，數(shù)列的第一項，后面各項按如下方式取定：曲線在點處的切線與經(jīng)過和兩點的直線平行（如圖）．證明：

(1)．
(2)．
7．?dāng)?shù)列中，，對任意正整數(shù)n都有.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)的前項和為，證明：
①；
②.
8．已知等差數(shù)列的前n項和為，，，數(shù)列滿足：，．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)證明：；
(3)設(shè)數(shù)列滿足：．證明：．
9．如圖，已知曲線及曲線．從上的點作直線平行于軸，交曲線于點，再從點作直線平行于軸，交曲線于點，點的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列．
(1)試求與之間的關(guān)系，并證明：；
(2)若，求的通項公式．
10．已知數(shù)列滿足，．
(1)證明：數(shù)列為遞增數(shù)列．
(2)證明：
(3)證明：
11．已知數(shù)列中，是其前項的和，，.
(1)求，的值，并證明是等比數(shù)列；
(2)證明：.
12．已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間．
(2)記為從小到大的第個零點，證明：
①當(dāng)i取時，有．
②對一切，有．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．證明見解析
【分析】運用放縮法可得，再結(jié)合累乘法可證得結(jié)果.
【詳解】證明：由及糖水不等式可得．
所以當(dāng)時，，
又因為，，
所以對一切成立．
2．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由由于，再由時，，即可證得.
（2）由，得到，即可得證.
【詳解】（1）證明：由于，
當(dāng)時，，則，
所以.
（2）證明：由于，可得，且，
又由，可得當(dāng)時，，
則
，
所以.
3．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知得，解得，由，得或，由此能求出實數(shù)的值．
（2）由已知得，由，能證明，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，．由此能證明．
【詳解】（1）數(shù)列滿足，，
，易知a不為0，解得，
，，
解得或，
由解得，由，解得．
實數(shù)的值為1．
（2）當(dāng)時，數(shù)列滿足，，
（各項均不為0），
，，，
，
，
，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，
，
再證，．
當(dāng)時，，滿足．
假設(shè)當(dāng)，時有，等價于，
，，
當(dāng)時，，
只需證．
證明如下：，，
，，，
，，
，
，，
，
，
時，成立．
綜上知．
綜上所述：．
4．(1)
(2)證明見解析
(3)正數(shù)m的最大值是2，證明見解析
【分析】（1）由可求出m的值；
（2）由，得兩式相減化簡可證得結(jié)論；
（3）假設(shè)，則可得與矛盾，所以要使得對一切整數(shù)n恒成立，只可能是，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明.
【詳解】（1）若數(shù)列是常數(shù)列，則，
解得．
顯然，當(dāng)時，有．
（2）由條件得，
得．
因為，，
以上兩式相減得．
因為，，，
所以，
所以與同號．
因為，所以，
所以．
（3）首先證明．
假設(shè)，因為，
所以．
這說明，當(dāng)時，越來越大，顯然不可能滿足．
所以要使得對一切整數(shù)n恒成立，只可能是．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時，恒成立．
當(dāng)時，顯然成立．
假設(shè)當(dāng)時成立，即，
則當(dāng)時，成立．
綜上可知對一切正整數(shù)n恒成立．
因此，正數(shù)m的最大值是2．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查數(shù)列與不等式的綜合問題，考查反證法和數(shù)學(xué)歸納法，第（3）問解題的關(guān)鍵是先利用反證法得到，然后再利用反證法證明時，恒成立即可，考查數(shù)學(xué)計算能力，屬于較難題.
5．(1)證明見解析.
(2)證明見解析.
(3)證明見解析.
【分析】（1）解法一可利用數(shù)學(xué)歸納法證明；解法二構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明.
（2）用數(shù)學(xué)歸納法由（1）知，再由數(shù)學(xué)歸納法可證.
（3）由，得，再求和即可.
【詳解】（1）解法一：由題意知，．
①當(dāng)時，，，，成立．
②假設(shè)時，結(jié)論成立，即．
∵，
∴．
故時，結(jié)論也成立．
由①②可知，對于，都有成立．
解法二：，，，成立．
令，顯然單調(diào)遞減．
∵，假設(shè)，
則，即，
故，即．
故對于，都有成立．
（2）由（1）知，∴．
同理，由數(shù)學(xué)歸納法可證，．
猜測．下面給出證明．
∵，∴與異號．
注意到，知，，
即．
∴，
從而可知．
（3）
，
∴
，
∴
．
6．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與兩點斜率公式即可證明；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及二次函數(shù)的單調(diào)性可得，累乘可證不等式左側(cè)成立，再令可得，累乘得，即證得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意可得：，
∴曲線在點處切線的斜率．
又∵過和兩點的直線斜率是，
且曲線在點處的切線與經(jīng)過和兩點的直線平行，
∴．
（2）∵函數(shù)在時單調(diào)遞增，
而，
∴，即．
因此累乘可得．
又，
令，則．
∵，∴累乘可得，
∴，
即．
7．(1)
(2)①證明見解析；②證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意化簡得，得到數(shù)列為等比數(shù)列，進而求得數(shù)列的通項公式；
（2）①易得；
②由①得，設(shè)，利用乘公比錯位相減法求得，即可求解.
【詳解】（1）解：因為，
所以，即，
又因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
從而，則.
（2）①因為，所以；
②由①得，
設(shè)，
則，
兩式相減得，
即，
從而，故.
8．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合遞推公式，即可證明；
（2）根據(jù)條件求和，再代入不等式，利用作差法，即可化簡證明；
（3）根據(jù)數(shù)列的通項公式，分別求奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，再分別利用裂項相消法和錯位相減法求和，即可證明.
【詳解】（1）由，得，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，．
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，得，
所以，，
，，
，得證．
（3）當(dāng)n為奇數(shù)時，，
，
當(dāng)n為偶數(shù)時，，
，
設(shè)，
，
兩式相減得
得，
所以，
所以．
9．(1)；證明見解析
(2)
【分析】（1）由題意可得，從而有，再根據(jù)在上，即可得與之間的關(guān)系，根據(jù)，可得與異號，再結(jié)合，即可得證；
（2）根據(jù)，可得，兩式相除，利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列的通項即可得解．
【詳解】（1），從而有，在上，故，
故，
由及，知，下證：，
，故與異號，
，故，故，即；
（2），則，，
兩式相除得，，
故是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
則，解得．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了數(shù)列的遞推公式，求數(shù)列的通項公式，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，構(gòu)造等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵.
10．(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)給定條件，利用單調(diào)遞增數(shù)列定義判斷作答.
（2）對給定的遞推公式變形，取倒數(shù)并裂項，借助裂項相消法和及不等式的放縮法推理作答.
（3）利用（2）的信息及結(jié)論，借助不等式的放縮法推理作答.
【詳解】（1）數(shù)列滿足，則，由，知，
因此，即，
所以數(shù)列為遞增數(shù)列.
（2）由，得，由（1）知，，
因此，則有，
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
取，于是，則，
所以.
（3）由（2）知，，
當(dāng)時，，
因此，而，于是，
所以.
【點睛】
思路點睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認(rèn)真分析遞推公式并進行變形，可借助累加、累乘求通項的方法分析、探討項間關(guān)系而解決問題.
11．(1)，，證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題目條件代入即可求出，的值，利用構(gòu)造法即可證明是等比數(shù)列；
（2）根據(jù)（1）求出，再結(jié)合放縮法即可進行證明.
【詳解】（1）由，得，
所以，，
由，得，
所以，.
證明如下：
由，得，
所以，
所以，所以，
所以，
因為，所以，，
即數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）知，，
，，
，
因為，所以，
于是，
其中，
于是，
所以.
即.
12．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及解析式的特征可得，，利用放縮法可證題設(shè)中的不等式.
【詳解】（1）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
于是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）①由于，
因此在每個單調(diào)區(qū)間上函數(shù)均有唯一零點．
注意到，
因此，
從而
，
命題得證.
②根據(jù)之前得到的結(jié)果，有，這樣就有
，
因此題中不等式，
命題得證．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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