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專題18 三角形中關于角的最值問題
【2024杭州二中開學考14】如圖，已知BC＝3，D，E為△ABC邊BC上的兩點，且滿足∠BAD＝∠CAE，，則當∠ACB取最大值時，△ABC的面積等于______．
利用正弦定理多次解三角形，作商得，根據條件得出，再根據余弦定理結合基本不等式得∠ACB何時取最大值，利用三角形面積公式計算即可.
由，則，
則①
又，則②
則，則，
故，當且僅當時取等，則，
此時.
1．在中，角，角A的平分線AD與BC邊相交于點D，則的最小值為 .
由正弦定理多次解三角形，作商得，根據條件得出，由三角形內角和及三角恒等變換得，利用導數研究其單調性得出，，再根據三角形面積公式計算即可.
由于，從而
，
，
令
∴時，，∴此時，，．
（2023·全國·模擬預測）
2．已知銳角三角形ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，外接圓半徑為，，D為BC上一點且AD為的平分線，則AD的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023·山西臨汾·校考模擬預測）
3．在中，點D在上，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
利用正弦定理多次解三角形，作商得，根據條件得出，利用阿氏圓定義得出A點軌跡，再根據直線與圓的位置關系確定何時∠ACB達到最大，計算三角形面積即可.
解：由已知，
，
又，∴，即
由得，，即，
以B為原點，BC所在直線為x軸建立直角坐標系xBy，
則，設，則由得，
即，∴點A位于以點為圓心，2為半徑的圓周M上
結合圖形知，當直線CA與圓M相切時，∠ACB達到最大，此時，
．
（2024·全國·高三專題練習）
4．在中，已知D為邊BC上一點，，．若的最大值為2，則常數的值為（ ）
A． B． C． D．
由正弦定理多次解三角形，作商得，根據條件得出，由三角形內角和及三角恒等變換得，根據輔助角公式判定何時∠ACB達到最大，計算三角形面積即可.
.
解：由已知，
，
又，∴，即
由得，，即，
，即，，
∴，
（∵，∴）．
∴，當且僅當，即時，等號成立．
因此，∠ACB的最大值為，此時，，．
（2023·湖北武漢·華中師大一附中校考模擬預測）
5．剪紙又叫刻紙，是一種鏤空藝術，是中華漢族最古老的民間藝術之一，如圖，一圓形紙片沿直徑AB對折，使圓上兩點C、重合，D，E為直徑AB上兩點，且，對折后沿直線DC，EC級剪，展開得到四邊形，若，則當四邊形的面積最小時， ．

由正弦定理多次解三角形，作商得，根據條件得出，
根據三角函數有界性判定何時∠ACB達到最大，計算三角形面積即可.
由已知得，即．
由正弦定理得，，
∴，
∴，
又必為銳角，∴，
∠ACB的最大值為，此時，．
（2023上·山東德州·高三校考階段練習）
6．已知中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，D是AB上的四等分點（靠近點A）且，，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角所對應的邊分別為，設的面積為，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）
8．在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，則下列4個結論中正確的有（ ）個.
①；②的取值范圍為；
③的取值范圍為；
④的最小值為
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
（2023上·重慶·高三校聯考階段練習）
9．在中，角的對邊分別為，，，滿足，，則 ，的面積最大值為 ．
10．在△ABC中，角所對的邊分別為．若，則△ABC的面積的最大值為 ．
（2024上·全國·高三統考競賽）
11．已知凸四邊形內接于圓，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·廣東肇慶·高三統考階段練習）
12．如圖，在四邊形中，，，，.

(1)若，求；
(2)求的最大值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．16
【分析】根據三角形的面積公式列方程，結合基本不等式“1”的妙用即可得解.
【詳解】依題意，，設，
依題意是角A的角平分線，，

由三角形的面積公式得，
整理得，則，
所以
.
當且僅當，即時，等號成立.
故答案為：.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用三角形面積得到，從而得解.
2．B
【分析】首先根據已知利用正、余弦定理求出及a，然后利用正弦定理將AD表示出來
：，設，得，然后構造函數，利用導數并結合三角函數的圖象與性質研究的單調性和最值，即可得解．
【詳解】由得，則由余弦定理得，因為為三角形內角，
∴，由得．
由正弦定理得，，
則，則．
設，則，∵為銳角三角形，∴，
令，
則，則，
當時，∵，，
∴，同理得當時，，
∴在上單調遞減，在上單調遞增，
∴當時，，即，
∴，∴．
故選：B．
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是引角，設，根據正弦定理得到函數表達式，再利用導數求出其值域即可.
3．B
【分析】根據給定條件，利用余弦定理把表示成的函數，再利用導數探討函數的最值即可得解.
【詳解】依題意，由，得，
設，由，得，
在中，，
在中，，
則，
令，則，
由，解得，由，解得，
因此在上單調遞增，在上單調遞減，
即當時，取得最大值，
因此當時，取得最大值為，
所以的最大值為.
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是利用余弦定理，將問題轉化為求函數最值，由此得解.
4．D
【分析】令且，求得外接圓半徑為，若，結合已知得點在圓被分割的優弧上運動，進而確定的最大，只需與圓相切，綜合運用兩點距離、圓的性質、正弦定理、三角恒等變換列方程求參數.
【詳解】令且，即，則外接圓半徑為，
若，的外接圓方程為，
所以，令圓心為，
即點在圓被分割的優弧上運動，如下圖，
要使的最大，只需與圓相切，由上易知，
則，而，由圓的性質有，
中，，顯然，
由，則，
所以，可得（負值舍），
故，而，
所以，
整理得，則.
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：令且，得到點在圓被分割的優弧上運動為關鍵.
5．##
【分析】根據正弦定理，結合三角形面積公式，輔助角公式、二倍角的正弦公式進行求解即可.
【詳解】設圓的半徑為r，，∵，∴，
在中由正弦定理可得，∴，
在中由正弦定理可得，∴，
，當時四邊形的面積取得最小值，此時，
∴.

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用三角形面積公式、正弦定理得到面積的表達式，利用輔助角公式進行求解.
6．B
【分析】根據題意，由正弦定理化簡得到，求得，設，得到，再結合正弦定理，化簡得到，結合三角函數的性質，即可求解.
【詳解】因為，
由正弦定理得，可得，即，
所以，，則，
設，則，且，
在中，且，則，
在中，由，則，
由，即，
又由正弦定理知（為的外接圓半徑），
所以，
則，即，
又因為，故當，即時，所以.
故選：B.

7．A
【分析】由面積公式和余弦定理，基本不等式對進行變形，得到關于的關系式，結合三角函數的有界性，列出關于t的不等式，求出最大值.
【詳解】，，
則設
所以，即
，
故選：A.
【點睛】三角函數最值問題，要充分使用題干中的條件及一些工具，比如正余弦定理，面積公式，基本不等式等對不等式進行變形，這道題目的難點在于使用了三角函數的有界性，輔助角公式來求解最值.
8．B
【分析】
利用正弦定理與三角恒等變換求得，從而判斷A；利用銳角三角形內角的范圍判斷B；利用正弦定理與倍角公式，結合余弦函數的性質判斷C；利用三角恒等變換，結合基本不等式判斷D.
【詳解】在中，由正弦定理可將式子化為，
又，
代入上式得，即，
因為，則，故，
所以或，即或（舍去），
所以，故A錯誤；
選項B：因為為銳角三角形，，所以，
由解得，故B錯誤；
選項C：，
因為，所以，，
即的取值范圍為，故C正確；
選項D：
，
當且僅當，即時取等號，
但因為，所以，，無法取到等號，故D錯誤.
故選：B.
【點睛】易錯點睛：在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤．
9． 12 3
【分析】變形得到，結合得到，由正弦定理和余弦定理得到，由余弦定理和同角三角函數平方關系得到，表達出三角形面積，利用基本不等式求出最值.
【詳解】由可得，
由，則，，
因為，所以，故，
又，，
則，
因為，所以，
則，
即，
故，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
則，則；
因為，
則，
則，
當且僅當，即時取得等號．
故，面積最大值為．
故答案為：12，3
【點睛】方法點睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關的范圍問題，與面積有關的范圍問題，或與角度有關的范圍問題，
常用處理思路：①余弦定理結合基本不等式構造不等關系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實現邊化角，進而轉化為正弦或余弦函數求出最值.
10．
【分析】（1）可以把△ABC放入直角坐標系中，將已知條件轉化為坐標之間的方程關系，數形結合，找到取得面積最大時的特殊位置；
（2）可以把已知條件中三個變元的關系結合基本不等式形成兩個變元的關系，同時面積也轉化成這兩個變元的關系再求最值即可；
（3）可以把已知條件結合余弦定理及基本不等式，將面積轉化為以角度為變量的三角函數表示，利用函數思想求三角函數最值.
【詳解】方法1：在△ABC中，以線段所在的直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，則，，設，
因為，所以.
得，
整理得，即是如圖1所示的圓上的動點.
如圖2，當點C在y軸上時，即時，△ABC面積最大，
故，當時，即時，△ABC面積取得最大值為.
方法2：如圖3，CD是△ABC邊AB上的高，設，，，由，得，即，又，得當且僅當時取等號)，所以，
又，
當且僅當時，等號成立，即，
將與代入中，得.
所以△ABC面積的最大值為.
方法3:由三角形面積公式，得，即，
由，得，由余弦定理，得，
所以(當且僅當時取等號)，
當時，即時，取得最大值，即，所以△ABC面積的最大值為.
(也可以用基本不等式求的最大值，
即，
當時，即時取等號，所以△ABC面積的最大值為.)
方法4：在△ABC中，由余弦定理，得，由，得，即，又，所以，即，故，又，所以，令，，得，令，得，
0
極大值
即當時，，，所以△ABC面積的最大值為.
【點睛】在處理與正余弦定理相關的面積最值問題時：
（1）如果出現邊的一次式一般采用正弦定理，出現二次式一般要結合余弦定理，利用基本不等式找到變元間的不等關系，結合面積公式求得最值；
（2）三角形的面積可以轉化為邊的關系，也可以轉化為關于某個角的函數，利用函數思想求最值；
（3）也可以數形結合，如果能從形中找到突破口，會大大降低難度和計算量.
11．D
【分析】
設，根據結合正弦定理可得，再利用三角恒等變換可得，進而利用正弦定理可得，即可得結果.
【詳解】設，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
因為，即，
且，可知，
則，即，
又因為，則，
可得，
則，
在中，由正弦定理可得，
在中，可知，
由正弦定理可得，
則，可得，
當且僅當時，等號成立，
所以的最大值為.
故選：D.
【點睛】
方法點睛：與解三角形有關的交匯問題的關注點
（1）根據條件恰當選擇正弦、余弦定理完成邊角互化．
（2）結合內角和定理、面積公式等，靈活運用三角恒等變換公式．
12．(1)
(2)
【分析】（1）在中，求出，，,進而求出，在中由余弦定理可得解；
（2）過點作于點，設，求出，，得到，利用基本不等式可得解.
【詳解】（1）由題意知，，，所以.
在中，，，
所以.
在中，由余弦定理得，
，
所以.
（2）過點作于點，由，，，，
可得，，

設，當時，點在點的右側，如圖①，，則.
當時，點在點的左側，如圖②，，則.
又，所以當，且時，
.
當時，點與點重合，，滿足上式，
所以，其中.
令，則，
所以，
當且僅當，即，時，等號成立，此時取得最大值，
因為，所以為銳角，
所以當時，取得最大值.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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