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專題16 函數與不等式解圖形最值問題
【2024屆蘇北六市一模第8題】某中學開展勞動實習，學生制作一個矩形框架的工藝品，要求將一個邊長分別為和的矩形零件的四個頂點分別焊接在矩形框架的四條邊上，則矩形框架周長的最大值為（ ）
A. B. C. D.
根據圖形關系設出角度，用三角函數表示矩形框架各個邊，結合三角函數變換公式以及三角函數圖像求解最值.
如圖
令，則，，則，，則
周長，選D
（2024上·重慶·高一統考期末）
1．如圖，半徑為1的扇形圓心角為，點P在弧上運動，連結PA，PB，得四邊形OAPB．

(1)求四邊形OAPB面積的最大值；
(2)求四邊形OAPB周長的最大值．
（2024上·黑龍江哈爾濱·高一統考期末）
2．如圖，在扇形中，半徑，圓心角.是扇形圓弧上的動點，矩形內接于扇形，記.
(1)將矩形的面積表示成關于的函數的形式；
(2)求的最大值，及此時的角.
根據題意設出一條邊的長度，進而表示出周長，根據導數與函數的關系來求解最值.
令
在，在
，∴的最大值為
（2023下·河北邯鄲·高二武安市第三中學?？茧A段練習）
3．若將一邊長為的正方形鐵片的四角截去四個邊長均為的小正方形，然后做成一個無蓋的方盒，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，方盒的容積最大 B．方盒的容積沒有最小值
C．方盒容積的最大值為 D．方盒容積的最大值為
（2022·高二課時練習）
4．如圖，陰影部分為古建筑群所在地，其形狀是一個長為2，寬為1的矩形，矩形兩邊、緊靠兩條互相垂直的路上，現要過點修一條直線的路，這條路不能穿過古建筑群，且與另兩條路交于點和．則的面積的最小值為 ．

（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃?br/>5．某城市有一塊不規則的空地（如圖），兩條直邊，曲邊近似為拋物線的一部分，該拋物線的對稱軸正好是直線.該城市規劃部門計劃利用該空地建一座市民活動中心，該中心的基礎建面是一個矩形在邊上，在邊上，在曲邊上，為使建面最大，則 ．

（2024上·上?！じ叨虾煷蟾街行？计谀?br/>6．（1）“老六”和他的老鐵們要參加學校的“科目三”表演活動，他們要用一張邊長為的正方形藍色紙片做一頂圓錐形裝飾帽子，以正方形的一個頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，剪下一個最大的扇形，并用這個扇形圍成了一個圓錐.如圖所示，其中是該圓錐的高，求該圓錐的體積；
（2）“老六”將周長為4的矩形繞旋轉一周得到一個圓柱，求當圓柱的體積最大時矩形的面積.

（2023下·廣東東莞·高二東莞實驗中學?？茧A段練習）
7．某物流公司購買了一塊長米，寬米的矩形地塊，規劃建設占地如圖中矩形的倉庫，其余地方為道路和停車場，要求頂點在地塊對角線上，、分別在邊、上，假設長度為米．若規劃建設的倉庫是高度與的長相同的長方體建筑，問長為多少時倉庫的庫容最大？并求出最大值．（墻體及樓板所占空間忽略不計）

設出各邊長度，根據兩個勾股定理得到兩組等量關系，表示出矩形框架長度，結合柯西不等式求解最值即可.
設，則
由柯西不等式
同理，∴
“＝”成立當且僅當
（2020下·浙江溫州·高三溫州中學?？茧A段練習）
8．如圖，在中，為邊上的高線.為三角形內一點，由向三角形三邊作垂線，垂足分別為，，，已知，，，依次構成公差為1的等差數列.
（1）求的面積；
（2）求的最小值.
根據角的關系轉化得到各個邊的長度之比，利用雙變量表示周長，結合基本不等式求最值即可.
如圖所示，，
設，則.
由得
，.
，
矩形ABCD周長為.
又，
，當且僅當時，等號成立.
矩形框架周長的最大值為，選D
（2021下·廣東佛山·高一統考競賽）
9．在一個圓心角為，半徑為1米的扇形鐵板中按如圖方式截出一塊矩形，則該矩形的面積的最大值為 平方米.

（2024上·上?！じ叨虾Ｊ羞M才中學?？计谀?br/>10．如圖，在寬為14的路邊安裝路燈，燈柱高為8，燈桿是半徑為的圓的一段劣弧.路燈采用錐形燈罩，燈罩頂到路面的距離為10，到燈柱所在直線的距離為2.設為燈罩軸線與路面的交點，圓心在線段上.以為原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系.

(1)當點恰好為路面中點時，求此時圓的方程；
(2)記圓心在路面上的射影為，且在線段上，求的最大值.
（2023上·北京·高一北京市第二十二中學?？茧A段練習）
11．圍建一個面積為的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用的舊墻需要維修），其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為的進出口，如圖所示．已知舊墻長米，舊墻的維修費用為元，新墻的造價為元．設利用的舊墻長度為，修建此矩形場地圍墻的總費用為元．

(1)寫出關于的函數解析式，并寫出函數的定義域；
(2)試確定，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．
（2023·江蘇·金陵中學校聯考三模）
12．有一直角轉彎的走廊（兩側與頂部封閉），已知兩側走廊的高度都是6米，左側走廊的寬度為米，右側走廊的寬度為1米，現有不能彎折的硬管需要通過走廊.設可通過的最大極限長度為l米（不計硬管粗細）.為了方便搬運，規定允許通過此走廊的硬管的最大實際長度為米，則m的值是（ ）

A．7.2 B． C． D．9
（2024上·北京大興·高三統考期末）
13．如圖是六角螺母的橫截面，其內圈是半徑為1的圓，外框是以為中心，邊長為2的正六邊形，則到線段的距離為 ；若是圓上的動點，則的取值范圍是 .

（2023·上海徐匯·統考一模）
14．某建筑物內一個水平直角型過道如圖所示，兩過道的寬度均為米，有一個水平截面為矩形的設備需要水平通過直角型過道．若該設備水平截面矩形的寬為米，則該設備能水平通過直角型過道的長不超過 米．
（2023上·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學?？计谥校?br/>15．如圖所示，某小區有一半徑為，圓心角為的扇形空地.現欲對該地塊進行改造，從弧上一點向引垂線段，從點向引垂線段.在三角形三邊修建步行道，則步行道長度的最大值是 .在三角形內修建花圃，則花圃面積的最大值是 .

（2023上·山東·高三山東省北鎮中學校聯考開學考試）
16．某學校有如圖所示的一塊荒地，其中，，，，，經規劃以AB為直徑做一個半圓，在半圓外進行綠化，半圓內作為活動中心，在以AB為直徑的半圓弧上取兩點，現規劃在區域安裝健身器材，在區域設置乒乓球場，若，且使四邊形的面積最大，則 ．

（2024上·浙江寧波·高一鎮海中學校考期末）
17．如圖所示，鎮海中學甬江校區學生生活區（如矩形所示），其中為生活區入口.已知有三條路，，，路上有一個觀賞塘，其中，路上有一個風雨走廊的入口，其中.現要修建兩條路，，修建，費用成本分別為，.設.
(1)當，時，求張角的正切值；
(2)當時，求當取多少時，修建，的總費用最少，并求出此的總費用.
（2023下·河北邯鄲·高二武安市第三中學?？茧A段練習）
18．如圖，在半徑為4m的四分之一圓（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A，C在兩半徑上，現將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設矩形的邊長，圓柱的體積為V．
(1)求出體積V關于x的函數關系式，并指出定義域；
(2)當x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大？最大體積是多少？
（2023·全國·高三專題練習）
19．無數次借著你的光，看到未曾見過的世界：國慶七十周年 建黨百年天安門廣場三千人合唱的磅礴震撼，“930烈士紀念日”向人民英雄敬獻花籃儀式的凝重莊嚴金帆合唱團，這絕不是一個抽象的名字，而是艱辛與光耀的延展，當你想起他，應是四季人間，應是繁星璀璨！這是開學典禮中，我校金帆合唱團的頒獎詞，聽后讓人熱血沸騰，讓人心向往之.圖1就是金帆排練廳，大家都親切的稱之為“六角樓”，其造型別致，可以理解為一個正六棱柱（圖2）由上底面各棱向內切割為正六棱臺（圖3），正六棱柱的側棱交的延長線于點，經測量，且
(1)寫出三條正六棱臺的結構特征.
(2)“六角樓”一樓為辦公區域，二樓為金帆排練廳，假設排練廳地板恰好為六棱柱中截面，忽略墻壁厚度，估算金帆排練廳對應幾何體體積.（棱臺體積公式：）
(3)“小迷糊”站在“六角樓”下，陶醉在歌聲里.“大聰明”走過來說：“數學是理性的音樂，音樂是感性的數學.學好數學方能更好的欣賞音樂，比如咱們剛剛聽到的一個復合音就可以表示為函數，你看這多美妙!”
“小迷糊”：“.....”
親愛的同學們，快來幫“小迷糊”求一下的最大值吧.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意列出四邊形OAPB面積，由 ，結合三角函數性質求最值即可；
（2）根據題意列出四邊形，結合三角函數性質求最值即可.
【詳解】（1）設，過點P做，交OB于點C，有，
得 ，
，
從而四邊形OAPB面積，
由 ，得 ，
所以當 時，即，四邊形OAPB面積最大，最大值為

（2）過點O做，交于點D，所以，
過點O做 ，交 于點E，所以，
從而四邊形OAPB周長
，
由 ，得 ，
當時，即時四邊形OAPB周長最大，最大值為.

2．(1)（）
(2)時，取得最大值
【分析】
（1）借助三角函數定義及幾何性質即可求解；
（2）借助三角函數性質即可求解.
【詳解】（1）
在中，，，
，，
，
，
（）；
（2）
，
，
，
因為，
，
當，即時，
取得最大值.
3．ABC
【分析】將方盒容積表示為關于的函數的形式，利用導數可求得單調性、最值點和最值，由此可得結果.
【詳解】由題意知：方盒的底面為邊長為的正方形，高為，其中，
則方盒的容積為，
，
則當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減，
，無最小值，ABC正確，D錯誤.
故選：ABC.
4．4
【分析】
設，然后由三角形相似可表示出，從而可表示出的面積，再利用導數可求出其最小值
【詳解】
設，
因為∥，所以∽，
所以，得．
即，故，
則．
當時，，當時，，
所以在上遞減，在上遞增，
所以當時，取得最小值．
故答案為：4
5．
【分析】以為原點，為軸，建立直角坐標系，求得曲邊的方程為，直線的方程為：，設，求得，利用導數求得函數的單調性，求得最大值點，進而得到的值.
【詳解】以為原點，為軸，建立如圖所示的直角坐標系，
因為，則，
設曲邊的方程為，代入可得，
所以曲邊的方程為，直線的方程為：，
設，則，
可得矩形為
則
令，解得或（舍去），
所以，
當，；當，，
可得函數在遞增，在遞減，所以當時，最大，
此時.
故答案為：.

6．（1）（2）
【分析】（1）由題意得母線長為正方形邊長，圓錐底面圓周長為以正方形的一個頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，剪下一個最大的扇形的弧長，由此即可求出圓錐的底面半徑以及高，進而得解.
（2）由題意圓柱的高以及底面半徑構成一個條件等式，將圓柱體積表示成關于半徑的函數，求導得圓柱的體積最大時的半徑，從而得解.
【詳解】（1）如圖所示：

由題意母線長為正方形邊長，即，
圓錐底面圓周長為以正方形的一個頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，剪下一個最大的扇形的弧長，
不妨設圓錐底面半徑為，所以，解得，
所以圓錐的高，
所以圓錐的體積為.
（2）由題意不妨設，則，所以，
所以圓柱的體積可表示為，
求導得，
所以當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
所以當圓柱的體積最大時，此時矩形的面積為.
7．的長度為20米時倉庫的庫容最大，最大值為立方米
【分析】由條件求得AD，進而得出倉庫的庫容的解析式，求導計算可得結論．
【詳解】因為，且，，．
所以，得．
倉庫的庫容，
令，得或（舍去）．
當時，，V(x)單調遞增；
當時，， V(x)單調遞減．
所以當時，有最大值為．
即的長度為20米時倉庫的庫容最大，最大值為立方米．
8．（1）84；（2）.
【解析】由題意，可設出，，，，由等面積法可求出x，進而求得面積；
由等面積可知，再利用柯西不等式即可得到結果．
【詳解】設，，，，
則，解得，
的面積為；
，
，
，
的最小值為．
【點睛】本題巧妙地把等差數列，柯西不等式以及解三角形結合起來考查，還考查了等面積法的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題．
9．
【分析】設，根據直角三角形的邊角關系、余弦定理結合基本不等式即可得所求.
【詳解】設，則，連接，

于是在中，由余弦定理，
從而，當且僅當，即時取等號.
所以該矩形面積的最大值為平方米.
故答案為：.
10．(1)
(2)
【分析】（1）以O為原點，以所在直線為y軸建立平面直角坐標系，設圓心，根據圓心C到A，P的距離相等得到，再由圓心在直線PQ上聯立求解.
（2）由（1）知，當時，燈罩軸線所在直線方程為，易得；當時，設燈罩軸線所在方程為：，令得到，然后由，利用基本不等式求解.
【詳解】（1）則，
∴直線的方程為．
設，則，兩式相減得：，
又，解得，
∴．
所以圓的方程為.
（2）由（1）知，
當時，燈罩軸線所在直線方程為，此時
當時，燈罩軸線所在方程為：，
令可得，即，
∵H在線段OQ上，∴，解得．
∴，
當且僅當即時取等號．
∴的最大值為．
11．(1)，定義域為
(2)當時，總費用最小，最小值為元
【分析】（1）根據矩形場地面積可求得利用新墻的長度，由此可表示出總費用，即得到函數解析式；根據實際意義可得定義域；
（2）利用基本不等式可求得總費用的最小值，并確定此時的取值.
【詳解】（1）由題意知：，新墻的長度為，
，
即關于的函數解析式為，定義域為.
（2）（當且僅當，即時取等號），
，
當時，總費用最小，最小值為元.
12．D
【分析】先研究鐵管不傾斜時，令，建立，，利用導數求出；再研究鐵管傾斜后能通過的最大長度.
【詳解】如圖，鐵管不傾斜時，令，

，，，，
.
令，解得：，令，解得：，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
此時通過最大長度，∴，∴傾斜后能通過的最大長度，
∴.
故選：D.
13． 1
【分析】根據正六邊形的性質即可求解空1，利用向量的坐標運算即可由三角函數的性質求解.
【詳解】取中點為，
由于正六邊形的邊長為2，所以,
因此到線段的距離為,
建立如圖所示的直角坐標系，則,
，
，
由于,
故，
故答案為：1；

14．
【分析】建立平面直角坐標系，利用直線的方程求得設備的長的表達式，再利用均值定理求得的最小值，進而得到該設備能水平通過直角型過道時不超過的值.
【詳解】分別以所在直線為軸建立平面直角坐標系如圖，
則，令，
則直線的方程為，
則在直線的上方，且到直線的距離為1，
即， 則，
整理得，
設，則，
則可化為，
令，則，則
,
由，得，
又在上單調遞增，
則，
則（當且僅當時等號成立）
則該設備能水平通過直角型過道的長不超過米
故答案為：
15．
【分析】設，利用銳角三角函數表示出，再利用輔助角公式求解即得；求出的面積函數式，利用導數求出最大值即得.
【詳解】依題意，設，則，
因此的周長，
顯然，于是當，即時，取等號，
所以步行道長度的最大值是；
由于，得，
因此的面積，
令，求導得，
而，則當時，，函數遞增，當時，，函數遞減，
于是當，即時，，
所以花圃面積的最大值.
故答案為：；
【點睛】思路點睛：涉及圖形上的點變化引起的線段長度、圖形面積等問題，若點的運動與某角的變化相關，可以設此角為自變量，借助三角函數解決.
16．
【分析】設，先求得四邊形面積的表達式，然后利用導數求得當時，四邊形的面積最大.
【詳解】設，根據題意易知，
∵，為等腰三角形，且，
又∵，∴，∴，
∴四邊形為梯形，則四邊形面積：
，，
則，，
令，則，
解得（舍）或，
設為φ為所對應的角，
∵在上單調遞減，
∴時，，，S單調遞增，
∴時，，，S單調遞減．
∴當時，面積最大，即．
故答案為：．
【點睛】方法點睛：
求解面積最大值或最小值有關問題，可先將面積的表達式求出，然后根據表達式選取合適的方法來求最值.可以考慮的方向有函數的單調性、二次函數的性質、基本不等式、三角函數值域、導數等知識.
17．(1)-3
(2)，
【分析】（1）設，求出，求出，根據三角函數誘導公式以及兩角和的正切公式，即可求得答案；
（2）當時，，從而求出的表達式，即可求得總費用的表達式，利用三角換元，結合函數的單調性，即可求解得答案.
【詳解】（1）設為銳角，則;
設，則，
故
；
（2）當時，，
故，
設修建，的總費用為y，則，
設，則，則，
故，
由于在上單調遞增，故，時取得等號，
故的最小值為，
此時，即，
故當時，修建，的總費用最少，最少為.
18．(1)，定義域為；
(2)當時，圓柱形罐子的體積V最大，最大體積是
【分析】（1）利用勾股定理及圓的周長公式，結合圓柱的體積公式即可求解；
（2）根據（1）的結論及導數法求函數的最值的步驟即可求解
【詳解】（1）在中，
因為，所以，
設圓柱的底面半徑為r，則，即，
所以，定義域為
（2）由（1）得，，
，
令，則，解得，
當時，，當時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減.
當時，圓柱形罐子的體積V最大，最大體積是
19．(1)答案見解析
(2)
(3)
【分析】
（1）根據正六棱臺性質即可;
（2）找出棱臺的高，代入體積公式即可;
（3）法1.利用四元均值不等式，法2.利用琴生不等式法，法3.利用二元均值不等式推廣，法4.利用柯西不等式.
【詳解】（1）類似于上下底面平行，相似，都是正六邊形，側棱等長，側棱延長交于一點，側面都是等腰梯形，等等.
（2）在中，可求，
所以排練廳上底面為邊長10的正六邊形，下底面為邊長9的正六邊形，高為，
所以，
所以.
（3）法1.四元均值不等式
.
當且僅當，即時取等號.
所以最大值為.
法2.琴生不等式法
，
當且僅當，即取等號.
所以最大值為.
法3.二元均值不等式推廣，
，
當且僅當時取等號.
所以最大值為.
法4.柯西不等式
，根據二次函數知識可知當取得最大值，
所以；
柯西不等式等號成立時與二次函數取到最值時相同，當且僅當.
所以最大值為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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