資源簡介

等差數列的前n項和公式
學習目標 1.探索并推導出等差數列前n項和公式 2.理解等差數列前n項公式的特點并解決相關問題.
學習活動
目標一：探索并推導出等差數列前n項和公式. 任務1：根據材料，探索等差數列前n項和公式推導方法. 情境1：據說200多年前，高斯的算術老師提出了下面的問題： 1＋2＋3＋…＋100=？當其他同學忙于把100個數逐項相加時，10歲的高斯卻 用下面的方法迅速算出了正確答案： （1+100）+（2+99）+…+(50+51)= 高斯的算法實際上解決了求等差數列：1，2，3，…，①前100項的和問題 問題1：高斯在求和過程中利用了數列①的什么性質？ 參考答案：等差數列中，. 問題2：如何用高斯的方法求1＋2＋3＋…＋100+101=？ 參考答案：原式 . 問題3：如何求數列①的前n項和？ 參考答案：當n為偶數時， 于是有 當n為奇數時， 有 所以，對于任意正整數n，都有1＋2＋3＋… ＋n 情境2：如圖所示：在該三角形中，第一層1個小球，第二層2個小球，第三層3個小球，依此類推.前n層的小球總數是多少？ 解：將上述三角形補成平行四邊形，如圖. 因此根據平行四邊形的性質可知，該四邊形每一層都有n+1個小球，總共有n層，所以，即 思考1：在求上述問題時，我們通過對n分奇偶進行了討論，那么結合情境2能否設法避免分類討論呢？ 參考答案：，，所以，即 思考2：能否將上述方法推廣到求等差數列的前n項和？ 參考答案：倒序相加法：，，所以，因為，所以，即. 【歸納總結】 等差數列前n項和公式1： 注：其中是等差數列前n項的平均數. 思考3：等差數列前n項和能否用，來表示呢？ 參考答案：方法1：將代入前n項和公式，可得； 方法2： . 【歸納總結】 等差數列前n項和公式2：. 練一練： 在等差數列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( ) A.12 B.24 C.36 D.48 參考答案：解：S10＝＝5(a1＋a10)＝120， ∴a1＋a10＝24.故選B.
目標二：理解等差數列前n項公式的特點并解決相關問題. 任務：利用等差數列前n項公式解決與之相關的問題. 例1.已知數列{}是等差數列. （1）若=7, =101,求； （2）若=2, = ,求； （3）若=，d=, =5,求； 參考答案：解：（1）因為=7, =101，根據公式，可得=2700. （2）因為=2, = ， 所以d= .根據公式 ，可得 = （3）把=，d= , = 5代入 ，得 整理，得 解得或（舍）,所以 思考4：如何合理選擇公式1、2解決等差數列的前n項和問題？ 【歸納總結】 等差數列的前n項和公式的應用： 1.（1）當已知首項、末項和項數時，可采用公式一；（2）當已知首項、公差和項數時，可采用公式二． 2.兩個公式共涉及、、、及五個基本量，知三求二. 例2.已知一個等差數列 前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數列的首項和公差嗎？ 參考答案：解=310, =1220, 把它們代入公式 得 解方程組，得 所以，由所給的條件可以確定等差數列的首項和公差. 思考5：上述題目如果只知道其中一個條件，能確定這個等差數列嗎？ 【歸納總結】 一般地，對于等差數列，只要給定兩個相互獨立的條件，這個數列就完全確定. 練一練： 已知等差數列{an}中，a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d. 參考答案：解：由Sn＝＝＝－1 022， 解之得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解之得d＝－171.
學習總結
任務：回答下列關問題，構建知識導圖. “倒序相加法”、“等差數列前n項和公式” 參考答案：
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