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課時4 等差數列的前n項和公式
學習目標 1.探索并掌握等差數列的前n項和的相關性質. 2.理解等差數列前n項和的函數特性，能求解等差數列前n項和的最值.
學習活動
目標一：探索并掌握等差數列的前n項和的相關性質. 任務1：閱讀教材P22探究欄目，探索等差數列前n項和的表達式特征. 問題1：數列是什么數列？并證明. 參考答案：等差數列. 證明：由條件可知，所以，其中.所以，其中.根據數列前n項和定義可知，，即，又當時，，所以.而又，所以數列是等差數列. 問題2：在上述條件下，令，此時數列數列還是等差數列嗎？說明理由. 參考答案：不是等差數列. 證明：由條件可知，所以，其中.所以，其中.根據數列前n項和定義可知，，即，又當時，，所以，故數列不是等差數列. 思考：如何利用數列前n項和的系數關系判斷數列是否為等差數列？ 【歸納總結】 對于數列前n項和，當時，數列是等差數列；當時，數列不是等差數列. 任務2：探究等差數列前n項和的其他性質. 已知首項為，公差為的等差數列，其前n項和為. 問題1：數列是什么數列？ 問題2：,,,…,是什么數列？ 參考答案：1.根據等差數列前n項和公式有：，所以，所以，即數列是以為首項，為公差的等差數列. 由求和公式可知： ； 根據等差數列定義，可知,,,…,是以為首項，位公差的等差數列. 【歸納總結】 等差數列前n項和的性質：首項為，公差為的等差數列，其前n項和為. 性質1：數列是以為首項，為公差的等差數列； 性質2：數列,,,…,是以為首項，位公差的等差數列. 練一練： 已知數列的前項和，則下列結論正確的是（ ） A．數列是等差數列 B．數列是遞減數列 C．，，成等差數列 D．，，成等差數列 參考答案：對于A：， ∴時， 時，．時，滿足 ∴數列是等差數列，故A正確； 對于B：因為，因此數列是單調遞增數列，故B錯誤； 對于C：因為，且是等差數列，因此，，是等差數列，故C正確． 對于D：由前n項和性質：數列,,,…,是以為首項，位公差的等差數列知，成等差數列，故D正確； 故選：B
目標二：理解等差數列前n項和的函數特性，能求解等差數列前n項和的最值. 任務1：利用等差數列前n項公式解決與之相關的問題. 已知等差數列{}的項和為，若，公差d＝－2，判斷是否存在最大值. 問題1：根據前n項和定義，說說如果存在最大值，數列通項{}應該滿足什么條件？ 參考答案：根據題意可知，若最大，則，且，即，. 問題2：判斷是否存在最大值，如果存在，求出的最大值；如果不存在，說明理由. 參考答案：根據題意，可知，令，解得，所以當或時，最大，最大值為. 任務2：探索等差數列{}的前項和的函數性質. 問題1：我們知道等差數列{}的前項和：，類比之前的函數，說說該式是什么類型函數？其相應系數分別是多少？ 參考答案：，因此是關于n的二次函數，其中二次項系數為，一次項系數為，常數項系數為0. 問題2：類比二次函數的性質，有哪些函數性質？ 【歸納總結】 等差數列的前n項和的函數性質： 1.定義域：； 2.單調性與最值： 當時，在對稱軸(其中[ ]表示取整）左邊是遞減的數列，在的右邊是遞增的數列，且當，有最小值；； 當時，在對稱軸(其中[ ]表示取整）左邊是遞增的數列，在的右邊是遞減的數列，且當，有最大值. 問題3：等差數列中，若，公差d＝－2，用的函數性質判斷其前n項和是否存在最大值. 參考答案：因為由a1＝10，d＝－2， 因為 所以，當n取與 最接近的整數，即5或6時，最大，最大值為30. 【歸納總結】 1.在等差數列中，求的最大(小)值的方法： (1)利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和為最大(小)． (2)借助二次函數的圖象及性質求最值． 2.尋求正、負項分界點的方法： (1)尋找正、負項的分界點來尋找． (2)利用到的對稱軸距離最近的左側的一個正數或離對稱軸最近且關于對稱軸對稱的兩個整數對應項即為正、負項的分界點． 練一練： 已知是等差數列，，其前5項和． （1）求的通項； （2）求前項和的最大值． 參考答案：解：（1）由題意可得，解得，，； （2）， 當或時，有最大值，最大值為．
學習總結
任務：回答下列關問題，構建知識導圖. “等差數列前n項和公式性質”、“最值” 參考答案：
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