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等比數(shù)列的概念
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.通過實例，理解并抽象出等比數(shù)列和等比中項的概念. 2.探索并歸納出等比數(shù)列的通項公式，能運用通項公式解決簡單的問題.
學(xué)習(xí)活動
導(dǎo)入：說說什么是等差數(shù)列，其通項公式是什么？ 參考答案：1.等差數(shù)列定義：從第2項起每一項與它的前一項的差都是同一個常數(shù)的數(shù)列； 2.通項公式：，其中是首項，為公差. 目標(biāo)一：通過實例，理解并抽象出等比數(shù)列和等比中項的概念. 任務(wù)1：閱讀教材P27的四個數(shù)例，回答下列問題. 數(shù)列1…數(shù)列2…數(shù)列3…數(shù)列4…數(shù)列5…數(shù)列6
問題1：上述數(shù)例中的各數(shù)列有什么取值規(guī)律？由此你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共性？ 參考答案：共性：從第2項起，后項與前項之比都等于相同常數(shù). 問題2：類比等差數(shù)列的定義，說說什么是等比數(shù)列？ 【概念生成】 等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示. 符號表示：. 注：（1）等比數(shù)列各項不能為0；（2）數(shù)列任意前后兩項之比為定值. 練一練： 觀察并判斷下列數(shù)列是否是等比數(shù)列,若是，說出公比；若不是，說明理由. 2, 4, 16, 64, … 不是，前后兩項之比不同； (2) 5，-5，5，-5, … 是，； (3) 1，0，1，0，… 不是，不能等于0； (4) … 不是，當(dāng)時，不滿足. 問題3：在如下的兩個數(shù)之間插入一個什么數(shù)后，得到的三個數(shù)會成為一個等比數(shù)列： （1）1，（ ）， 9； （2）-1，（ ），-4 參考答案：；. 問題4：類比等差中項的概念，說說什么是等比中項？ 【概念講解】 等比中項：如果在與中間插入一個數(shù)G，使成等比數(shù)列，那么G叫做與的等比中項. 根據(jù)等比數(shù)列的定義，可以推出 思考: 任何兩個非零實數(shù)都有等比中項嗎？ 【歸納總結(jié)】 同號的兩數(shù)的等比中項有兩個,它們互為相反數(shù)；異號的兩數(shù)沒有等比中項.
目標(biāo)二：探索并歸納出等比數(shù)列的通項公式，能運用通項公式解決簡單的問題. 任務(wù)1：類比等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)方法推導(dǎo)等比數(shù)列同學(xué)公式. 問題1：我們知道等比數(shù)列滿足：，由此如何類比等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)推導(dǎo)等比數(shù)列通項公式？ 參考答案：法1：（不完全歸納法）設(shè)一個等比數(shù)列的公比為．根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得，所以 …… . 又，即當(dāng)n=1時上式也成立．因此，首項為，公比為q的等比數(shù)列的通項公式為 法2：（累乘法）設(shè)一個等比數(shù)列的公比為．根據(jù)等比數(shù)列的定義，可得，則 將以上(n-1)個式子相乘，得 又，這就是說，當(dāng)n=1時上式也成立．因此，首項為，公比為q的等比數(shù)列的通項公式為 由此我們便得到了等比數(shù)列的通項公式： 【歸納總結(jié)】 等比數(shù)列通項公式：，其中首項為，公比為q. 任務(wù)2：利用等比數(shù)列通項公式求解有關(guān)等比數(shù)列問題. 例1：若等比數(shù)列的第4項和第6項分別為48和12,求的第5項. 問題1：該題目已知條件有幾個，如何利用等比數(shù)列通項公式求解？ 參考答案：兩個，分別是已知等比數(shù)列的第4項和第6項的值.解：由，，得，②的兩邊分別除以①的兩邊，得.解得. 把代入①，得.此時，把代入①，得.此時 .因此，的第5項是24或-24. 思考：利用等比數(shù)列通項公式求解等比數(shù)列問題時，需要已知多少條件？ 【歸納總結(jié)】 只要給定兩個獨立的條件，就能確定等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的某一項. 問題2：除了上述利用等比數(shù)列通項公式求解，還有沒有其他辦法？ 參考答案：解：因為是與的等比中項，所以.所以.因此，的第5項是24或-24. 例2：已知等比數(shù)列的公比為, 試用的第項表示. 參考答案：解：由題意，得，① . ②的兩邊分別除以①的兩邊，得= 所以 . 【歸納總結(jié)】 等比數(shù)列的任意一項，都可以有該數(shù)列的某一項和公比表示，即. 例3：數(shù)列共有5項，前三項成等比數(shù)列，后三項成等差數(shù)列，第3項等于80，第2項與第4項的和等于136，第1項與第5項的和等于132，求這個數(shù)列. 問題1.如何設(shè)這個數(shù)列未知項會使得列式比較簡單？ 參考答案：因為已知條件是說前三項成等比數(shù)列，后三項成等差數(shù)列，第3項等于80，因此以第三項為基礎(chǔ)，設(shè)等比數(shù)列的公比為q，等差數(shù)列的公差為d，所以數(shù)列的各項依次為 ,80,80, 80. 問題2.求該數(shù)列的各項. 參考答案：由問題1可列式：，解得 所以這個數(shù)列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48. 練一練： 有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12，求這四個數(shù). 參考答案：解：法1：設(shè)這四個數(shù)依次為, 于是得解方程組，得 所以當(dāng)a＝4，d＝4時，所求的四個數(shù)為0,4,8,16； 當(dāng)a＝9，d＝－6時，所求的四個數(shù)為15,9,3,1. 故所求的四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1. 法2：設(shè)這四個數(shù)依次為, 于是得解方程組，得 所以當(dāng)a＝8，q＝2時，所求的四個數(shù)為0,4,8,16； 當(dāng)a＝3，時，所求的四個數(shù)為15,9,3,1. 故所求的四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：回答下列關(guān)問題，構(gòu)建知識導(dǎo)圖. “定義”、“通項公式”、“等比中項” 參考答案：
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