資源簡介

等比數列的概念
學習目標 1.理解等比數列的函數特征. 2.能根據等比數列的定義推出等比數列的性質. 3.能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題.
學習活動
目標一：理解等比數列的函數特征. 任務：類比等差數列的函數特征，探索等比數列的函數特征. 問題1：在等差數列中，公差的等差數列可以與相應的一次函數建立聯系，即，那么對于等比數列其中，其滿足什么函數特征？ 參考答案：由可知，當時，等比數列的第項是指數型函數當時的函數值，即.如圖所示. 思考1：任給指數型函數（為常數，），其構成的等比數列首項和公比分別是多少？ 參考答案：由題可知，構成一個等比數列，其首項為，公比為. 思考2：等比數列的圖象與指數函數圖象有什么不同？ 參考答案：前者是單個點圖，后者是連續的曲線. 問題2：類比指數函數的性質，當公比時，等比數列的單調性是怎樣的？（提示：對首項分和討論） 【歸納總結】 的單調性不僅與的取值范圍有關，也與的正負有關，所以我們可以總結如下： 單調遞減單調遞增不變單調遞增單調遞減不變
目標二：能根據等比數列的定義推出等比數列的性質. 任務1：推導等比數列的相關性質1. 問題1：在等差數列{an}中有這樣的性質：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，那么在等比數列中，若m＋n＝p＋q，則am，an，ap，aq存在怎樣的關系，如何證明？ 參考答案：若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq， 證明：，又因為m＋n＝p＋q，所以. 【歸納總結】 等比數列性質1：在等比數列{an}中有這樣的性質：若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq， 特別地，當m＋n＝2p，那么. 練一練： 等比數列中，，是方程的兩個根，則　 　． 參考答案：解：由題意，得，， 所以，，故，由等比數列的性質，可知，所以，故答案為：． 任務2：推導等比數列的性質2. 問題1：已知b>0且b≠1，如果數列是等差數列，那么數列是什么數列？ 參考答案：等比數列.證明：設數列的公差為d，所以，首項為，故數列是以為首項，為公比的等比數列. 問題2：如果數列是各項均為正的等比數列，那么數列是什么數列？ 參考答案：等差數列.設等比數列的公比為q，且q＞0，所以，所以數列是以為首項，為公差的等差數列. 【歸納總結】 性質1.已知b>0且b≠1，如果數列是等差數列，那么數列是以為首項，為公比的等比數列. 性質2. 如果數列是各項均為正的等比數列，那么數列是以為首項，為公差的等差數列.
目標三：能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題. 復利：指把前一期的利息與本金之和算作本金，再計算下一期的利息，即若原始本金為a元，每期的利率為r，則從第一期開始，各期的本利和a，a（1+r），，… 任務1：利用等比數列解決理財問題. 用10 000元購買某個理財產品一年，若以月利率的復利計息，12個月能獲得多少利息（精確到1元）？ 參考答案：解：（1）設這筆錢存個月以后的本利和組成一個數列，則是等比數列，首項，公比， 所以10490.7 所以，12個月后的利息為（元）. 【歸納總結】 用等比數列模型解決復利問題的方法： 抽象：即將實際問題抽象、簡化為數學問題； 梳理：確定“本金”、“利率”、“本利和”、“利息”對應的數學式子，梳理出變量之間的關系； 轉化：將復利問題轉化為相應的等比數列模型； 求解：利用數學方法求解. 任務2：利用等比數列解決生產問題. 某工廠去年12月試產1050個高新電子產品，產品合格率為.從今年1月開始，工廠在接下來的兩年中將生產這款產品.1月按去年12月的產量和產品合格率生產，以后每月的產量都在前一個月的基礎上提高，產品合格率比前一個月增加，那么生產該產品一年后，月不合格品的數量能否控制在100個以內？ 問題1：題目中涉及幾個變化率？分別對應什么數列模型？ 參考答案：產量、產品合格率；前者對應等比數列模型，后者對應等差數列模型. 問題2：如何求解題目中的問題？ 參考答案：解：設從今年1月起，各月的產量及不合格率分別構成數列，由題意，知， 則從今年1月起，各月不合格產品的數量是 （ ） 由計算工具計算（精確到0.1），并列表 觀察發現，數列先遞增，在第6項以后遞減，所以只要設法證明當時，遞減，且<100即可. 由，得. 所以，當時，遞減. 又 <100,所以當24時, <100 所以，生產該產品一年后，月不合格的數量能控制在100個以內.
學習總結
任務：回答下列關問題，構建知識導圖. “函數性質”、“性質”、“等比數列模型” 參考答案：
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