資源簡介

等比數列的前n項和公式
學習目標 1.理解錯位相減法，并能利用錯位相減法推導等比數列前n項和公式. 2.理解等比數列前n項和公式，并能利用前n項和公式求等比數列相關問題.
學習活動
導入：完成下列表格. 等差數列等比數列定義通項性質
參考答案： 等差數列等比數列定義通項性質
目標一：理解錯位相減法，并能利用錯位相減法推導等比數列前n項和公式. 任務：閱讀材料，回答下列問題. 情境： 國際象棋起源于古代印度.相傳國王要獎賞國際象棋的發明者，問他想要什么.發明者說：“請在棋盤的第1個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒，依次類推，每個格子里放的麥粒都是前一個格子里放的麥粒數的2倍，直到第64個格子.請給我足夠的麥粒以實現上述要求.”國王覺得這個要求不高，就欣然同意了.假定千粒麥粒的質量為40克，據查，2016--2017年度世界年度小麥產量約為7.5億噸，根據以上數據，國王能實現他的諾言嗎？ 問題1：發明者提出的要求構成一個什么樣的數列，發明者提出的要求是一個什么樣的數學問題？ 參考答案：（1）是一個首項是1，公比是2，項數為64的等比數列. （2）是一個求等比數列的前64項的和問題，即：=？ 問題2：如何求這個數列的和？ 提示1：觀察的右邊，它各項之間存在什么關系？ 提示2：如果在兩邊同時乘以2，觀察兩個式子，二者有什么聯系？ 參考答案：①； ②；由②－①，可得 問題3：國王能實現他的諾言嗎？ 參考答案：因為 如果一千顆麥粒的質量約為40g，那么以上這些麥粒的總質量超過了7000億噸，據查，2016-2017年度世界小麥產量約為7.5億噸.因此不能實現. 思考：設等比數列的前n項和為，如何求？ 參考答案： ①，兩邊同時乘以q,可得②；由①－②可得：. 當q≠1時，有，根據等比數列通項公式，有； 當q＝1時，有. 【歸納總結】 等比數列前n項和公式：.
目標二：理解等比數列前n項和公式，并能利用前n項和公式求等比數列相關問題. 任務：利用等比數列前n項和公式解決相關數列問題. 例1.已知數列{是等比數列. （1）若，，求； （2）若，，，求； （3）若，，，求n. 參考答案：解：（1）因為，，所以. （2）由，，可得，即. 又由，得 .所以 . （3）把，，代入，得 ，整理，得，解得n=5 思考：在利用等比數列前n項和公式求解問題時，至少需要已知幾個量？ 【歸納總結】 對于等比數列的相關量，只要已知三個量，就可以確定其他量了，即知三求二. 例2.已知等比數列的首項為-1，前n項和為，若，求公比q. 參考答案：解：若q=1，則，所以. 當時,由，得，即. 整理，得，即.所以. 思考：在利用等比數列前n項和公式求和時，要注意什么？ 參考答案：對于公比q=1和q≠1的討論. 例3：已知等比數列{}的公比，前n項和為.證明，，成等比數列，并求這個數列的公比. 參考答案：證明:(方法1)當q=1時， ，所以，， ，，成等比數列，公比為1. 當.時，， ；； 所以.因為為常數，所以，，成等比數列，公比為. (方法2)由前n項和概念可知，，； ， 所以.因為為常數，所以，，成等比數列，公比為. 【歸納總結】 性質1.若等比數列的前n項和為且，則數列，，成等比數列，且公比為. 注：當時，該結論不成立. 練一練： 在等比數列中，若前10項的和 ，前 20 項的和，求前 30項的和. 參考答案：根據等比數列前n項和的性質，有，所以，解得.
學習總結
任務：回答下列關問題，構建知識導圖. “錯位相減”、“等比數列前n項和公式”、“等比數列前n項和公式應用”、“等比數列前n項和性質” 參考答案：
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