資源簡介

等比數列的前n項和公式
學習目標 1.能發現問題中的等比關系，利用等比數列前n項和公式求解. 2.理解分組求和，并能利用分組求和方法解決差比混合數列的求和問題. 3.理解構造法，能通過構造法解決相關數列求和問題.
學習活動
導入： 等比數列前n項和公式有哪些？ 在求解等比數列前n項和時，要注意什么問題？ 參考答案： 注意對公比，的討論. 目標一：能發現問題中的等比關系，利用等比數列前n項和公式求解. 任務：閱讀材料，回答下列問題. 材料1.如圖，正方形 的邊長為，取正方形各邊的中點 作第2個正方形 ，然后再取正方形各邊的中點，作第3個正方形 ，依此方法一直繼續下去. 問題1：設正方形的面積為，正方形FGH面積為，正方形IJKL面積為，然后依次類推，判斷數列是什么數列？ 參考答案：（1）等比數列.理由：由題意可知，，同理有. 因此，根據等比數列的定義，有數列是以25為首項，為公比的等比數列. 問題2：從正方形開始，連續10個正方形的面積之和是多少？ 參考答案：根據等比數列前n項和公式，有. 問題3： 如果這個作圖過程可以一直繼續下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？ 參考答案：根據等比數列前n項和公式，有.根據指數函數的性質，有隨著n無限增大，趨近于0，即趨近于50.所以所有這些正方形的面積之和將趨近于50. 思考：利用等比數列前n項和求解相關實際問題的步驟有哪些？ 【歸納總結】 解決數列應用題方法步驟： 1.明確問題類型，即明確是等差數列還是等比數列問題，還是含有遞推關系的數列問題； 2.明確是求，還是求；其中細胞繁殖、利率、增長率等問題一般為等比數列問題． 練一練： 某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業．據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上一年減少，本年度當地旅游業收入估計為400萬元．由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上一年增長.求n年內的總投入與n年內旅游業的總收入． 參考答案：解：由題意知第1年投入800萬元， 第2年投入萬元， …… 第n年投入萬元， 所以每年的投入資金數構成首項為800，公比為的等比數列． 所以n年內的總投入Sn＝800＋＋…＋＝(萬元)． 由題意知，第1年旅游業的收入為400萬元， 第2年旅游業的收入為萬元， …… 第n年旅游業的收入為萬元， 所以每年的旅游業收入資金數構成首項為400， 公比為的等比數列． 所以n年內旅游業的總收入 Tn＝400＋＋…＋＝(萬元)． 故n年內的總投入為萬元， n年內旅游業的總收入為萬元．
目標二：理解分組求和，并能利用分組求和方法解決差比混合數列的求和問題. 任務：閱讀材料，抽象出相應數列問題，利用分組求和方法求解. 材料2.去年某地產生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環保方式處理.預計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸. 問題1：設從今年起每年生活垃圾的總量（單位：萬噸）構成數列，每年以環保方式處理的垃圾量（單位：萬噸）構成數列，則與分別是什么類型數列？ 參考答案：解：由題可知，=20, =6+1.5 所以是以20（1+5%）為首項，公比為（1+5%）的等比數列，是以6+1.5為首項，公差為1.5的等差數列. 問題2：從今年起n年內通過填埋方式處理的垃圾總量表達式是什么？ 參考答案：= 問題3：從今年起5年內通過填埋方式處理的垃圾總量是多少？（精確到0.1萬噸）. 參考答案： 當時，. 所以，從今年起5年內，通過填埋方式處理的垃圾總量約為 63.5萬噸. 思考：若數列是等比數列，數列是等差數列，則如何求數列或的前n項和？ 【歸納總結】 分組求和： (1)求形如的前n項和公式，其中與是等差數列或等比數列； (2) 將等差數列和等比數列分開分組： ； (3) 利用等差數列和等比數列前n項和公式來計算. 練一練： 計算 參考答案：解：原式
目標三：理解構造法，能通過構造法解決相關數列求和問題. 任務：閱讀材料，探究構造法求數列前n項和. 材料3.某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為8% ，且在每年年底賣出100頭牛.設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為 問題1：與之間有什么關系，如何用式子表示？ 參考答案：解：由題意，得并且 問題2：如何將問題1中的遞推關系式表示成 的形式，其中, 為常數？ 參考答案：解：將問題1的式子化簡，可得①，不妨設存在k使得，將其變形，可知②，比較①②的系數，可得0.08k=100,解得k=1250.所以問題1中的遞推關系式可化為 問題3：根據問題2，如何=的值（精確到1）？ 參考答案：解：因為，且，所以數列是以-50為首項，1.08為公比的等比數列，所以 . 所以. 思考：已知遞推關系，其中，如何求數列的前n項和？ 【歸納總結】 構造求和（形如的前n項和）： （1）將其構造成等比數列的形式； （2）將上式變形，求出k的值； （3）利用等比數列前n項和公式求出數列的前n項和； （4）移向，即可求得. 練一練： 已知數列，其首項為3，各項滿足遞推關系.求該數列的通項及其前n項和. 參考答案：解：因為，因此不妨設存在實數k，使得，將其變形可得，所以k=－1，即，又，所以，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列.因此，，即. .
學習總結
任務：回答下列關問題，構建知識導圖. “等比數列前n項和求解實際問題方法”、“分組求和”、“構造求和” 參考答案：
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