資源簡介

課時1 數學歸納法
學習目標 了解數學歸納法的原理，理解數學歸納法的概念，掌握用數學歸納法證明的一般步驟. 2.能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題．
學習活動
導入：以為首項，d為公差的等差數列中，，依次類推，可得，即等差數列的通項公式.那么如何證明呢？ 目標一：了解數學歸納法的原理，理解數學歸納法的概念，掌握用數學歸納法證明的一般步驟. 任務1：閱讀材料，理解多米諾骨牌的原理. 材料.對于多米諾骨牌游戲來說，首先碼放骨牌時，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊骨牌倒下。這樣，只要推到第1塊骨牌，就可導致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導致第3塊骨牌倒下；……，總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下. 問題1：能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？ 參考答案：（1）第一塊骨牌倒下； （2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下. 問題2：你認為條件（2）的作用是什么？如何用數學語言來描述它？ 參考答案：可以看出，條件（2）給出一個遞推根據（關系），當第k塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下. 任務2：應用多米諾骨牌的原理，探究下列通項公式的證明. 探究：已知數列滿足，，計算. 參考答案： 因為，，所以； ，，所以； ，，所以； 問題1：根據上述各項的值，猜想該數列的通項公式是什么？如何驗證？ 參考答案：猜想：通項公式：. 驗證： ； ； ； … … ； 思考1：上述迭代進行的關鍵是什么？ 參考答案：依托遞推關系式：， 思考2：類比多米諾骨牌的原理，在該問題中怎樣理解原理中的第（2）條“當第k塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下.” 參考答案：假設當n=k時，有，則當n=k+1時，有. 思考3：結合多米諾的兩個原理：“（1）第一塊骨牌倒下；（2）“當第k塊倒下，相鄰的第k+1塊也倒下.”如何證明猜想？ 參考答案：證明：（1）當n=1時，有 （2）不妨設當n=k時猜想成立, 即 ,則當n=k+1時，有 ，即當n=k+1.猜想也成立； 有（1）（2）可知，該數列的通項公式是. 思考4：“骨牌原理”與“猜想的證明步驟”有什么關系？ 參考答案： 骨牌原理猜想的證明步驟①第一塊骨牌已經倒下①證明n=1時，猜想正確②證明“如果前一塊倒下，則后一塊也跟著倒下”②證明“如果n=k時猜想成立，則n=k+1時，猜想也成立”根據①②，所有骨牌都能倒下根據①②，這個猜想對一切正整數n都成立
【歸納總結】 數學歸納法的定義 一般地,證明一個與正整數n有關的命題,可按下列步驟進行: （1）（歸納奠基）證明當時命題成立； （2）（歸納遞推）以“當時命題成立”為條件,推出“當時命題也成立”. 只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從開始的所有正整數n都成立.這種證明方法叫做數學歸納法. 思考5：數學歸納法中的兩個步驟都必要嗎？二者之間存在什么關系？ 參考答案：關系：記P(n)是一個關于正整數n的命題.因此用數學歸納法證明的形式改寫如下： 條件：(1)P(n0)為真；(2)若P(k)為真，則P(k＋1)也為真. 結論：P(n)為真. 數學歸納法的兩步： (1)第一步驗證(或證明)了當n＝n0時結論成立，即命題P(n0)為真； (2)第二步是證明一種遞推關系，實際上是要證明一個新命題：若P(k)為真，則P(k＋1)也為真. 只要完成這兩步，就有P(n0)為真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….從而完成證明. 因此兩個步驟很有必要，缺一不可.
目標二：能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題． 任務：用數學歸納法證明下列命題. 用數學歸納法證明：如果{}是一個公差為的等差數列，那么， = ① 對任何都成立. 提示1：第一步是要證明什么？ 提示2：第二步是證明什么？ 參考答案：證明：（1）當時，左邊，右邊= ,①式成立. （2）假設當()時， ①式成立，即= 根據等差數列的定義，有 于是 即當時， ①式也成立， 由（1）（2）可知， ①式對任何都成立. 練一練：用數學歸納法證明：首項為，公比為q的等比數列的通項公式是 ①. 參考答案：證明：（1）當時，左邊，右邊= ,①式成立. （2）假設當()時， ①式成立，即 根據等比數列的定義，有. 于是即當時， ①式也成立， 由（1）（2）可知， ①式對任何都成立，即命題得證.
學習總結
任務：構建用數學歸納法證明“一個與正整數有關的命題”的結構圖. 參考答案：
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