資源簡介

課時2 數(shù)學(xué)歸納法
學(xué)習(xí)目標 1.明確數(shù)列問題解決的重要方法——“歸納—猜想—證明”.
學(xué)習(xí)活動
目標：明確數(shù)列問題解決的重要方法——“歸納—猜想—證明”. 任務(wù)1：利用數(shù)學(xué)歸納法證明命題. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：. 提示1：該問題中，數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵步驟是哪一步？ 參考答案：數(shù)學(xué)歸納法證明的第二步“若當(dāng)n=k時，等式成立，則當(dāng)n=k+1時，等式也成立”. 提示2：假設(shè)n=k時成立，再推導(dǎo)n=k+1時，式子增加了哪些項？ 參考答案： 參考答案：證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=，所以等式成立； 假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即，則當(dāng)時，左邊 =右邊 【歸納總結(jié)】 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的命題方法： 1.“看項”，弄清等式兩邊構(gòu)成規(guī)律，明確由n=k到n=k+1時，等式兩邊增加項數(shù)； 2.“兩湊”，（1）湊假設(shè)，將n=k+1時的式子轉(zhuǎn)化成與歸納假設(shè)結(jié)構(gòu)相同的形式；（2）湊結(jié)論，利用歸納假設(shè)，經(jīng)過恒等變形，得到結(jié)論. 任務(wù)2：根據(jù)遞推關(guān)系猜想數(shù)列通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 已知數(shù)列滿足，，試猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 問題1.如何進行猜想？ 參考答案：由， 可知，，解得，同理可求得，，，猜想：. 問題2：如何利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明. 參考答案：證明：（1）當(dāng)n=1時，有，顯然成立； （2）假設(shè)當(dāng)n=k時，成立，將代入遞推關(guān)系式，可得，即，即當(dāng)n=k+1時，猜想也成立； 由（1）（2）可知，猜想對任意都成立. 【歸納總結(jié)】 “歸納——猜想——證明”的一般步驟： 計算（根據(jù)條件，計算若干項）； 歸納猜想（通過觀察、分析猜想結(jié)論）； 證明（用數(shù)學(xué)歸納法證明注意兩步缺一不可）. 練一練： 已知數(shù)列的前n項和為，計算，，，，試猜想的表達式，并證明你的猜想. 參考答案：由題意可知，, ,,由此可猜想：. 證明：（1）當(dāng)n=1時，有，顯然成立； （2）假設(shè)當(dāng)n=k時，成立，則當(dāng)n=k+1時， ，所以當(dāng)n=k+1時，假設(shè)成立； 由（1）（2）可知，成立.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：構(gòu)建用“歸納——猜想——證明”求解數(shù)列相關(guān)問題的結(jié)構(gòu)圖. 參考答案：
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