資源簡介

導數的概念及其幾何意義
學習目標 1.了解導數概念的實際背景，知道導數是關于瞬時變化率的數學表達，體會導數的內涵和思想. 2.體會極限思想，會利用導數的概念求函數在某點處的導數
學習活動
目標一：了解導數概念的實際背景，知道導數是關于瞬時變化率的數學表達，體會導數的內涵和思想. 任務：完成下列問題，歸納導數的有關概念. 高臺跳水運動員的速度拋物線的切線的斜率 平均速度： 時間段內的平均速度割線斜率： 點與兩點間的斜率瞬時速度： 當時的瞬時速度切線斜率： 函數圖象在點處的斜率
問題1：我們在推導瞬時速度和切線斜率問題時分別采用了什么思想，有什么共性？ 參考答案：前者：通過求極限將平均速度無限逼近瞬時速度，后者：通過求極限將割線的斜率無限逼近切線斜率. 共性：都是利用求極限的方式，無限逼近. 【新知講解】 平均變化率：對于函數，設自變量從變化到+ ，相應地，函數值就從變化到.這時，的變化量為，的變化量為 我們把比值，即=叫做函數從到的平均變化率. 問題2：上述問題1平均變化率逼近瞬時速度和切線斜率的步驟都有哪些？ 參考答案：（1）先確定平均變化率的研究范圍：即在處，選取自變量x的一個改變量，可以是正值，也可以是負值，但不為 0；（2）求自變量x從變化到這個過程中函數值的平均變化率，即=；（3）令，則可求得. 思考：當時，平均變化率=是否一定會無限趨近于一個確定的值？ 提示：求在x＝0處的平均變化率. 參考答案：解：設在處，選取自變量x的一個改變量，所以. 當時，；當時，；因此當時，平均變化率=不一定會無限趨近于一個確定的值. 【新知講解】 導數的概念：如果當時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱在處可導，并把這個確定的值叫做在處的導數（也稱為瞬時變化率），記作或，即. 注：1.要存在唯一確定的值，否則就稱在處不可導. 2.在處的導數表示為或，這里只與的選取有關，與無關，而且表示的是在處的一個具體數值，不是變量. 因此根據導數定義，問題1中的瞬時速度，就是函數在t=1處的導數；問題2中在點處的切線斜率，就是在在處的導數. 練一練： 下列各式中正確的是　　 A． B． C． D． 參考答案：解：對于，分子應該是減號，并且即使是減號時，該式的結果是，故，選項皆錯； 根據導數的定義，故對，錯誤． 故選：．
目標二：體會極限思想，會利用導數的概念求函數在某點處的導數. 任務1：求下列函數在某點處的導數，歸納求導的運算步驟. 已知函數，求在處的導數. 參考答案：解：根據導數的定義， ，所以 思考：如何求函數在處的導數？ 【歸納總結】 求函數在的步驟： 1.寫出函數從到的平均變化率并化簡； 2.求極限，若存在，則導數. 任務2：利用導數求解有關的實際問題. 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品需要對原油進行冷卻和加熱. 已知在第h時，原油的溫度（單位：）為. 等于計算，第3h與第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義. 提示1.第3h與第5h時，原油溫度的瞬時變化率與導數有什么關系？ 參考答案：解：在第3h與第5h時，原油溫度的瞬時變化率就是和. 根據導數的定義， . 所以. 同理可得. 問題：和在這個實際問題中代表的意義是什么？ 參考答案：說明在第3h與第6h附近，原油溫度分別大約以1℃的速率下降和5℃的速率上升. 練一練： 一個小球從5m的高出自由下落，其位移s（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關系為.求時小球的瞬時速度. 參考答案： 解：， 令，則（其中負號表示速度方向豎直向下）.
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “平均變化率”、“瞬時變化率”、“導數”. 參考答案：
2導數的概念及其幾何意義
學習目標 1.了解導數概念的實際背景，知道導數是關于瞬時變化率的數學表達，體會導數的內涵和思想. 2.體會極限思想，會利用導數的概念求函數在某點處的導數
學習活動
目標一：了解導數概念的實際背景，知道導數是關于瞬時變化率的數學表達，體會導數的內涵和思想. 任務：完成下列問題，歸納導數的有關概念. 高臺跳水運動員的速度拋物線的切線的斜率 平均速度： 時間段內的平均速度割線斜率： 點與兩點間的斜率瞬時速度： 當時的瞬時速度切線斜率： 函數圖象在點處的斜率
問題1：我們在推導瞬時速度和切線斜率問題時分別采用了什么思想，有什么共性？ 【新知講解】 平均變化率：對于函數，設自變量從變化到+ ，相應地，函數值就從變化到.這時，的變化量為，的變化量為 我們把比值，即=叫做函數從到的平均變化率. 問題2：上述問題1平均變化率逼近瞬時速度和切線斜率的步驟都有哪些？ 思考：當時，平均變化率=是否一定會無限趨近于一個確定的值？ 提示：求在x＝0處的平均變化率. 【新知講解】 導數的概念：如果當時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱在處可導，并把這個確定的值叫做在處的導數（也稱為瞬時變化率），記作或，即. 注：1.要存在唯一確定的值，否則就稱在處不可導. 2.在處的導數表示為或，這里只與的選取有關，與無關，而且表示的是在處的一個具體數值，不是變量. 因此根據導數定義，問題1中的瞬時速度，就是函數在t=1處的導數；問題2中在點處的切線斜率，就是在在處的導數. 練一練： 下列各式中正確的是　　 A． B． C． D．
目標二：體會極限思想，會利用導數的概念求函數在某點處的導數. 任務1：求下列函數在某點處的導數，歸納求導的運算步驟. 已知函數，求在處的導數. 思考：如何求函數在處的導數？ 【歸納總結】 求函數在的步驟： 1.寫出函數從到的平均變化率并化簡； 2.求極限，若存在，則導數. 任務2：利用導數求解有關的實際問題. 將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品需要對原油進行冷卻和加熱. 已知在第h時，原油的溫度（單位：）為. 等于計算，第3h與第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義. 提示1.第3h與第5h時，原油溫度的瞬時變化率與導數有什么關系？ 問題：和在這個實際問題中代表的意義是什么？ 練一練： 一個小球從5m的高出自由下落，其位移s（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關系為.求時小球的瞬時速度.
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “平均變化率”、“瞬時變化率”、“導數”.
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