資源簡介

導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.知道切線的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 2.會用導(dǎo)數(shù)的概念求相關(guān)實際問題問題，理解導(dǎo)函數(shù)的概念.
學(xué)習(xí)活動
目標(biāo)一：知道切線的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 任務(wù)1：探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義 問題1：觀察函數(shù)y=f（x）的圖象，在圖像中平均變化率表示什么？ 問題2：在圖像中瞬時變化率表示什么？ 思考1：觀察下列動畫，用你的話對曲線的切線下定義，并說說導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？ 【新知講解】 切線：在曲線y=f(x)上任取一點P(x，f(x)),如果當(dāng)點P(x，f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近與點時，割線無限趨近于一個確定的位置，這個確定的位置的直線稱為曲線y=f(x)在點處的切線. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)f(x)的圖象在點處切線的斜率，即 （其中為該切線的傾斜角）. 思考2：直線與曲線有一個公共點是直線與曲線相切的什么條件？ 問題3：將上述曲線圖象在點處放大，觀察圖象，說說能否用切線在點處的值代替曲線在點處的值？ 任務(wù)2：探究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象變換情況的關(guān)系 下圖表示跳水運動中高度隨著時間變化的函數(shù)的圖象. 請描述、比較曲線分別在，，附近的變化情況. 提示：如何刻畫曲線分別在，，附近的變化情況？ 思考3：導(dǎo)數(shù)符號與曲線的單調(diào)性有什么關(guān)系？導(dǎo)數(shù)大小與曲線的變化率有什么關(guān)系 【歸納總結(jié)】 1.y＝f（x）在點x＝x0處的切線斜率為k，則k＞0 f ′（x0 ）＞0；k＜0 f ′（x0）＜0；k＝0 f ′（x0）＝0. 2.|f ′（x0）|越大 曲線在x0處瞬時變化越快；|f ′（x0）|越小 曲線在x0處瞬時變化越慢. 練一練. 已知y＝f (x)的圖象如圖所示，則f ′(xA)與f ′(xB)的大小關(guān)系是(　　) A．f ′(xA)＞f ′(xB) B．f ′(xA)＜f ′(xB) C．f ′(xA)＝f ′(xB) D．不能確定
目標(biāo)二：會用導(dǎo)數(shù)的概念求相關(guān)實際問題問題，理解導(dǎo)函數(shù)的概念. 任務(wù)1：利用導(dǎo)數(shù)估算瞬時變化率. 如圖表示人體血管中的藥物濃度 c = f (t) (單位：mg/mL) 隨時間 t (單位：min) 變化的函數(shù)圖像. 根據(jù)圖像，估計 t = 0.8 min 時，血管中藥物濃度的瞬時變化率 (精確到0.1). 任務(wù)2：理解導(dǎo)函數(shù)的概念. 回顧上面的例題，思考當(dāng)變化時，是的函數(shù)嗎？說明理由. 【新知講解】 在求函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的過程中我們可以看出，當(dāng)時，就是一個唯一確定的數(shù)，這樣當(dāng)變化時，就是的函數(shù)，我們稱它為的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)）.的導(dǎo)函數(shù)也可以記作，即. 思考：函數(shù)f（x）在處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：根據(jù)下列關(guān)鍵詞，構(gòu)建知識導(dǎo)圖. “導(dǎo)數(shù)的幾何意義”、“導(dǎo)函數(shù)”.
2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.知道切線的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 2.會用導(dǎo)數(shù)的概念求相關(guān)實際問題問題，理解導(dǎo)函數(shù)的概念.
學(xué)習(xí)活動
目標(biāo)一：知道切線的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 任務(wù)1：探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義 問題1：觀察函數(shù)y=f（x）的圖象，在圖像中平均變化率表示什么？ 參考答案：表示割線的斜率. 問題2：在圖像中瞬時變化率表示什么？ 參考答案：表示切線的斜率. 思考1：觀察下列動畫，用你的話對曲線的切線下定義，并說說導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？ 【新知講解】 切線：在曲線y=f(x)上任取一點P(x，f(x)),如果當(dāng)點P(x，f(x))沿著曲線y=f(x)無限趨近與點時，割線無限趨近于一個確定的位置，這個確定的位置的直線稱為曲線y=f(x)在點處的切線. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)f(x)的圖象在點處切線的斜率，即 （其中為該切線的傾斜角）. 思考2：直線與曲線有一個公共點是直線與曲線相切的什么條件？ 參考答案：即不充分也不必要條件. 問題3：將上述曲線圖象在點處放大，觀察圖象，說說能否用切線在點處的值代替曲線在點處的值？ 參考答案：根據(jù)圖象，可知當(dāng)將點處曲線放大時，點處曲線越來越接近直線，因此可以用切線在點處的值近似代替曲線在點處的值（以直代曲）. 任務(wù)2：探究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象變換情況的關(guān)系 下圖表示跳水運動中高度隨著時間變化的函數(shù)的圖象. 請描述、比較曲線分別在，，附近的變化情況. 提示：如何刻畫曲線分別在，，附近的變化情況？ 參考答案：解：用曲線h(t)分別在，，出切線的斜率刻畫其在上述三個點附近的變化情況. 當(dāng)時，曲線在處的切線平行t軸，即，這時在附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降； 當(dāng)時，曲線在處的切線的斜率，這時在附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在附近單調(diào)遞減； 當(dāng)時，曲線在處的切線的斜率，這時在附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在附近單調(diào)遞減； （4）曲線h(t)在附近下降的比在附近下降的要緩慢. 思考3：導(dǎo)數(shù)符號與曲線的單調(diào)性有什么關(guān)系？導(dǎo)數(shù)大小與曲線的變化率有什么關(guān)系 【歸納總結(jié)】 1.y＝f（x）在點x＝x0處的切線斜率為k，則k＞0 f ′（x0 ）＞0；k＜0 f ′（x0）＜0；k＝0 f ′（x0）＝0. 2.|f ′（x0）|越大 曲線在x0處瞬時變化越快；|f ′（x0）|越小 曲線在x0處瞬時變化越慢. 練一練. 已知y＝f (x)的圖象如圖所示，則f ′(xA)與f ′(xB)的大小關(guān)系是(　　) A．f ′(xA)＞f ′(xB) B．f ′(xA)＜f ′(xB) C．f ′(xA)＝f ′(xB) D．不能確定 參考答案：B　 解析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f ′(xA)，f ′(xB)分別是切線在點A、B處切線的斜率，由圖象可知f ′(xA)＜f ′(xB)．
目標(biāo)二：會用導(dǎo)數(shù)的概念求相關(guān)實際問題問題，理解導(dǎo)函數(shù)的概念. 任務(wù)1：利用導(dǎo)數(shù)估算瞬時變化率. 如圖表示人體血管中的藥物濃度 c = f (t) (單位：mg/mL) 隨時間 t (單位：min) 變化的函數(shù)圖像. 根據(jù)圖像，估計 t = 0.8 min 時，血管中藥物濃度的瞬時變化率 (精確到0.1). 參考答案：解：如圖，作處的切線，并在切線上取兩點，如（0.7，0.91），（1.0，0.48），則該切線的斜率，所以. 任務(wù)2：理解導(dǎo)函數(shù)的概念. 回顧上面的例題，思考當(dāng)變化時，是的函數(shù)嗎？說明理由. 【新知講解】 在求函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的過程中我們可以看出，當(dāng)時，就是一個唯一確定的數(shù)，這樣當(dāng)變化時，就是的函數(shù)，我們稱它為的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)）.的導(dǎo)函數(shù)也可以記作，即. 思考：函數(shù)f（x）在處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)之間有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 參考答案：（1）區(qū)別：①是在處函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比的極限，是一個常數(shù)，不是變量；②是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，是對某一區(qū)間內(nèi)任意x而言的. （2）聯(lián)系：函數(shù)f（x）在處的導(dǎo)數(shù)就是其導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：根據(jù)下列關(guān)鍵詞，構(gòu)建知識導(dǎo)圖. “導(dǎo)數(shù)的幾何意義”、“導(dǎo)函數(shù)”. 參考答案：
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