資源簡介

函數的單調性
學習目標 1.理解函數的單調性與導數的關系. 2.能利用導數研究函數的單調性，求解函數的單調區間.
學習活動
導入：函數的單調性定義是什么？如何利用單調性定義判斷函數的單調性？ 參考答案：單調性定義：一般地，設函數的定義域為，區間． 如果，，當時，都有，那么就稱函數在區間上單調遞增；如果，，當時，都有，那么就稱函數在區間上單調遞減． 定義法判斷函數的單調性：（1）設，，；（2）作差：；（3）判號. 目標一：理解函數的單調性與導數的關系. 任務1：探究高臺跳水問題中的導數問題. 圖1（1）是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數的圖象，圖1（2）是跳水運動員的速度v隨時間l變化的函數的圖象．這里，，b是函數h（t）的零點． 問題1：分析運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態. 參考答案：（1）運動員從起點到最高點，離水面的高度h隨時間t的增加而增加，速度逐漸減小直到0； (2)從最高點到入水，離水面的高度h隨時間t的增加而減小，速度逐漸由0逐漸增大. 問題2：觀察h-t，v-t圖象，從單調性和導數的角度分析圖象特點？ 參考答案：（1）運動員從起點到最高點，h-t圖象上升，v-t圖象大于0，即；(2)從最高點到入水，h-t圖象下降，v-t圖象小于0，即. 思考：根據上述函數單調性與導數符號，由此說說函數單調性與導數符號有什么關系？ 參考答案：（1）單調遞增，；單調遞減，. 任務2：觀察圖象，探究函數單調性與導數正負的關系. 問題1.判斷上述四種函數的單調性. 參考答案：（1）函數在R上單調遞增；函數在上單調遞減，在上單調遞增；函數在R上單調遞增；函數在和上單調遞減. 問題2.分別畫出四種函數在x軸兩側圖像上的一條切線，說說函數的單調性與導數的正負的有什么關系？ 參考答案： 【歸納總結】 一般地，函數的單調性與導函數的正負之間具有如下的關系： 在某個區間（a，b）內，如果，那么函數在區間（a，b）內單調遞增； 在某個區間（a，b）內，如果，那么函數在區間（a，b）內單調遞減． 思考：在某個區間內，有，那么此時函數有什么特點？ 參考答案：如果在某個區間內恒有，那么函數為常數函數，但是在某個區間內，若僅在某些點處所對應的導數值為0，則不能判定函數為常數函數.
目標二：能利用導數研究函數的單調性，求解函數的單調區間. 任務1：利用導數判斷函數的單調性. 利用導數判斷下列函數的單調性： （1）；（2），；（3）. 參考答案：解：（1）因為，所以. 所以，函數在R上單調遞增，如圖（1）所示. （2）因為，，所以. 所以，函數在上單調遞減，如圖（2）所示. （3）因為，，所以. 【新知講解】 利用導數判斷函數單調性思路. 求函數的導數. （1）若在內，，則函數在上單調遞增； （2）若在內，，則函數在上單調遞減； （3）若在內，，則函數是常數函數，不具有單調性. 注：（1）定義域優先原則；（2）注意“臨界點”和“間斷點”；（3）單調性區間不能用并集符號“∪”連接. 練一練： 判斷函數f(x)＝x－ex(x>0)的單調性． 參考答案：解：因為f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上單調遞減． 任務2：利用導數正負與單調性的關系，繪制函數簡圖. 已知導函數的下列信息：當時，； 當，或時，；當，或時，. 試畫出函數圖象的大致形狀. 參考答案：解：當時，，可知在區間上單調遞增；當，或時，，可知在區間和上都單調遞減；當，或時，，這兩點比較特殊，我們稱它們為“臨界點” 綜上，函數圖象的大致形狀如圖所示. 【歸納總結】 導數圖象問題： 在導數圖象中，x軸上方的圖象所對應的區間對應原函數的單調遞增區間，即“正則增”，反之，若原函數單調遞增，則導函數圖象在x軸上方，即“增則正” 在導數圖象中，x軸下方的圖象所對應的區間對應原函數的單調遞減區間，即“負則減”，反之，若原函數單調遞增遞減，則導函數圖象在x軸下方，即“減則負”. 練一練： 設是函數的導函數，的圖像如圖所示，則的圖像最有可能的是（ ） A．B． C．D． 參考答案：解：由導函數的圖象可得當時，,函數單調遞增；當時，,函數單調遞減；當時，,函數單調遞增.只有C選項的圖象符合.故選C. 思考：在區間內，任取，兩點，則函數的平均變化率為，其幾何意義與的正負有什么關系？ 參考答案：解：平均變化率的幾何意義為直線AB的斜率.若在區間內單調遞增，則,；若在區間內單調遞減，則,.
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “導數與單調性” 參考答案：
2函數的單調性
學習目標 1.理解函數的單調性與導數的關系. 2.能利用導數研究函數的單調性，求解函數的單調區間.
學習活動
導入：函數的單調性定義是什么？如何利用單調性定義判斷函數的單調性？ 目標一：理解函數的單調性與導數的關系. 任務1：探究高臺跳水問題中的導數問題. 圖1（1）是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數的圖象，圖1（2）是跳水運動員的速度v隨時間l變化的函數的圖象．這里，，b是函數h（t）的零點． 問題1：分析運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態. 問題2：觀察h-t，v-t圖象，從單調性和導數的角度分析圖象特點？ 參考答案：（1）運動員從起點到最高點，h-t圖象上升，v-t圖象大于0，即；(2)從最高點到入水，h-t圖象下降，v-t圖象小于0，即. 思考：根據上述函數單調性與導數符號，由此說說函數單調性與導數符號有什么關系？ 任務2：觀察圖象，探究函數單調性與導數正負的關系. 問題1.判斷上述四種函數的單調性. 問題2.分別畫出四種函數在x軸兩側圖像上的一條切線，說說函數的單調性與導數的正負的有什么關系？ 【歸納總結】 一般地，函數的單調性與導函數的正負之間具有如下的關系： 在某個區間（a，b）內，如果，那么函數在區間（a，b）內單調遞增； 在某個區間（a，b）內，如果，那么函數在區間（a，b）內單調遞減． 思考：在某個區間內，有，那么此時函數有什么特點？
目標二：能利用導數研究函數的單調性，求解函數的單調區間. 任務1：利用導數判斷函數的單調性. 利用導數判斷下列函數的單調性： （1）；（2），；（3）. 【新知講解】 利用導數判斷函數單調性思路. 求函數的導數. （1）若在內，，則函數在上單調遞增； （2）若在內，，則函數在上單調遞減； （3）若在內，，則函數是常數函數，不具有單調性. 注：（1）定義域優先原則；（2）注意“臨界點”和“間斷點”；（3）單調性區間不能用并集符號“∪”連接. 練一練： 判斷函數f(x)＝x－ex(x>0)的單調性． 任務2：利用導數正負與單調性的關系，繪制函數簡圖. 已知導函數的下列信息：當時，； 當，或時，；當，或時，. 試畫出函數圖象的大致形狀. 【歸納總結】 導數圖象問題： 在導數圖象中，x軸上方的圖象所對應的區間對應原函數的單調遞增區間，即“正則增”，反之，若原函數單調遞增，則導函數圖象在x軸上方，即“增則正” 在導數圖象中，x軸下方的圖象所對應的區間對應原函數的單調遞減區間，即“負則減”，反之，若原函數單調遞增遞減，則導函數圖象在x軸下方，即“減則負”. 練一練： 設是函數的導函數，的圖像如圖所示，則的圖像最有可能的是（ ） A．B． C．D． 思考：在區間內，任取，兩點，則函數的平均變化率為，其幾何意義與的正負有什么關系？
學習總結
任務：根據下列關鍵詞，構建知識導圖. “導數與單調性”
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