資源簡介

函數(shù)的極值
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.知道函數(shù)極值的有關(guān)概念，了解函數(shù)在某點處取得極值的必要條件和充分條件. 2.掌握求函數(shù)極值的步驟，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）的極大值、極小值．
學(xué)習(xí)活動
導(dǎo)入：觀察廬山連綿起伏的圖片，思考廬山的山勢有什么特點？ 目標(biāo)一：知道函數(shù)極值的有關(guān)概念，了解函數(shù)在某點處取得極值的必要條件和充分條件. 任務(wù)1：探究函數(shù)高臺跳水圖象的性質(zhì). 問題.我們知道，當(dāng)時，高臺跳水運(yùn)動員距水面的高度最大，那么此時時，其導(dǎo)數(shù)是多少？在此點附近其圖象單調(diào)性是怎樣的？相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)符號有什么變化？ 任務(wù)2：探究一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正負(fù)規(guī)律. 問題1.如圖，函數(shù)f(x)在x=a，b，c，d，e等點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？ 問題2.函數(shù)f(x)在x=a，b，c，d，e等點的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點附近，f(x)的導(dǎo)數(shù)正負(fù)性規(guī)律是怎樣的？ 【新知講解】 在函數(shù)f(x)中，若，且在點附近的左側(cè)<0，右側(cè)>0時，我們把叫做函數(shù)的極小值點，叫做函數(shù)的極小值； 若，且在點附近的左側(cè)>0，右側(cè)<0時，我們把叫做函數(shù)的極大值點，叫做函數(shù)的極大值. 注：極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì). 練一練： 下圖是函數(shù)，的圖象，你能找出它的極小值、極大值嗎？ 思考：函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎？
目標(biāo)二：掌握求函數(shù)極值的步驟，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）的極大值、極小值． 任務(wù)：求具體函數(shù)的極值，并掌握求解方法. 求函數(shù)的極值. 提示：根據(jù)極值概念，說說如何判斷函數(shù)的極值？ 【新知講解】 一般地，求函數(shù)的極值的步驟： 1.求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)； 2.解方程，得方程的根x0（可能不止一個）； 3.用方程的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，可將x，，在每個區(qū)間內(nèi)的變化情況列在同一個表格中； 4.由在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，判斷在的各個根處的極值情況： （1）如果左正右負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極大值； （2）如果左負(fù)右正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值； （3）如果導(dǎo)數(shù)值在這個根左右兩側(cè)同號，那么這個根不是極值點. 思考：導(dǎo)數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點嗎？ 【歸納總結(jié)】 一般地，函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)在這點取極值的必要條件，而非充分條件. 練一練： 求函數(shù)y＝x3－3x2－9x＋5的極值.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：根據(jù)下列關(guān)鍵詞，構(gòu)建知識導(dǎo)圖. “極大值點”、“極大值”、“極小值點”、“極小值”“極值點”、“極值”.
2函數(shù)的極值
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.知道函數(shù)極值的有關(guān)概念，了解函數(shù)在某點處取得極值的必要條件和充分條件. 2.掌握求函數(shù)極值的步驟，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）的極大值、極小值．
學(xué)習(xí)活動
導(dǎo)入：觀察廬山連綿起伏的圖片，思考廬山的山勢有什么特點？ 目標(biāo)一：知道函數(shù)極值的有關(guān)概念，了解函數(shù)在某點處取得極值的必要條件和充分條件. 任務(wù)1：探究函數(shù)高臺跳水圖象的性質(zhì). 問題.我們知道，當(dāng)時，高臺跳水運(yùn)動員距水面的高度最大，那么此時時，其導(dǎo)數(shù)是多少？在此點附近其圖象單調(diào)性是怎樣的？相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)符號有什么變化？ 參考答案： 放大附近函數(shù)的圖像，如圖，可以看出；在附近，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，；這就說明，在附近，函數(shù)值先增（，）后減（，）．這樣，當(dāng)在的附近從小到大經(jīng)過時，先正后負(fù)，且連續(xù)變化，于是有． 任務(wù)2：探究一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正負(fù)規(guī)律. 問題1.如圖，函數(shù)f(x)在x=a，b，c，d，e等點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關(guān)系？ 參考答案：以兩點為例，可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其他點的函數(shù)值都小；函數(shù)在點的函數(shù)值比它在點附近其他點的函數(shù)值都小； 問題2.函數(shù)f(x)在x=a，b，c，d，e等點的導(dǎo)數(shù)值是多少？在這些點附近，f(x)的導(dǎo)數(shù)正負(fù)性規(guī)律是怎樣的？ 參考答案：以兩點為例，函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)值，在點附近的左側(cè)<0，右側(cè)>0.類似地，函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)值為；而且在點附近的左側(cè)>0，右側(cè)<0. 【新知講解】 在函數(shù)f(x)中，若，且在點附近的左側(cè)<0，右側(cè)>0時，我們把叫做函數(shù)的極小值點，叫做函數(shù)的極小值； 若，且在點附近的左側(cè)>0，右側(cè)<0時，我們把叫做函數(shù)的極大值點，叫做函數(shù)的極大值. 注：極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì). 練一練： 下圖是函數(shù)，的圖象，你能找出它的極小值、極大值嗎？ 參考答案：解：圖中,,是極小值，,,是極大值． 思考：函數(shù)的極大值一定大于極小值嗎？ 參考答案：解：不一定，例如練一練中是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，但是
目標(biāo)二：掌握求函數(shù)極值的步驟，會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）的極大值、極小值． 任務(wù)：求具體函數(shù)的極值，并掌握求解方法. 求函數(shù)的極值. 提示：根據(jù)極值概念，說說如何判斷函數(shù)的極值？ 參考答案：解：因為 的定義域為R，所以 . 令0,解得： 當(dāng)變化時， ，的變化情況如下表 單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增
因此，當(dāng)時，有極大值，極大值為= 當(dāng)時，有極小值，極小值為=- . 【新知講解】 一般地，求函數(shù)的極值的步驟： 1.求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)； 2.解方程，得方程的根x0（可能不止一個）； 3.用方程的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，可將x，，在每個區(qū)間內(nèi)的變化情況列在同一個表格中； 4.由在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，判斷在的各個根處的極值情況： （1）如果左正右負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極大值； （2）如果左負(fù)右正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值； （3）如果導(dǎo)數(shù)值在這個根左右兩側(cè)同號，那么這個根不是極值點. 思考：導(dǎo)數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點嗎？ 參考答案：不一定，例如，對于函數(shù)，我們有.雖然，但由于無論>0,還是<0，恒有>0，即函數(shù)是增函數(shù)，所以0不是函數(shù)的極值點. 【歸納總結(jié)】 一般地，函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)在這點取極值的必要條件，而非充分條件. 練一練： 求函數(shù)y＝x3－3x2－9x＋5的極值. 參考答案：解：∵y′＝3x2－6x－9， 令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 當(dāng)x變化時，y′，y的變化情況如下表： 極大值極小值
∴當(dāng)x＝－1時，函數(shù)y＝f (x)有極大值，且f (－1)＝10； 當(dāng)x＝3時，函數(shù)y＝f (x)有極小值，且f (3)＝－22.
學(xué)習(xí)總結(jié)
任務(wù)：根據(jù)下列關(guān)鍵詞，構(gòu)建知識導(dǎo)圖. “極大值點”、“極大值”、“極小值點”、“極小值”“極值點”、“極值”. 參考答案：
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