資源簡介

共頂點模型
破解策略
1.等邊三角形共頂點
已知等邊△ABC與等邊△DCE,B,C,E三點共線.
如圖,連接BD,AE,交于點 F,BD與AC 交于點G,AE與DC 交于點 H,連接CF,GH,則:
(1)△BCD≌△ACE;
(2)AE=BD;
(3)∠AFB=∠DFE=60°;
(4)FC平分∠BFE;
(5)BF=AF+FC,EF=DF+FC;
(6)△CGH 為等邊三角形.
證明 (1)由已知條件可得
則△ACE≌△BCD.
(2)由(1)可得AE=BD.
(3)由(1)可得∠GAF=∠GBC,而∠AGF=∠BGC,所以∠DFE=∠AFB=∠ACB=60°.
(4)方法一:如圖,過點 C分別作BD,AE 的垂線,垂足為M,N.
由(1)知 即 所以CM=CN,故 FC平分∠BFE.
方法二:由∠CAF=∠CBF可得A,B,C,F四點共圓,所以∠BFC=∠BAC=60°.
同理可得∠CFE=∠CDE=60°.
所以 FC平分∠BFE.
(5)如圖,在 BD 上取點I,使得∠FCI=60°,則△CFI為等邊三角形.
易證△BCI≌△ACF,所以 BI=AF,IF=CI=CF.
從而 BF=BI+IF=AF+CF.
同理可得 EF=DF+CF.
(6)易證△ACH≌△BCG(ASA),所以CG=CH.
而∠GCH=60°,所以△CGH為等邊三角形.
2.等腰直角三角形共頂點
已知在等腰 Rt△ACB 與等腰 Rt△DCE中,∠ACB=∠DCE=90°.
如圖1,連接 BD,AE,交于點 F,連接 FC,AD,BE,則:
(1)△BCD≌△ACE;
(2)AE=BD;
(3)AE⊥BD;
(4)FC平分∠BFE;
(7)如圖2,G,I分別是BE,AD 上的點,①若G 是 BE 的中點,則( (反之亦然);②若IC⊥BE.則 I是AD 的中點(反之亦然)；
證明 (1)(2)(3)(4)的證明可參閱本節“1. 等邊三角形共頂點”;
(5)由(3)和勾股定理可得A. =
(6)如圖,過點 C 作CK⊥FC,與 BD交于點K,則△CFK 為等腰直角三角形.
易證△BCK≌△ACF,所以BK=AF.
從而
同理可得
(7)①如圖,延長AD,GC,交于點 H,延長CG 至點K,使得( ,連接 BK.
易證∠KBG=∠CEG,BK=EC=CD.
由題意可得∠ACD+∠BCE=∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°,
所以∠ACD=∠CBE+∠CEB=∠CBG+∠GBK=∠CBK.
從而△ACD≌△CBK(SAS),所以∠CAD=∠BCK.
所以∠ACH+∠CAH=∠ACH+∠BCK=90°,故 GC⊥AD.
②如圖,延長 IC 交BE 于點J,分別過點 A,D 作直線CI 的垂線,垂足為 M,N.
由弦圖模型可得△AMC≌△CJB,△DNC≌△CJE.
所以AM=CJ=DN,故有△AMI≌△DNI,
所以AI=DI,即得證.
(8)在(7)的證明過程中可得到S△ACD=S△BE;t也可以用下面的方法來證明.
如圖,過點 D 作 DP⊥AC 于點 P,過點 E 作EQ⊥BC,與 BC的延長線交于點 Q.
易證△DPC≌△EQC(AAS),所以DP=EQ.
所以 即S△ACD=S△BCE.
3.等腰三角形共頂點
已知在等腰△ACB與等腰△DCE中,CA=CB,CD=CE,且∠ACB=∠DCE.
如圖,連接BD,AE,交于點 F,則:
(1)△BCD≌△ACE;
(2)AE=BD;
(3)∠AFB=∠ACB;
(4)FC平分∠BFE.
4.相似三角形共頂點
已知在△ACB和△ECD中,
如圖,連接BD,AE,交于點 F,則:
(1)△BCD∽△ACE;
(2)∠AFB=∠ACB.
證明 (1)由已知條件可得
所以△ACE∽△BCD.
(2)令 AC與BD 交于點G,則∠AGF=∠BGC.
由(1)可得∠CAF=∠CBF,所以∠AFB=∠ACB.
例題講解
例1如圖,△ABC和△CDE都是等邊三角形,且點 A,C,E在同一直線上,AD與BE，BC 分別交于點F，M，BE與CD 交于點 N，連接 MN.下列結論中正確的是 (寫出所有正確結論的序號).
①AM=BN;
②△ABF≌△DNF;
③∠FMC+∠FNC=180°;
分析 本題為兩個等邊三角形共頂點，利用模型的結論即可解決問題.
解答
例2 (1)【問題】如圖1,在 Rt△ABC中,AB=AC,D 是 BC 邊上一點(不與點 B,C重合),將線段 AD繞點 A 按逆時針方向旋轉 90°得到 AE，連接 EC，則線段 BC，DC，EC之間滿足的等量關系式為 ；
(2)【探索】如圖2,在 Rt△ABC 與 Rt△ADE 中,. ,將△ADE 繞點A 旋轉,使點 D 落在 BC 邊上，試探索線段 AD，BD，CD 之間滿足的等量關系，并證明你的結論；
(3)【應用】如圖3,在四邊形 ABCD 中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若 ,求 AD的長.
分析 (1)顯然△ABD≌△ACE；(2)圖2為等腰直角三角形共頂點模型，從而得三角形全等；(3)構造等腰直角三角形共頂點模型，從而解決問題.
解答
例3 如圖1,點 G 在正方形ABCD 的對角線AC上,GE⊥BC于點E,GF⊥CD于點F.
(1)【推斷】 的值為 ；
(2)【探究與證明】如圖2，將正方形CEGF 繞點C 順時針旋轉( ,試探究線段 AG與BE 之間的數量關系，并說明理由；
(3)【拓展與運用】如圖3，正方形 CEGF 在旋轉的過程中，當B，E，F 三點在一條直線上時，延長CG，與AD 交于點H.若 AG=6,GH=2 ,則 BC= .
分析 (1)平移 BE與AG 可構成等腰直角三角形；(2)連接CG，圖中有相似三角形共頂點，進而得線段間的關系；(3)正方形共頂點的圖形中既有等腰直角三角形共頂角頂點，又有等腰直角三角形共底角頂點，充分利用所得的結論即可.
解答
例4在△ABC中,CA=CB,∠ACB=α. P是平面內不與點A,C重合的任意一點.連接AP,將線段 AP 繞點 P 逆時針旋轉α得到線段DP,連接AD,BD,CP.
(1)【觀察猜想】如圖1,當α=60°時, 的值是 ，直線 BD 與直線CP 相交所成的較小角的度數是 .
(2)【類比探究】如圖2,當α=90°時,請寫出 的值及直線BD 與直線CP 相交所成的較小角的度數，并就圖2的情形說明理由.
(3)【解決問題】當α=90°時,若 E,F 分別是CA,CB的中點,點 P 在直線 EF 上,請直接寫出點C,P,D在同一直線上時 的值.
分析 圖1為兩個等邊三角形共頂點，圖2 為兩個等腰直角三角形共銳角頂點，即相似三角形共頂點，(1)(2)問均可直接利用模型的結論得解；(3)問中需要注意的是別漏解，先畫出滿足要求的圖形，再利用模型的結論解決問題.
解答
例5 (1)【問題提出】如圖1,在△ABC中,AB=AC,點D在AB 上,過點D作DE∥BC,與AC交于點E.連接CD. F,G,H 分別是線段CD,DE,BC的中點,則線段 FG與FH 的數量關系是 ;
(2)【類比探究】將圖1中的△ADE 繞點 A 旋轉到圖2中所示的位置，上述結論還成立嗎 若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；
(3)【拓展延伸】如圖 3,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12,點 E 在 BC 上, ,過點 E作 ED⊥AB于點 D.將△BDE 繞點B 按順時針方向旋轉,連接AE,取AE 的中點F,連接 DF.當AE⊥AC時，線段 DF的長度為 .
分析 (1)利用等腰三角形的性質和中位線的性質即可；(2)圖2為等腰三角形共頂點，得三角形全等，再根據中位線的性質來證明；(3)構造等腰三角形共頂點模型，即可解決問題.
解答
進階訓練
1.在菱形ABCD 中,∠ABC=60°,P 是射線BD 上一動點,以AP為邊向右側作等邊△APE,點 E 的位置隨點 P 的位置變化而變化.
(1)如圖1,當點 E 在菱形ABCD 內部或邊上時,連接CE,則 BP與CE 的數量關系是 ,CE與AD 的位置關系是 ；
(2)如圖2，當點 E 在菱形ABCD 外部時，(1)中的結論是否還成立 若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由；
(3)如圖3，當點 P 在線段BD的延長線上時，連接BE.若 求四邊形ADPE的面積.
2.如圖1,菱形 AEGH 的頂點 E,H 在菱形ABCD 的邊上,且
(1)請直接寫出 HD: GC: EB的結果;
(2)將圖1中的菱形AEGH 繞點A 旋轉一定角度,如圖2,求 HD:GC:EB;
(3)把圖2中的菱形都換成矩形,如圖3,且AD:AB=AH:AE=1:2,此時 HD:GC: EB的結果與第(2)小題的結果相比有變化嗎 如果有變化，直接寫出變化后的結果；若無變化，請說明理由.
3.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是直線BC上一動點(不與點 B,C重合),以AD為腰作等腰△DAF,使得. 連接CF.
(1)【觀察猜想】如圖1,當點 D 在線段 BC 上時,CF 與 BC 的位置關系為 ,CF,DC,BC 之間的數量關系為 ；
(2)【數學思考】如圖2，當點 D 在線段CB 的延長線上時，(1)中的結論仍然成立嗎 若成立，請證明；若不成立，請寫出正確的結論再證明；
(3)【拓展延伸】如圖3，當點 D 在線段BC 的延長線上時，將 沿線段 DF 翻折,使點 A 與點 E 重合，連接CE.若已知 請求出線段CE的長.

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