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“鉛垂高×水平寬”法在二次函數中求面積
一、什么是鉛錘高法？
過△ABC的三個頂點分別作與水平線垂直的三條直線，垂足為M、E、N,MN的長度就叫做△ABC
的“水平寬"，中間的這條垂線AE在△ABC內部線段的長度AD就△ABC的“鉛垂高(h)",三角形面積的另
一種計算方法：S△BC=)MNAD,即三角形ABC面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半，
A(xy)
B(x2y2)
D
C(x3,y3)
M
0
E
二、用等積法推導鉛垂高法
證明：如圖，AD把△ABC分成兩部分△ABD、△ADC,
若以AD為底，則IE、NE分別為△ABD、△ADC的高
S△iBC=S△ABb+S△ADC
-IME-AD+EN-AD
2
=分INaD
即三角形ABC面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半
三、鉛錘高法在二次函數求面積中的巧妙應用
注意：在二次函數中，應用鉛錘高法，通常把“水平寬”映射在x軸上，少數情況也映射在y軸上。
例1、已知：如圖，二次函數y=x+bx+c的圖象與x軸交于
y
A、B兩點，其中A點坐標為(-1,0)，點C(0,5),另拋物線
經過點(1,8)，M為它的頂點，
(1)求拋物線的解析式：
(2)求△MCB的面積SAMCa
(1)解：，A1,0),B(0,5),C(1,8)三點在拋物線
J=a2+b+c上
0=a-b+c
.5=c
8=a+b+c
[a=-1
解方程組得b=4
c=5
B
故拋物線的解析式為y=x2+4x+5
0
(2)
解：過點M作MN∥y軸交BC于點N,
則△NCB的面積=△MCN的面積+△NB的面積
=MNXOB
2
y=-x2+4x+5=-(x-5)x+1)=-k-2)249,
∴.M(2,9),B(5,0),
由B、C兩點的坐標易求得直線BC的解析式為：
=-x+5,
當x=2時，=-2+5=3，則N(2,3),
則MN=9-3=
則SA=
MNX0B6x5÷2=15.
(鉛垂高法)
如果用一般的割補法：S△ICB=S△IEB+S#奉McoE-SAMCB,那么
計算量會很大。
0
E
B
例2、如圖，拋物線y=ax+c的頂點為1，且拋物線與直線
y2=kx+1相交于A、B兩點，且點A在x軸上，點B的坐標
為2,3)，連結AM、BM。
(1)a=
=
k=
(直接寫出結果)；
(2)當y<2時，則x的取值范圍為
(直接寫
出結果；
(3)在直線AB下方的拋物線上是否存在一點P,使得△ABP
的面積最大？若存在，求出△ABP的最大面積及點P坐標。
解析：
1-11-1解：(1)將點B的坐標(2,3)代入2=kx+1得：
3=2k+1
解得：k=1
y=x+1
令y=0得：0=x+1
解得：x=1
.A(-1,0)
將A(-1,0)、B(2,3)代入y=ax+e得：
0=a+c
3=4a+c
解得：a=1,c=1
故答案為：1，-1,1：
(2),A(-1,0)、B(2,3)
∴結合圖象可得：當y<2時，則x的取值范圍為-1(3)在直線AB下方的拋物線上存在一點P,使得△ABP的
面積最大
如圖，設平行于直線y=x+1的直線解析式為：y=x+b
由扔=21
得：x21=x+b
t =x+b
x2-x-1-b=0
令△=0得：1-4(-1-b)-0
解得：b
4

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