資源簡介

3.1 課時1 條件概率
【學習目標】
1.結合古典概型,理解條件概率的概念.(數學抽象)
2.能計算簡單隨機事件的條件概率.(數學運算)
3.會用條件概率解決實際問題.(數學運算、數據分析)
【自主預習】
1.古典概型的特征是什么
2.你能寫出古典概型的概率計算公式嗎
3.拋擲一枚質地均勻的硬幣2次.
(1)2次都是正面向上的概率是多少
(2)在已知有1次出現正面向上的條件下,2次都是正面向上的概率是多少
上述2個問題有什么區別 它們之間有什么關系
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若事件A,B互斥,則P(B|A)=1. (　　)
(2)P(B|A)與P(A|B)不同. (　　)
(3)P(A∩B|A)=P(B). (　　)
2.已知P(A)=0.8,P(B)=0.3,P(AB)=0.24,則P(A|B)=(　　).　
A.0.24 B.0.8 C.0.3 D.0.16
3.已知10道試題中有4道選擇題,甲、乙兩人依次不放回地抽取1道,求:
(1)甲抽到選擇題的概率;
(2)在甲抽到選擇題的情況下,乙抽到選擇題的概率.
【合作探究】
探究1　條件概率的定義
　　問題1:小明是2022年北京冬奧會的志愿者,服務結束獲得了一個冬奧會的吉祥物冰墩墩,小明有三個侄子,都想要這個冰墩墩,他不知如何分配.三個侄子都說抓鬮,其中較大的一個說:“我讓你們,我最后一個抓.”請問他抽中的概率是否比前兩個的小
問題2:如果已經知道第一個人沒有抽到冰墩墩,那么最后一個人抽到冰墩墩的概率又是多少
問題3:若用A表示事件“第一個人沒有抽到冰墩墩”,用B表示事件“最后一個人抽到冰墩墩”,則將事件“已知第一個人沒有抽到冰墩墩的條件下,最后一個人抽到冰墩墩”發生的概率記為P(B|A).試說明:已知第一個人的抽獎結果,為什么會影響最后一個人抽到冰墩墩的概率.
問題4:對于問題3中的事件A和事件B,P(B|A)與它們的概率有什么關系
問題5:如何判斷條件概率
新知生成
條件概率
如果事件A,B是兩個隨機事件,且P(A)>0,那么在事件A發生的條件下事件B發生的概率叫作條件概率,記為P(B|A).　
新知運用
例1　朝陽小學五年級有兩個班,其中甲班科技課外興趣小組有6人(4男2女),乙班科技課外興趣小組有6人(3男3女),學校準備從五年級科技課外興趣小組中隨機挑選2名學生參加全市科技競賽.
(1)求選到的兩名學生來自同一名班的概率;
(2)在已知其中一名是男生的條件下,求另一名也是男生的概率.
【方法總結】　　將原來的全體基本事件Ω縮小為已知的條件事件A,原來的事件B縮小為AB.而A中僅包含有限個基本事件,每個基本事件發生的概率相等,從而可以在縮小的概率空間上利用古典概型公式計算條件概率,即P(B|A)=,這里n(A)和n(AB)的計數是基于縮小的基本事件范圍的.
若有5個乒乓球,其中3個是新的,2個是舊的,每次取一個,不放回地取兩次,則在第一次取到新球的條件下,第二次取到新球的概率為　　　　　.
探究2　條件概率公式
問題1: P(B|A)=P(A∩B)對嗎
問題2:P(B|A)和P(A|B)相同嗎
問題3:在5道題中有3道理科題和2道文科題.如果不放回地依次抽取2道題,第1次抽到理科題的概率是多少 第1次和第2次都抽到理科題的概率是多少 在第1次抽到理科題的條件下,第2次抽到理科題的概率又是多少
問題4:你能從問題3中得出什么結論
新知生成
條件概率公式
1.一般地,在事件A發生的條件下,事件B發生的條件概率為P(B|A)=(P(A)>0).
我們可以借助下圖來理解上述計算公式.
2.用n(A),n(AB)分別表示 A,AB中的樣本點個數,由條件概率的定義可知,在事件A發生的條件下事件B發生的概率,等于在事件A發生的條件下事件A和事件B同時發生的概率,即P(B|A)==,類似地,P(A|B)=(P(B)>0).
新知運用
例2　盒子里裝有16個球,其中6個是玻璃球,10個是木質球.玻璃球中有2個是紅球,4個是藍球;木質球中有3個是紅球,7個是藍球.現從中任取一個球(假設每個球被取到是等可能的),若取出的球是藍球,則該球是玻璃球的概率是多少
【方法總結】　　本題數據較多,關系有點復雜,可采用列表法理順關系,這樣不僅過程簡單,同時還能快捷地找出計算條件概率時所需的相關事件的概率.
　　一個袋子中有2個黑球和3個白球,如果不放回地抽取2個球,記事件A為“第一次抽到黑球”,事件B為“第二次抽到黑球”.
(1)分別求事件A,事件B,事件AB發生的概率;
(2)求P(B|A).
探究3　條件概率的應用
例3　某校從學生文藝部7名成員(4男3女)中,挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動.
(1)求男生甲被選中的概率;
(2)在已知男生甲被選中的條件下,求女生乙被選中的概率;
(3)在要求被選中的2人中必須一男一女的條件下,求女生乙被選中的概率.
【方法總結】　　用定義法求條件概率P(B|A)的步驟:
(1)分析題意,弄清概率模型;
(2)計算P(A),P(AB)的值;
(3)代入公式求P(B|A)的值.
　　2023年6月22日,是我國的傳統節日“端午節”.這天,小明的媽媽煮了5個粽子,其中兩個臘肉餡,三個豆沙餡.小明隨機抽取出兩個粽子,若已知小明取到的兩個粽子為同一種餡,則這兩個粽子都為臘肉餡的概率為(　　).
A. B. C. D.
【隨堂檢測】
1.若某種元件的使用壽命超過1年的概率為0.6,使用壽命超過2年的概率為0.3,則已經使用了1年的該種元件使用壽命超過2年的概率為(　　).
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.1
2.若拋擲一枚質地均勻的骰子兩次,記A={兩次的點數均為奇數},B={兩次的點數之和為8},則P(B|A)=(　　).
A. B. C. D.
3.根據教育部的規定,2021年9月1日以來,全國各地的中小學都開展了課后延時服務.各個學校都及時安排老師參加課后延時服務工作,學校要求張老師在每個星期的周一至周五要有三天參加課后延時服務.若張老師周二一定參加課后延時服務,則他周三也參加課后延時服務的概率為(　　).
A. B. C. D.
4.已知一個盒子內裝有形狀、大小完全相同的5個小球,其中3個紅球,2個白球.如果不放回地依次抽取3個球,那么在第一次抽到紅球的條件下,第二次抽到紅球的概率為　　　　.
23.1 課時1 條件概率
【學習目標】
1.結合古典概型,理解條件概率的概念.(數學抽象)
2.能計算簡單隨機事件的條件概率.(數學運算)
3.會用條件概率解決實際問題.(數學運算、數據分析)
【自主預習】
1.古典概型的特征是什么
【答案】　(1)有限性:樣本空間的樣本點只有有限個.(2)等可能性:每個樣本點發生的可能性相等.
2.你能寫出古典概型的概率計算公式嗎
【答案】　設試驗E是古典概型,樣本空間Ω包含n個樣本點,事件A包含其中的k個樣本點,則事件A發生的概率P(A)==.
3.拋擲一枚質地均勻的硬幣2次.
(1)2次都是正面向上的概率是多少
(2)在已知有1次出現正面向上的條件下,2次都是正面向上的概率是多少
上述2個問題有什么區別 它們之間有什么關系
【答案】　拋擲2次硬幣,試驗的樣本點組成的樣本空間Ω={正正,正反,反正,反反},且所有樣本點是等可能的.
(1)記“拋擲硬幣2次,2次都是正面向上”為事件B,則B={正正},故P(B)==.
(2)記“拋擲硬幣2次,有1次出現正面向上”為事件A,則A={正正,正反,反正},那么在事件A發生的條件下,事件B發生的概率為P(B|A)==.
這說明,在事件A發生的條件下,事件B發生的概率產生了變化,并且在事件A發生的條件下事件B發生的概率實際上是以A為樣本空間,事件AB發生的概率.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若事件A,B互斥,則P(B|A)=1. (　　)
(2)P(B|A)與P(A|B)不同. (　　)
(3)P(A∩B|A)=P(B). (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×
2.已知P(A)=0.8,P(B)=0.3,P(AB)=0.24,則P(A|B)=(　　).　
A.0.24 B.0.8 C.0.3 D.0.16
【答案】　B
【解析】　P(A|B)===0.8.
3.已知10道試題中有4道選擇題,甲、乙兩人依次不放回地抽取1道,求:
(1)甲抽到選擇題的概率;
(2)在甲抽到選擇題的情況下,乙抽到選擇題的概率.
【解析】　(1)甲抽到選擇題的概率P==.
(2)在甲抽到選擇題的情況下,乙抽到選擇題的概率P==.
【合作探究】
探究1　條件概率的定義
　　問題1:小明是2022年北京冬奧會的志愿者,服務結束獲得了一個冬奧會的吉祥物冰墩墩,小明有三個侄子,都想要這個冰墩墩,他不知如何分配.三個侄子都說抓鬮,其中較大的一個說:“我讓你們,我最后一個抓.”請問他抽中的概率是否比前兩個的小
【答案】　如果三張鬮分別用X1,X2,Y表示,其中Y表示“抽中冰墩墩”,那么三人抽的結果共有六種可能,分別為X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1,YX1X2,YX2X1.用事件A,B,C分別表示事件“第一個人抽到冰墩墩”“第二個人抽到冰墩墩”“最后一個人抽到冰墩墩”,則事件A包含基本事件YX1X2,YX2X1;事件B包含基本事件X1YX2,X2YX1;事件C包含基本事件X1X2Y,X2X1Y.故P(A)=P(B)=P(C)==,即最后一個人抽到冰墩墩的概率與前兩個人抽到冰墩墩的概率一樣.
問題2:如果已經知道第一個人沒有抽到冰墩墩,那么最后一個人抽到冰墩墩的概率又是多少
【答案】　因為已知第一個人沒有抽中冰墩墩,所以可能出現的基本事件只有X1X2Y,X1YX2,X2X1Y和X2YX1.而“最后一個人抽到冰墩墩”包含的基本事件仍是X1X2Y和X2X1Y,由古典概型計算概率的公式可知,最后一個人抽到冰墩墩的概率為,即.
問題3:若用A表示事件“第一個人沒有抽到冰墩墩”,用B表示事件“最后一個人抽到冰墩墩”,則將事件“已知第一個人沒有抽到冰墩墩的條件下,最后一個人抽到冰墩墩”發生的概率記為P(B|A).試說明:已知第一個人的抽獎結果,為什么會影響最后一個人抽到冰墩墩的概率.
【答案】　在這個問題中,知道第一個人沒有抽到冰墩墩,等價于知道事件A一定會發生,導致可能出現的基本事件必然在事件A中,從而影響事件B發生的概率,使得P(B|A)≠P(B).　
問題4:對于問題3中的事件A和事件B,P(B|A)與它們的概率有什么關系
【答案】　用Ω表示三個人可能抽取的結果的全體,則它由六個基本事件組成,即Ω={X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1,YX1X2,YX2X1}.既然已知事件A已發生,那么只需在A={X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1}的范圍內考慮問題,即只有四個基本事件.在事件A發生的情況下,事件B發生等價于事件A和事件B同時發生,即事件AB發生.而事件AB中含X1X2Y,X2X1Y兩個基本事件,因此P(B|A)==,其中n(A)和n(AB)分別表示事件A和事件AB所包含的基本事件個數.另一方面,根據古典概型計算概率的公式可知,P(AB)=,P(A)=,其中n(Ω)表示Ω中包含的基本事件個數.所以P(B|A)=.
問題5:如何判斷條件概率
【答案】　 題目中出現“在已知……前提下(或條件下)”“在A發生的條件下”等關鍵詞,表明這個前提已成立或條件已發生,此時通常涉及條件概率.
新知生成
條件概率
如果事件A,B是兩個隨機事件,且P(A)>0,那么在事件A發生的條件下事件B發生的概率叫作條件概率,記為P(B|A).　
新知運用
例1　朝陽小學五年級有兩個班,其中甲班科技課外興趣小組有6人(4男2女),乙班科技課外興趣小組有6人(3男3女),學校準備從五年級科技課外興趣小組中隨機挑選2名學生參加全市科技競賽.
(1)求選到的兩名學生來自同一名班的概率;
(2)在已知其中一名是男生的條件下,求另一名也是男生的概率.
【解析】　(1)記“選到的兩名學生來自同一個班”為事件A,則P(A)=+=.
(2)記“其中一名是男生”為事件A1,“另一名也是男生”為事件A2,
則P(A2)====.
【方法總結】　　將原來的全體基本事件Ω縮小為已知的條件事件A,原來的事件B縮小為AB.而A中僅包含有限個基本事件,每個基本事件發生的概率相等,從而可以在縮小的概率空間上利用古典概型公式計算條件概率,即P(B|A)=,這里n(A)和n(AB)的計數是基于縮小的基本事件范圍的.
若有5個乒乓球,其中3個是新的,2個是舊的,每次取一個,不放回地取兩次,則在第一次取到新球的條件下,第二次取到新球的概率為　　　　　.
【答案】　
【解析】　設“第1次取到新球”為事件A,“第2次取到新球”為事件B,則P(B|A)===.
探究2　條件概率公式
問題1: P(B|A)=P(A∩B)對嗎
【答案】　不對.事件B|A是指在事件A發生的條件下,事件B發生,而事件A∩B是指事件A與事件B同時發生,故P(B|A)≠P(A∩B).
問題2:P(B|A)和P(A|B)相同嗎
【答案】　P(B|A)是指在事件A發生的條件下,事件B發生的概率;而P(A|B)是指在事件B發生的條件下,事件A發生的概率.因此P(B|A)和P(A|B)不同.
問題3:在5道題中有3道理科題和2道文科題.如果不放回地依次抽取2道題,第1次抽到理科題的概率是多少 第1次和第2次都抽到理科題的概率是多少 在第1次抽到理科題的條件下,第2次抽到理科題的概率又是多少
【答案】　設“第1次抽到理科題”為事件A,“第2次抽到理科題”為事件B,則“第1次和第2次都抽到理科題”為事件A∩B.從5道題中不放回地依次抽取2道題的基本事件總數為=20.事件A所包含基本事件的總數為×=12.故P(A)==.因為事件A∩B包含=6個基本事件,事件A包含12個基本事件,所以P(A∩B)==,P(B|A)==.
問題4:你能從問題3中得出什么結論
【答案】　由問題3可知,P(A)=,P(A∩B)=,P(B|A)=,可以發現P(B|A)==.
新知生成
條件概率公式
1.一般地,在事件A發生的條件下,事件B發生的條件概率為P(B|A)=(P(A)>0).
我們可以借助下圖來理解上述計算公式.
2.用n(A),n(AB)分別表示 A,AB中的樣本點個數,由條件概率的定義可知,在事件A發生的條件下事件B發生的概率,等于在事件A發生的條件下事件A和事件B同時發生的概率,即P(B|A)==,類似地,P(A|B)=(P(B)>0).
新知運用
例2　盒子里裝有16個球,其中6個是玻璃球,10個是木質球.玻璃球中有2個是紅球,4個是藍球;木質球中有3個是紅球,7個是藍球.現從中任取一個球(假設每個球被取到是等可能的),若取出的球是藍球,則該球是玻璃球的概率是多少
【解析】　設事件A為“任取一個球,該球是玻璃球”;事件B為“任取一個球,該球是藍球”.由題中數據列表:
紅球 藍球 小計
玻璃球 2 4 6
木質球 3 7 10
小計 5 11 16
　　由表知,P(B)=,P(AB)=,
故所求事件的概率為P(A|B)==.
【方法總結】　　本題數據較多,關系有點復雜,可采用列表法理順關系,這樣不僅過程簡單,同時還能快捷地找出計算條件概率時所需的相關事件的概率.
　　一個袋子中有2個黑球和3個白球,如果不放回地抽取2個球,記事件A為“第一次抽到黑球”,事件B為“第二次抽到黑球”.
(1)分別求事件A,事件B,事件AB發生的概率;
(2)求P(B|A).
【解析】　(1)由古典概型的概率公式可知,P(A)=,P(B)===,P(AB)==.
(2)P(B|A)===.
探究3　條件概率的應用
例3　某校從學生文藝部7名成員(4男3女)中,挑選2人參加學校舉辦的文藝匯演活動.
(1)求男生甲被選中的概率;
(2)在已知男生甲被選中的條件下,求女生乙被選中的概率;
(3)在要求被選中的2人中必須一男一女的條件下,求女生乙被選中的概率.
【解析】　(1)從7名成員中挑選2名成員,共有=21種情況.
記“男生甲被選中”為事件A,事件A所包含的基本事件數為,
故P(A)==.
(2)記“男生甲被選中”為事件A,“女生乙被選中”為事件B,
則P(AB)=,且P(A)=,
故P(A)===.
(3)記“挑選的2人中必須一男一女”為事件C,事件C所包含的基本事件數為×=12,
則P(C)==.
記“女生乙被選中”為事件B,則P(BC)==,
故P(B)===.
【方法總結】　　用定義法求條件概率P(B|A)的步驟:
(1)分析題意,弄清概率模型;
(2)計算P(A),P(AB)的值;
(3)代入公式求P(B|A)的值.
　　2023年6月22日,是我國的傳統節日“端午節”.這天,小明的媽媽煮了5個粽子,其中兩個臘肉餡,三個豆沙餡.小明隨機抽取出兩個粽子,若已知小明取到的兩個粽子為同一種餡,則這兩個粽子都為臘肉餡的概率為(　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　設事件A為“取出的兩個粽子為同一種餡”,事件B為“取出的兩個粽子都為臘肉餡”,
則P(A)==,P(AB)==,
故P(B|A)==.
即在已知小明取到的兩個粽子為同一種餡的條件下,這兩個粽子都為臘肉餡的概率為.
【隨堂檢測】
1.若某種元件的使用壽命超過1年的概率為0.6,使用壽命超過2年的概率為0.3,則已經使用了1年的該種元件使用壽命超過2年的概率為(　　).
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.1
【答案】　B
【解析】　設事件A為“該元件的使用壽命超過1年”,事件B為“該元件的使用壽命超過2年”,則P(A)=0.6,P(B)=0.3.因為B A,所以P(AB)=P(B)=0.3,所以P(B|A)===0.5.
2.若拋擲一枚質地均勻的骰子兩次,記A={兩次的點數均為奇數},B={兩次的點數之和為8},則P(B|A)=(　　).
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】　P(B|A)=,其中AB表示兩次點數均為奇數,且兩次點數之和為8,共有兩種情況,即(3,5),(5,3),故n(AB)=2,而n(A)==9,所以P(B|A)==.
3.根據教育部的規定,2021年9月1日以來,全國各地的中小學都開展了課后延時服務.各個學校都及時安排老師參加課后延時服務工作,學校要求張老師在每個星期的周一至周五要有三天參加課后延時服務.若張老師周二一定參加課后延時服務,則他周三也參加課后延時服務的概率為(　　).
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　設事件A為“張老師周二參加課后延時服務”,事件B為“張老師周三參加課后延時服務”.
(法一)如果張老師周二一定參加課后延時服務,那么他需要再從另外的4天中任選2天參加課后延時服務,則方案有n(A)==6(種).
如果周二一定參加,周三也參加課后延時服務,那么需要再從另外的3天中任選1天,則安排的方案有n(AB)==3(種),
所以所求概率P(B|A)===.
(法二)因為P(A)==,P(AB)==,
所以P(B|A)==.故選D.
4.已知一個盒子內裝有形狀、大小完全相同的5個小球,其中3個紅球,2個白球.如果不放回地依次抽取3個球,那么在第一次抽到紅球的條件下,第二次抽到紅球的概率為　　　　.
【答案】　
【解析】　記事件A為“第一次抽到紅球”,事件B為“第二次抽到紅球”,則P(A)=,P(AB)==,因此所求概率P(B|A)==×=.
2

展開更多......

收起↑