資源簡介

3.1 課時2 事件的獨立性與乘法公式
【學習目標】
1.理解事件的獨立性的定義.(數學抽象)
2.掌握獨立事件的概率乘法公式,并能運用它解決實際問題.(數學運算、數據分析)
3.掌握乘法公式及其推廣,能用乘法公式計算相應的概率.(數學運算、數據分析)
【自主預習】
1.前面我們學過相互獨立事件,它的定義是什么,事件A,B相互獨立的條件是什么
2.必然事件、不可能事件與任意事件是否相互獨立
3.根據條件概率公式,什么情況下P(B|A)=P(B)
4.如果三個事件A,B,C不相互獨立,那么如何求P(ABC)呢
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)相互獨立事件就是互斥事件. (　　)
(2)對于任意兩個事件A,B,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立. (　　)
(3)公式P(AB)=P(A)P(B),可以推廣為P(ABC)=P(A)P(B)P(C). (　　)
(4)若P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An),則A1,A2,…,An相互獨立. (　　)
2.打靶時,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若兩人同時射擊,則他們同時中靶的概率是 (　　).
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.分別擲兩枚質地均勻的硬幣,若“第一枚為正面”記為事件A,“第二枚為正面”記為事件B,“兩枚結果相同”記為事件C,則事件A與B,A與C間的關系是(　　).
A.A與B,A與C均相互獨立
B.A與B相互獨立,A與C互斥
C.A與B,A與C均互斥
D.A與B互斥,A與C相互獨立
4.甲、乙兩人獨立破譯一份密碼,已知各自能破譯的概率分別是,,求:
(1)兩人都成功破譯的概率;
(2)密碼被成功破譯的概率.
【合作探究】
探究1　相互獨立事件的定義
問題1:兩個事件相互獨立與互斥有什么區別
問題2:公式P(AB)=P(A)P(B)使用的前提條件是什么
問題3:獨立性的概念可以推廣到任意有限個事件的情形嗎
新知生成
事件的相互獨立
如果n(n>2)個事件A1,A2,…,An中任何一個事件發生的概率都不受其余事件發生與否的影響,那么稱事件 A1,A2,…,An相互獨立.
新知運用
例1　(多選題)有5個相同的球,分別標有數字1,2,3,4,5,從中有放回地隨機取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是6”,丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”,則 (　　 ).
A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立
C.乙與丙相互獨立 D.乙與丁相互獨立
　　從一副撲克牌(52張,不含大王、小王)中任抽一張,設A=“抽得老K”,B=“抽得紅牌”,那么事件A與B是否相互獨立 是否互斥 是否對立 為什么
探究2　相互獨立事件的概率公式
問題:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)使用的前提條件是什么
新知生成
相互獨立事件的概率公式
一般地,當n(n>2)個事件A1,A2,…,An相互獨立時,有以下公式成立:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).
注意:上式并不表示A1,A2,…,An相互獨立.
新知運用
例2　已知快樂中學高一某班小麗、小許、小靜三人分別獨自進行投籃訓練,命中的概率分別是,,.設每個人各次投籃都相互獨立.
(1)若小許投籃三次,求恰有兩次命中的概率;
(2)若小麗、小許、小靜三人各投籃一次,求至少一人命中的概率.
【方法總結】　求相互獨立事件同時發生的概率的步驟:(1)首先確定各事件之間是相互獨立的;(2)確定這些事件可以同時發生;(3)求出每個事件的概率,再求積.注意:使用相互獨立事件同時發生的概率計算公式時,要掌握公式的適用條件,即各個事件是相互獨立的,而且它們能同時發生.
　　面對某種病毒,各國醫療科研機構都在研究疫苗,現有A,B,C三個獨立的研究機構,他們在一定的時期內能研制出疫苗的概率分別是,,.求:
(1)他們都研制出疫苗的概率;
(2)他們都失敗的概率;
(3)他們能夠研制出疫苗的概率.
探究3　乘法公式
　　在一個質地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數字1,2,3,4.連續拋擲這個正四面體木塊兩次,并記錄每次正四面體木塊朝上的面上的數字,記事件A為“兩次記錄的數字之和為偶數”,事件B為“第一次記錄的數字為偶數”,事件C為“第二次記錄的數字為偶數”.
問題1:事件A與事件B是相互獨立事件嗎
問題2:事件A,B,C是否兩兩獨立
問題3:事件A,B,C是否相互獨立
問題4:若P(AB)>0,如何證明P(ABC)=P(A)P(B|A)·P(C|AB)
新知生成
概率乘法公式
1.若P(AB)>0,則P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
2.若Ai(i=1,2,3,…,n)為隨機事件,且P(A1A2…An-1)>0,
則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An-1).
新知運用
例3　4張獎券中有一張有獎,甲、乙、丙、丁4個人抽獎,則最后一人抽到有獎獎券的概率是多少
【方法總結】　　乘法公式給出了一種計算“積事件”的概率的求法,即當不好直接計算P(AB)時,可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B),再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解.
設某光學儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為,若第一次落下未被打破,第二次落下被打破的概率為,若前兩次落下未被打破,第三次落下被打破的概率為.試求透鏡落下三次而未被打破的概率.
【隨堂檢測】
1.袋內有3個白球和2個黑球,從中不放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,用事件B表示“第二次摸得白球”,則A與B是(　　).
A.互斥事件 B.相互獨立事件
C.對立事件 D.不相互獨立事件
2.已知P(B|A)=,P(AB)=,則P(A)=(　　).
A. B. C. D.
3.有甲、乙兩批種子,發芽率分別為0.8和0.9,在兩批種子中各取一粒,則恰有一粒種子能發芽的概率是　　　　.
4.(2023·長沙周練)10個考題中有4個難題,甲、乙、丙3人進行不放回抽題作答,甲先抽,乙第二個抽,丙最后抽.求:
(1)甲抽到難題的概率;
(2)甲、乙都抽到難題的概率;
(3)甲沒有抽到難題,而乙抽到難題的概率;
(4)甲、乙、丙都抽到難題的概率.
23.1 課時2 事件的獨立性與乘法公式
【學習目標】
1.理解事件的獨立性的定義.(數學抽象)
2.掌握獨立事件的概率乘法公式,并能運用它解決實際問題.(數學運算、數據分析)
3.掌握乘法公式及其推廣,能用乘法公式計算相應的概率.(數學運算、數據分析)
【自主預習】
1.前面我們學過相互獨立事件,它的定義是什么,事件A,B相互獨立的條件是什么
【答案】　對于兩個事件A,B,如果其中一個事件是否發生對另一個事件發生的概率沒有影響,就把它們叫作相互獨立事件.
事件A與事件B相互獨立的條件是P(AB)=P(A)·P(B)成立.
2.必然事件、不可能事件與任意事件是否相互獨立
【答案】　由相互獨立事件的定義可知,必然事件、不可能事件與任意事件相互獨立.
3.根據條件概率公式,什么情況下P(B|A)=P(B)
【答案】　若事件A與事件B相互獨立,則事件 A的發生不會影響事件B發生的概率,即有P(B|A)=P(B).
4.如果三個事件A,B,C不相互獨立,那么如何求P(ABC)呢
【答案】　可利用如下公式求解,
若P(AB)>0,則P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)相互獨立事件就是互斥事件. (　　)
(2)對于任意兩個事件A,B,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立. (　　)
(3)公式P(AB)=P(A)P(B),可以推廣為P(ABC)=P(A)P(B)P(C). (　　)
(4)若P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An),則A1,A2,…,An相互獨立. (　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.打靶時,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若兩人同時射擊,則他們同時中靶的概率是 (　　).
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
【答案】　A
【解析】　由題意知P甲==,P乙=,所以P=P甲·P乙=.
3.分別擲兩枚質地均勻的硬幣,若“第一枚為正面”記為事件A,“第二枚為正面”記為事件B,“兩枚結果相同”記為事件C,則事件A與B,A與C間的關系是(　　).
A.A與B,A與C均相互獨立
B.A與B相互獨立,A與C互斥
C.A與B,A與C均互斥
D.A與B互斥,A與C相互獨立
【答案】　A
【解析】　因為事件A是否發生對事件B,C發生不產生影響,所以A與B,A與C均相互獨立.
4.甲、乙兩人獨立破譯一份密碼,已知各自能破譯的概率分別是,,求:
(1)兩人都成功破譯的概率;
(2)密碼被成功破譯的概率.
【解析】　(1)記“甲譯出密碼”為事件A,“乙譯出密碼”為事件B,
則P(A)=,P(B)=,
所以P(AB)=P(A)P(B)=×=,
故兩人都成功破譯的概率為.
(2)記“密碼被成功破譯”為事件C,由(1)知P(A)=,P(B)=,則事件A的對立事件的概率P()=1-=,事件B的對立事件的概率P()=1-=,
則甲、乙兩人都沒有成功破譯密碼的概率P()=P()·P()=×=,
所以P(C)=1-P()=1-=,故密碼被成功破譯的概率為.
【合作探究】
探究1　相互獨立事件的定義
問題1:兩個事件相互獨立與互斥有什么區別
【答案】　兩個事件相互獨立是指一個事件的發生與否對另一個事件發生的概率沒有影響.兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發生,而相互獨立的兩個事件是可以同時發生的,相互獨立事件和互斥事件之間沒有聯系.
問題2:公式P(AB)=P(A)P(B)使用的前提條件是什么
【答案】　事件A與事件B相互獨立.
問題3:獨立性的概念可以推廣到任意有限個事件的情形嗎
【答案】　可以.
新知生成
事件的相互獨立
如果n(n>2)個事件A1,A2,…,An中任何一個事件發生的概率都不受其余事件發生與否的影響,那么稱事件 A1,A2,…,An相互獨立.
新知運用
例1　(多選題)有5個相同的球,分別標有數字1,2,3,4,5,從中有放回地隨機取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是6”,丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”,則 (　　 ).
A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立
C.乙與丙相互獨立 D.乙與丁相互獨立
【答案】　AC
【解析】　設甲、乙、丙、丁四個事件的發生概率分別為P(A),P(B),P(C),P(D),
因此有P(A)=P(B)=,P(C)==,P(D)==.
因為P(AC)===P(A)P(C),所以甲與丙相互獨立,故A正確;
因為P(AD)=0≠P(A)P(D),所以甲與丁不相互獨立,故B不正確;
因為P(BC)===P(B)P(C),所以乙與丙相互獨立,故C正確;
因為P(BD)==≠P(B)P(D),所以乙與丁不相互獨立,故D不正確.
故選AC.
　　從一副撲克牌(52張,不含大王、小王)中任抽一張,設A=“抽得老K”,B=“抽得紅牌”,那么事件A與B是否相互獨立 是否互斥 是否對立 為什么
【解析】　由于事件A為“抽得老K”,事件B為“抽得紅牌”,故抽得紅牌,即有可能抽到紅桃老K或方塊老K,即有可能抽到老K,故事件A,B有可能同時發生,顯然它們不是互斥事件,更不是對立事件,以下考慮它們是否互為獨立事件:抽到老K的概率為P(A)==,抽到紅牌的概率P(B)==,故P(A)P(B)=×=,事件A∩B即為“既抽得老K又抽得紅牌”,亦即“抽得紅老桃K或方塊老K”,故P(A∩B)==,從而有P(A)P(B)=P(A∩B),因此A與B互為獨立事件.
探究2　相互獨立事件的概率公式
問題:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)使用的前提條件是什么
【答案】　公式使用的前提條件是A1,A2,…,An相互獨立.
新知生成
相互獨立事件的概率公式
一般地,當n(n>2)個事件A1,A2,…,An相互獨立時,有以下公式成立:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)·…·P(An).
注意:上式并不表示A1,A2,…,An相互獨立.
新知運用
例2　已知快樂中學高一某班小麗、小許、小靜三人分別獨自進行投籃訓練,命中的概率分別是,,.設每個人各次投籃都相互獨立.
(1)若小許投籃三次,求恰有兩次命中的概率;
(2)若小麗、小許、小靜三人各投籃一次,求至少一人命中的概率.
【解析】　(1)設“小許第一次命中”為事件B1,“小許第二次命中”為事件B2,“小許第三次命中”為事件B3,“小許投籃三次,恰有兩次命中”為事件E,
則P(E)=P(B2B3)+P(B1B3)+P(B1B2)
=××+××+××=.
(2)記“三人投籃,至少一人命中”為事件A,
可知“三人投籃,均未命中”為事件,
所以P(A)=1-P(),
因為P()=1-×1-×1-=,
所以P(A)=1-=,
所以三人各投籃一次,至少一人命中的概率為.
【方法總結】　求相互獨立事件同時發生的概率的步驟:(1)首先確定各事件之間是相互獨立的;(2)確定這些事件可以同時發生;(3)求出每個事件的概率,再求積.注意:使用相互獨立事件同時發生的概率計算公式時,要掌握公式的適用條件,即各個事件是相互獨立的,而且它們能同時發生.
　　面對某種病毒,各國醫療科研機構都在研究疫苗,現有A,B,C三個獨立的研究機構,他們在一定的時期內能研制出疫苗的概率分別是,,.求:
(1)他們都研制出疫苗的概率;
(2)他們都失敗的概率;
(3)他們能夠研制出疫苗的概率.
【解析】　記事件A,B,C分別表示A,B,C三個獨立的研究機構在一定時期內成功研制出該疫苗,依題意可知,事件A,B,C相互獨立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)他們都研制出疫苗,即事件A,B,C同時發生.
故P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=.
(2)他們都失敗,即事件,,同時發生.
故P()=P()P()P()
=[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]
=1-×1-×1-
=××=.
(3)“他們能研制出疫苗”的對立事件為“他們都失敗”,結合對立事件間的概率關系可得所求事件的概率P=1-P()=1-=.
探究3　乘法公式
　　在一個質地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標有數字1,2,3,4.連續拋擲這個正四面體木塊兩次,并記錄每次正四面體木塊朝上的面上的數字,記事件A為“兩次記錄的數字之和為偶數”,事件B為“第一次記錄的數字為偶數”,事件C為“第二次記錄的數字為偶數”.
問題1:事件A與事件B是相互獨立事件嗎
【答案】　是.因為P(A)==,P(B)==,P(AB)===P(A)·P(B),所以事件A與事件B是相互獨立事件.
問題2:事件A,B,C是否兩兩獨立
【答案】　是.類比問題1,可推出P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),
所以事件A,B,C兩兩獨立.
問題3:事件A,B,C是否相互獨立
【答案】　不是,因為P(C)==,P(A)==,P(B)==,所以P(A)P(B)P(C)=,而P(ABC)==,所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),
所以事件A,B,C不相互獨立.
問題4:若P(AB)>0,如何證明P(ABC)=P(A)P(B|A)·P(C|AB)
【答案】　因為P(A)P(B|A)P(C|AB)=P(A)··=P(ABC),
所以P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
新知生成
概率乘法公式
1.若P(AB)>0,則P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
2.若Ai(i=1,2,3,…,n)為隨機事件,且P(A1A2…An-1)>0,
則P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An-1).
新知運用
例3　4張獎券中有一張有獎,甲、乙、丙、丁4個人抽獎,則最后一人抽到有獎獎券的概率是多少
【解析】　用Ai(i=1,2,…,4)表示第i個人抽到有獎獎券,則表示第i個人沒抽到有獎獎券.
由題意得P(A1)=,P()=,
由乘法公式得P(A2)=P()P(A2|)=×=.
同理P(A3)=P(A3)=P()P(|)P(A3|)=××=,
所以P(A4)=P(A4)=P()P(|)·P(|)P(A4|)=×××1=.
【方法總結】　　乘法公式給出了一種計算“積事件”的概率的求法,即當不好直接計算P(AB)時,可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B),再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解.
設某光學儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為,若第一次落下未被打破,第二次落下被打破的概率為,若前兩次落下未被打破,第三次落下被打破的概率為.試求透鏡落下三次而未被打破的概率.
【解析】　以Ai(i=1,2,3)表示事件“透鏡第i次落下被打破”,B表示事件“透鏡落下三次而未被打破”,
則B=,故有P(B)=P()=P()P(|)P(|)=1-1-1-=.
【隨堂檢測】
1.袋內有3個白球和2個黑球,從中不放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,用事件B表示“第二次摸得白球”,則A與B是(　　).
A.互斥事件 B.相互獨立事件
C.對立事件 D.不相互獨立事件
【答案】　D
【解析】　由題意可得P(A)=,若事件A發生,則P(B|A)=,若事件A不發生,則P(B|)=,事件A的結果對事件B有影響.根據互斥事件、對立事件的定義可知,A與B不是互斥事件,也不是對立事件.又P(B)=,P(AB)=,所以由相互獨立事件的定義可知,A與B不是相互獨立事件.
2.已知P(B|A)=,P(AB)=,則P(A)=(　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由題意可知P(A)==.
3.有甲、乙兩批種子,發芽率分別為0.8和0.9,在兩批種子中各取一粒,則恰有一粒種子能發芽的概率是　　　　.
【答案】　0.26
【解析】　所求概率P=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.
4.(2023·長沙周練)10個考題中有4個難題,甲、乙、丙3人進行不放回抽題作答,甲先抽,乙第二個抽,丙最后抽.求:
(1)甲抽到難題的概率;
(2)甲、乙都抽到難題的概率;
(3)甲沒有抽到難題,而乙抽到難題的概率;
(4)甲、乙、丙都抽到難題的概率.
【解析】　用事件A,B,C分別表示“甲、乙、丙抽到難題”.
(1)由題意可得,P(A)==,P()=,
即甲抽到難題的概率是.
(2)甲、乙都抽到難題的概率為P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.
(3)甲沒有抽到難題,而乙抽到難題的概率為P(B)=P()P(B|)=×=.
(4)甲、乙、丙都抽到難題的概率為P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=××=.
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