資源簡介

3.1 課時(shí)3 全概率公式
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解全概率公式成立的條件.(數(shù)學(xué)抽象)
2.掌握全概率公式,用全概率公式求相應(yīng)事件的概率.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析)
【自主預(yù)習(xí)】
1.觀察下面的韋恩圖.
(1)A∩B和A∪B分別等于什么 集合M可以表示為什么
【答案】　A∩B= ,A∪B=Ω;M可以表示為M∩A與M∩B的和.
　(2)積事件MA, MB是否互斥 此時(shí)P(M)如何用P(MA),P(MB)表示
【答案】　互斥,P(M)=P(MA)+P(MB).
　(3)根據(jù)乘法公式,P(M)還可以表示為什么
【答案】　P(M)=P(A)P(M|A)+P(B)P(M|B).
2.設(shè)Ω是試驗(yàn)E的樣本空間,A1,A2,…,An為樣本空間的一組事件,則A1,A2,…,An樣本空間的一個(gè)劃分所滿足的條件是什么
【答案】　 (1)AiAj= ,其中i≠j(i,j=1,2,…,n);(2)A1∪A2∪…∪An=Ω.
3.全概率公式P(B)=P(Ai)P(B|Ai)成立的條件是什么
【答案】　 全概率公式成立的條件是A1,A2,…,An為Ω的一個(gè)劃分,且P(Ai)>0(i=1,2,…,n).
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)在全概率公式中,A1,A2,…,An不一定是一組兩兩互斥的事件. (　　)
(2)使用全概率公式的關(guān)鍵在于尋找另一組事件來“分割”樣本空間. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√
2.已知某地區(qū)7%的男性和0.49%的女性患色盲.假如該地區(qū)男性、女性各占一半,從中隨機(jī)選一人,則此人恰是色盲的概率是 (　　).
A.0.01245 B.0.05786 C.0.02865 D.0.03745
【答案】　D
【解析】　用事件A,B分別表示“隨機(jī)選1人為男性或女性”,用事件C表示“此人恰是色盲”,則Ω=A∪B,且A,B互斥,故P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=×7%+×0.49%=0.03745.
3.若一個(gè)盒子中有6個(gè)白球,4個(gè)黑球,從中不放回地每次任取1個(gè),連取2次,則第二次取到白球的概率為　　　　.
【答案】　 0.6
【解析】　設(shè)事件A為“第一次取到白球”,事件B為“第二次取到白球”,則B=AB∪B,且AB與B互斥,
所以P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()·P(B|)=×+×=0.6.
【合作探究】
探究1　全概率公式
問題1:如何理解全概率公式
【答案】　“全”部概率被分解成了許多部分之和.某事件B的發(fā)生有各種可能的原因,若B發(fā)生是由原因Ai(i=1,2,3,…,n)所引起的,則B發(fā)生的概率P(B)=P(BA1∪BA2∪…∪BAn)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).
每個(gè)原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生,故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生的概率的總和.
問題2:全概率公式體現(xiàn)了哪種數(shù)學(xué)思想
【答案】　全概率公式體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,即采用化整為零的方式,把各塊的概率分別求出,再相加求和即可.
問題3:獨(dú)立性的概念可以推廣到任意有限個(gè)事件的情形嗎
【答案】　可以.
新知生成
1.若將樣本空間Ω分為A,兩部分,則事件B的概率P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|).
2.全概率公式
若將樣本空間Ω分為n部分,則可以推廣得到以下結(jié)論:
設(shè)Ai(i=1,2,…,n )為 n個(gè)事件,
若滿足(1)Ai Aj= (i≠j),(2)A1∪A2∪…∪An=Ω,(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n,
則對任一事件B,有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)=P(Ai)P(B|Ai).
新知運(yùn)用
一、兩個(gè)事件的全概率問題
例1　在某次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中,甲、乙兩個(gè)班的同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查.參加活動(dòng)的甲、乙兩班的人數(shù)之比為5∶3,其中甲班中女生人數(shù)占,乙班中女生人數(shù)占.求該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率.
【解析】　如果用A1,A2分別表示居民遇到的一位同學(xué)是甲班的與乙班的,B表示遇到的是女生,那么Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,B Ω.
由題意可知,P(A1)=,P(A2)=,
且P(B|A1)=,P(B|A2)=.
由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=×+×=.
【方法總結(jié)】　　兩個(gè)事件的全概率問題求解策略
(1)拆分:將樣本空間拆分成互斥的兩部分,如A1,A2(或A與).
(2)計(jì)算:利用乘法公式計(jì)算每一部分的概率.
(3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
　　某學(xué)校有A,B兩家餐廳,王同學(xué)第1天午餐時(shí)等可能地隨機(jī)選擇一家餐廳用餐,如果第1天去A餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.6;如果第1天去B餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計(jì)算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率.
【解析】　設(shè)A1=“第1天去A餐廳用餐”,B1=“第1天去B餐廳用餐”,A2=“第2天去A餐廳用餐”,則Ω=A1∪B1,且A1與B1互斥.
根據(jù)題意得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.6,P(A2|B1)=0.8.
由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)·P(A2|B1)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7,
因此,王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為0.7.
二、多個(gè)事件的全概率問題
例2　某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品,已知這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%,20%,30%和35%,且這四條流水線的產(chǎn)品的不合格率分別為0.05,0.04,0.03和0.02,現(xiàn)從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件,則抽到不合格品的概率是多少
【解析】　設(shè)A=“任取一件這種產(chǎn)品,抽到不合格品”,
Bi=“任取一件這種產(chǎn)品,結(jié)果是第i(i=1,2,3,4)條流水線的產(chǎn)品”,則Ω=B1∪B2∪B3∪B4,且B1,B2,B3,B4兩兩互斥.
根據(jù)題意得
P(B1)=0.15,P(B2)=0.2,P(B3)=0.3,P(B4)=0.35,P(A|B1)=0.05,P(A|B2)=0.04,P(A|B3)=0.03,P(A|B4)=0.02,
由全概率公式,得
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)+P(B4)P(A|B4)=0.15×0.05+0.2×0.04+0.3×0.03+0.35×0.02=0.0315,
故從該廠產(chǎn)品中任取一件,抽到不合格品的概率是0.0315.
【方法總結(jié)】　　“化整為零”求多事件的全概率問題要點(diǎn)
如圖所示,B發(fā)生的概率與P(BAi)(i=1,2,…,n)有關(guān),且B發(fā)生的概率等于所有這些概率的和,即P(B)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).在實(shí)際問題中,若某一事件的概率難以求得,可將其轉(zhuǎn)化為一系列條件下發(fā)生的概率的和.
　　有一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三廠同時(shí)生產(chǎn)的,其中甲廠產(chǎn)品占50%,乙廠產(chǎn)品占30%,丙廠產(chǎn)品占20%,甲廠產(chǎn)品中正品率為95%,乙廠產(chǎn)品中正品率為90%,丙廠產(chǎn)品中正品率為85%.如果從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件,試計(jì)算該產(chǎn)品是正品的概率.
【解析】　設(shè)事件A,B,C分別表示“抽得的產(chǎn)品是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的”,事件D 表示“抽得的產(chǎn)品為正品”,
則由已知得,P(A)=50%,P(B)=30%,P(C)=20%,P(D|A)=95%,P(D|B)=90%,P(D|C)=85%,
從而任取一件產(chǎn)品為正品的概率可由全概率公式得到,P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=×+×+×=0.915.
探究2　全概率公式的綜合應(yīng)用
例3　“青團(tuán)”是江南人家在清明節(jié)吃的一道傳統(tǒng)點(diǎn)心.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)箱子裝有大小、外觀均相同的“青團(tuán)”,已知甲箱中有4個(gè)蛋黃餡的“青團(tuán)”和3個(gè)肉松餡的“青團(tuán)”,乙箱中有3個(gè)蛋黃餡的“青團(tuán)”和2個(gè)肉松餡的“青團(tuán)”.
(1)若從甲箱中任取2個(gè)“青團(tuán)”,求這2個(gè)“青團(tuán)”餡不同的概率;
(2)若先從甲箱中任取2個(gè)“青團(tuán)”放入乙箱中,再從乙箱中任取1個(gè)“青團(tuán)”,求取出的這個(gè)“青團(tuán)”是肉松餡的概率.
【解析】　(1)從甲箱中任取2個(gè)“青團(tuán)”的事件數(shù)為=21,
這2個(gè)“青團(tuán)”餡不同的事件數(shù)為=12,
所以這2個(gè)“青團(tuán)”餡不同的概率P==.
(2)設(shè)事件A為“從乙箱中任取1個(gè)‘青團(tuán)’,取出的這個(gè)‘青團(tuán)’是肉松餡”,
事件B1為“從甲箱中取出的2個(gè)‘青團(tuán)’都是蛋黃餡”,
事件B2為“從甲箱中取出的2個(gè)‘青團(tuán)’都是肉松餡”,
事件B3為“從甲箱中取出的2個(gè)‘青團(tuán)’為1個(gè)蛋黃餡1個(gè)肉松餡”,
則B1,B2,B3彼此互斥.
P(B1)===,P(B2)===,P(B3)===,
P(A)=,P(A)=,P(A)=,
所以P(A)=P(B1)P(A)+P(B2)P(A)+P(B3)P(A)=×+×+×=,
所以從乙箱中任取1個(gè)“青團(tuán)”,取出的這個(gè)“青團(tuán)”是肉松餡的概率為.
【方法總結(jié)】　　全概率公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.在具體問題中應(yīng)用全概率公式,要明確為什么能用,什么情況下可以用,這里是用B1,B2,B3來分割樣本空間.
設(shè)袋中有12個(gè)球,其中9個(gè)新球,3個(gè)舊球,第一次比賽,從中取3個(gè)球,比賽后放回,第二次比賽再從中任取3個(gè)球,則第二次比賽取得3個(gè)新球的概率為 (　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　設(shè)Ai=“第一次比賽恰取出i個(gè)新球(i=0,1,2,3)”,B=“第二次比賽取得3個(gè)新球”,
∴P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=+++=.
【隨堂檢測】
1.袋中有50個(gè)乒乓球,其中20個(gè)是黃球,30個(gè)是白球.今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球,取后不放回,則第二人取得黃球的概率為 (　　).
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　設(shè)事件A表示“第一個(gè)人取得黃球”,事件B表示“第二個(gè)人取得黃球”,則P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=.
2.(2023·安慶周練)盒中有2個(gè)紅球,3個(gè)黑球,2個(gè)白球,從中隨機(jī)地取出1個(gè)球,觀察其顏色后放回,并加入同色球1個(gè),再從盒中抽取一球,則第二次取出的是紅球的概率是 (　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　設(shè)事件A1,A2,A3分別表示“從盒中任取1球,是紅球、黑球、白球”,事件B表示“第二次取出的是紅球”,則A1,A2,A3彼此互斥,
則P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=×+×+×=.
3.A,B,C三個(gè)地區(qū)暴發(fā)了流感,這三個(gè)地區(qū)分別有6%,5%,4%的人患了流感.假設(shè)這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)之比為5∶7∶8,現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一人,則這個(gè)人患流感的概率為 (　　).
A.0.515 B.0.05 C.0.0495 D.0.0485
【答案】　D
【解析】　從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一人,則這個(gè)人患流感的概率P=6%×+5%×+4%×=0.0485.
4.假設(shè)某品牌的玻璃杯整箱出售,每箱20只,各箱含0,1,2只次品的概率分別為0.8,0.1,0.1,一顧客欲購買一箱玻璃杯,由營業(yè)員任取一箱,經(jīng)顧客開箱隨機(jī)查看4只,若無次品,則購買此箱玻璃杯,否則退回.試求顧客買下此箱玻璃杯的概率.
【解析】　記A=“顧客買下所查看的一箱玻璃杯”,Bi=“箱中有i(i=0,1,2)件次品”,
由題設(shè)知,P(B0)=0.8=,P(B1)=P(B2)=0.1=,
P(A|B0)=1,P(A|B1)==,P(A|B2)==,
由全概率公式知,P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=+×+=.
23.1 課時(shí)3 全概率公式
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解全概率公式成立的條件.(數(shù)學(xué)抽象)
2.掌握全概率公式,用全概率公式求相應(yīng)事件的概率.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析)
【自主預(yù)習(xí)】
1.觀察下面的韋恩圖.
(1)A∩B和A∪B分別等于什么 集合M可以表示為什么
　(2)積事件MA, MB是否互斥 此時(shí)P(M)如何用P(MA),P(MB)表示
　(3)根據(jù)乘法公式,P(M)還可以表示為什么
2.設(shè)Ω是試驗(yàn)E的樣本空間,A1,A2,…,An為樣本空間的一組事件,則A1,A2,…,An樣本空間的一個(gè)劃分所滿足的條件是什么
3.全概率公式P(B)=P(Ai)P(B|Ai)成立的條件是什么
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)在全概率公式中,A1,A2,…,An不一定是一組兩兩互斥的事件. (　　)
(2)使用全概率公式的關(guān)鍵在于尋找另一組事件來“分割”樣本空間. (　　)
2.已知某地區(qū)7%的男性和0.49%的女性患色盲.假如該地區(qū)男性、女性各占一半,從中隨機(jī)選一人,則此人恰是色盲的概率是 (　　).
A.0.01245 B.0.05786 C.0.02865 D.0.03745
3.若一個(gè)盒子中有6個(gè)白球,4個(gè)黑球,從中不放回地每次任取1個(gè),連取2次,則第二次取到白球的概率為　　　　.
【合作探究】
探究1　全概率公式
問題1:如何理解全概率公式
問題2:全概率公式體現(xiàn)了哪種數(shù)學(xué)思想
問題3:獨(dú)立性的概念可以推廣到任意有限個(gè)事件的情形嗎
新知生成
1.若將樣本空間Ω分為A,兩部分,則事件B的概率P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|).
2.全概率公式
若將樣本空間Ω分為n部分,則可以推廣得到以下結(jié)論:
設(shè)Ai(i=1,2,…,n )為 n個(gè)事件,
若滿足(1)Ai Aj= (i≠j),(2)A1∪A2∪…∪An=Ω,(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n,
則對任一事件B,有P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An)=P(Ai)P(B|Ai).
新知運(yùn)用
一、兩個(gè)事件的全概率問題
例1　在某次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中,甲、乙兩個(gè)班的同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查.參加活動(dòng)的甲、乙兩班的人數(shù)之比為5∶3,其中甲班中女生人數(shù)占,乙班中女生人數(shù)占.求該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率.
【方法總結(jié)】　　兩個(gè)事件的全概率問題求解策略
(1)拆分:將樣本空間拆分成互斥的兩部分,如A1,A2(或A與).
(2)計(jì)算:利用乘法公式計(jì)算每一部分的概率.
(3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
　　某學(xué)校有A,B兩家餐廳,王同學(xué)第1天午餐時(shí)等可能地隨機(jī)選擇一家餐廳用餐,如果第1天去A餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.6;如果第1天去B餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計(jì)算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率.
二、多個(gè)事件的全概率問題
例2　某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一產(chǎn)品,已知這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%,20%,30%和35%,且這四條流水線的產(chǎn)品的不合格率分別為0.05,0.04,0.03和0.02,現(xiàn)從該廠的這種產(chǎn)品中任取一件,則抽到不合格品的概率是多少
【方法總結(jié)】　　“化整為零”求多事件的全概率問題要點(diǎn)
如圖所示,B發(fā)生的概率與P(BAi)(i=1,2,…,n)有關(guān),且B發(fā)生的概率等于所有這些概率的和,即P(B)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).在實(shí)際問題中,若某一事件的概率難以求得,可將其轉(zhuǎn)化為一系列條件下發(fā)生的概率的和.
　　有一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三廠同時(shí)生產(chǎn)的,其中甲廠產(chǎn)品占50%,乙廠產(chǎn)品占30%,丙廠產(chǎn)品占20%,甲廠產(chǎn)品中正品率為95%,乙廠產(chǎn)品中正品率為90%,丙廠產(chǎn)品中正品率為85%.如果從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件,試計(jì)算該產(chǎn)品是正品的概率.
探究2　全概率公式的綜合應(yīng)用
例3　“青團(tuán)”是江南人家在清明節(jié)吃的一道傳統(tǒng)點(diǎn)心.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)箱子裝有大小、外觀均相同的“青團(tuán)”,已知甲箱中有4個(gè)蛋黃餡的“青團(tuán)”和3個(gè)肉松餡的“青團(tuán)”,乙箱中有3個(gè)蛋黃餡的“青團(tuán)”和2個(gè)肉松餡的“青團(tuán)”.
(1)若從甲箱中任取2個(gè)“青團(tuán)”,求這2個(gè)“青團(tuán)”餡不同的概率;
(2)若先從甲箱中任取2個(gè)“青團(tuán)”放入乙箱中,再從乙箱中任取1個(gè)“青團(tuán)”,求取出的這個(gè)“青團(tuán)”是肉松餡的概率.
【方法總結(jié)】　　全概率公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.在具體問題中應(yīng)用全概率公式,要明確為什么能用,什么情況下可以用,這里是用B1,B2,B3來分割樣本空間.
設(shè)袋中有12個(gè)球,其中9個(gè)新球,3個(gè)舊球,第一次比賽,從中取3個(gè)球,比賽后放回,第二次比賽再從中任取3個(gè)球,則第二次比賽取得3個(gè)新球的概率為 (　　).
A. B. C. D.
【隨堂檢測】
1.袋中有50個(gè)乒乓球,其中20個(gè)是黃球,30個(gè)是白球.今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球,取后不放回,則第二人取得黃球的概率為 (　　).
A. B. C. D.
2.(2023·安慶周練)盒中有2個(gè)紅球,3個(gè)黑球,2個(gè)白球,從中隨機(jī)地取出1個(gè)球,觀察其顏色后放回,并加入同色球1個(gè),再從盒中抽取一球,則第二次取出的是紅球的概率是 (　　).
A. B. C. D.
3.A,B,C三個(gè)地區(qū)暴發(fā)了流感,這三個(gè)地區(qū)分別有6%,5%,4%的人患了流感.假設(shè)這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)之比為5∶7∶8,現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一人,則這個(gè)人患流感的概率為 (　　).
A.0.515 B.0.05 C.0.0495 D.0.0485
4.假設(shè)某品牌的玻璃杯整箱出售,每箱20只,各箱含0,1,2只次品的概率分別為0.8,0.1,0.1,一顧客欲購買一箱玻璃杯,由營業(yè)員任取一箱,經(jīng)顧客開箱隨機(jī)查看4只,若無次品,則購買此箱玻璃杯,否則退回.試求顧客買下此箱玻璃杯的概率.
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