資源簡介

3.1 課時4 貝葉斯公式
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解貝葉斯公式.(數(shù)學(xué)抽象)
2.會用貝葉斯公式求相應(yīng)事件的概率.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析)
【自主預(yù)習(xí)】
1.如何求在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率
2.公式P(B)=P(Ai)P(B|Ai)成立的條件是什么
3.全概率公式與貝葉斯公式的聯(lián)系與區(qū)別是什么
1.已知甲盒里有3個黃球,2 個藍(lán)球;乙盒里有4個黃球,1 個藍(lán)球.某人隨機(jī)選擇一個盒子并從中摸出了一個黃球,若此人選擇甲盒或乙盒的概率相等,則這個黃球來自乙盒的概率為(　　).
A. B. C. D.
2.某人從甲地到乙地,乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.2,0.4,0.4,乘火車遲到的概率為0.5,乘輪船遲到的概率為0.2,乘飛機(jī)不會遲到,則這個人遲到的概率是　　　　　　;如果這個人遲到了,他乘輪船遲到的概率是　　　　　　.
3.在臨床上,經(jīng)常用某種試驗來診斷試驗者是否患有某種癌癥,設(shè)事件A=“試驗結(jié)果為陽性”,事件B=“試驗者患有此癌癥”,臨床數(shù)據(jù)顯示P(A|B)=0.99,P(|)=0.98.已知某地人群中患有此種癌癥的占比為,現(xiàn)從該人群中隨機(jī)抽取1人,其試驗結(jié)果是陽性,則此人患有此種癌癥的概率為　　　　.
【合作探究】
探究1　貝葉斯公式
　　如圖,有三個外形相同的箱子,分別編號為1,2,3,其中1號箱裝有1個黑球和3個白球,2號箱裝有2個黑球和2個白球,3號箱裝有3個黑球,這些球除顏色外完全相同.小明先從三個箱子中任取一箱,再從取出的箱子中任意摸出一球,記事件Ai(i=1,2,3)表示“球取自第i號箱”,事件B表示“取得黑球”.
　　問題1:分別求P(BA1),P(BA2),P(BA3)和P(B)的值.
問題2:若小明取出的球是黑球,問該黑球來自幾號箱的概率最大 請說明理由.
問題3:問題2的解題思想是什么
問題4:如果把全概率公式看成是“由原因推結(jié)果”,那么貝葉斯公式所要研究的問題就是“已知結(jié)果求原因”,也就是說貝葉斯公式的思想是什么
新知生成
1.貝葉斯公式
公式P(B|A)=稱為貝葉斯公式(又稱逆概率公式).
2.貝葉斯公式的推廣
設(shè)Ai(i=1,2,…,n )滿足
(1)AiAj= (i≠j);
(2)A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω;
(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
則對任一事件B(其中P(B)> 0),由條件概率及全概率公式,有P(Ai|B)==(i=1,2,…,n).
新知運(yùn)用
例1　在數(shù)字通信中,信號是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾,發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時,接收為0和1的概率分別為0.8和0.2;發(fā)送信號1時,接收為1和0的概率分別為0.9和0.1.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的.若已知接收的信號為0,求發(fā)送的信號是1的概率.
【方法總結(jié)】　　利用貝葉斯公式求概率的步驟
第一步,利用全概率公式計算P(A),即P(A)=P(Bi)·P(A|Bi);
第二步,計算P(B),可利用P(AB)=P(B)P(A|B)求解;
第三步,代入P(B|A)=求解.
　　已知某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1,貨車和客車中途停車修理的概率分別為0.02,0.01,今有一輛汽車中途停車修理,則該汽車是貨車的概率為(　　).
A.0.2　　　B.0.8　　　C.0.3　　　D.0.7
探究2　全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
例2　同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠供應(yīng).由長期的經(jīng)驗知,三個廠的正品率分別為0.95,0.90,0.80,三個廠的產(chǎn)品數(shù)所占比例為2∶3∶5.現(xiàn)將所有產(chǎn)品混合在一起.
(1)從中任取一件,求此產(chǎn)品為正品的概率;
(2)現(xiàn)取到一件正品產(chǎn)品,則它由甲、乙、丙三個廠中哪個廠生產(chǎn)的可能性最大
【方法總結(jié)】　　P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事件B是否發(fā)生)的情況下,人們對諸事件發(fā)生的可能性大小的認(rèn)識.當(dāng)有了新的信息(知道事件B發(fā)生),人們對諸事件發(fā)生的可能性大小P(Ai|B)有了新的估計,貝葉斯公式從數(shù)量上描述了這種變化.
一位教授去參加學(xué)術(shù)會議,他乘坐飛機(jī)、動車和非機(jī)動車的概率分別為0.2,0.5,0.3,現(xiàn)在知道他乘坐飛機(jī)、動車和非機(jī)動車遲到的概率分別為,,.
(1)求這位教授遲到的概率;
(2)現(xiàn)在已經(jīng)知道他遲到了,求他乘坐的是飛機(jī)的概率.
【隨堂檢測】
1.一道考題有4個選項,正確【答案】只有一個,要求學(xué)生將正確【答案】選擇出來.某考生知道正確【答案】的概率為,在亂猜時,4個選項都有機(jī)會被他選擇,若他答對了,則他確實知道正確【答案】的概率是 (　　).
A. B. C. D.
2.某病毒存在人與人之間傳播的現(xiàn)象,即存在A傳B,B又傳C,C又傳D的傳染現(xiàn)象,那么A,B,C就依次被稱為第一代、第二代、第三代傳播者.假設(shè)一個身體健康的人被第一代、第二代、第三代傳播者感染的概率分別為0.9,0.8,0.7.已知健康的小明參加了一次多人宴會,參加宴會的人中有5名第一代傳播者,3名第二代傳播者,2名第三代傳播者,若小明參加宴會僅和1名傳播者有所接觸,則他被感染的概率為　　　　　;若小明被感染,則他是被第三代傳播者感染的概率為　　　　　.
3.商店論箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0,1,2只次品的概率分別為0.8,0.1,0.1.某顧客選中一箱,從中任選4只檢查,結(jié)果都是好的,便買下了這一箱,問這一箱含有1只次品的概率是多少 (結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)
23.1 課時4 貝葉斯公式
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解貝葉斯公式.(數(shù)學(xué)抽象)
2.會用貝葉斯公式求相應(yīng)事件的概率.(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析)
【自主預(yù)習(xí)】
1.如何求在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率
【答案】　利用條件概率公式P(B|A)==.
2.公式P(B)=P(Ai)P(B|Ai)成立的條件是什么
【答案】　設(shè)Ai(i=1,2,… ,n )為 n個事件,Ω為樣本空間,公式成立的條件如下:
(1)Ai Aj= (i≠j),(2)A1∪A2∪…∪An=Ω,
(3)P(Ai)> 0,i=1,2,…,n.
3.全概率公式與貝葉斯公式的聯(lián)系與區(qū)別是什么
【答案】　兩者最大的不同是處理的對象不同,其中全概率公式用來計算復(fù)雜事件的概率,而貝葉斯公式用來計算簡單條件下發(fā)生的復(fù)雜事件的概率,也就是說,全概率公式是計算普通概率的,貝葉斯公式是用來計算條件概率的.
1.已知甲盒里有3個黃球,2 個藍(lán)球;乙盒里有4個黃球,1 個藍(lán)球.某人隨機(jī)選擇一個盒子并從中摸出了一個黃球,若此人選擇甲盒或乙盒的概率相等,則這個黃球來自乙盒的概率為(　　).
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　記事件A表示“摸出黃球”,事件B表示“摸出的球來自乙盒”,則P(A)=,
P(AB)=P(B)P(A|B)=×=,所以P(B|A)==×=.
2.某人從甲地到乙地,乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.2,0.4,0.4,乘火車遲到的概率為0.5,乘輪船遲到的概率為0.2,乘飛機(jī)不會遲到,則這個人遲到的概率是　　　　　　;如果這個人遲到了,他乘輪船遲到的概率是　　　　　　.
【答案】　　
【解析】　設(shè)事件A表示“乘火車”,事件B表示“乘輪船”,事件C表示“乘飛機(jī)”,事件D表示“遲到”,則P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.4,
故P(D)=0.5,P(D)=0.2,P(D)=0,
D=(D∩A)∪(D∩B)∪(D∩C),
由全概率公式,可得這個人遲到的概率P(D)=0.2×0.5+0.4×0.2+0.4×0=0.18=,
如果這個人遲到了,由貝葉斯公式可得他乘輪船遲到的概率P(B)===.
3.在臨床上,經(jīng)常用某種試驗來診斷試驗者是否患有某種癌癥,設(shè)事件A=“試驗結(jié)果為陽性”,事件B=“試驗者患有此癌癥”,臨床數(shù)據(jù)顯示P(A|B)=0.99,P(|)=0.98.已知某地人群中患有此種癌癥的占比為,現(xiàn)從該人群中隨機(jī)抽取1人,其試驗結(jié)果是陽性,則此人患有此種癌癥的概率為　　　　.
【答案】　
【解析】　由題意可得,P(A|)=1-P(|)=0.02,P(B)=0.001,P()=0.999,
∴P(B|A)======.
【合作探究】
探究1　貝葉斯公式
　　如圖,有三個外形相同的箱子,分別編號為1,2,3,其中1號箱裝有1個黑球和3個白球,2號箱裝有2個黑球和2個白球,3號箱裝有3個黑球,這些球除顏色外完全相同.小明先從三個箱子中任取一箱,再從取出的箱子中任意摸出一球,記事件Ai(i=1,2,3)表示“球取自第i號箱”,事件B表示“取得黑球”.
　　問題1:分別求P(BA1),P(BA2),P(BA3)和P(B)的值.
【答案】　 由已知可得P(A1)=P(A2)=P(A3)=,
P(B|A1)=,P(B|A2)=,P(B|A3)=1,
∴P(BA1)=P(A1)P(B|A1)=×=,
P(BA2)=P(A2)P(B|A2)=×=,
P(BA3)=P(A3)P(B|A3)=×1=,
∴P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=++=.
問題2:若小明取出的球是黑球,問該黑球來自幾號箱的概率最大 請說明理由.
【答案】　P(A1|B)===,P(A2|B)===,P(A3|B)===.
∴P(A3|B)最大,即若小明取出的球是黑球,該黑球來自3號箱的概率最大.
問題3:問題2的解題思想是什么
【答案】　 執(zhí)果索因.
問題4:如果把全概率公式看成是“由原因推結(jié)果”,那么貝葉斯公式所要研究的問題就是“已知結(jié)果求原因”,也就是說貝葉斯公式的思想是什么
【答案】　 執(zhí)果索因,即在觀察到事件A已發(fā)生的條件下,尋求導(dǎo)致A發(fā)生的每個原因的概率.
新知生成
1.貝葉斯公式
公式P(B|A)=稱為貝葉斯公式(又稱逆概率公式).
2.貝葉斯公式的推廣
設(shè)Ai(i=1,2,…,n )滿足
(1)AiAj= (i≠j);
(2)A1∪A2∪A3∪…∪An=Ω;
(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
則對任一事件B(其中P(B)> 0),由條件概率及全概率公式,有P(Ai|B)==(i=1,2,…,n).
新知運(yùn)用
例1　在數(shù)字通信中,信號是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾,發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時,接收為0和1的概率分別為0.8和0.2;發(fā)送信號1時,接收為1和0的概率分別為0.9和0.1.假設(shè)發(fā)送信號0和1是等可能的.若已知接收的信號為0,求發(fā)送的信號是1的概率.
【解析】　設(shè)事件A為“發(fā)送的信號為0”,事件B為“接收的信號為0”,
則為“發(fā)送的信號為1”,為“接收的信號為1”.
由題意得,P(A)=P()=0.5,P(B|A)=0.8,P(|A)=0.2,P(B|)=0.1,P(|)=0.9.
由貝葉斯公式有P(|B)===.
【方法總結(jié)】　　利用貝葉斯公式求概率的步驟
第一步,利用全概率公式計算P(A),即P(A)=P(Bi)·P(A|Bi);
第二步,計算P(B),可利用P(AB)=P(B)P(A|B)求解;
第三步,代入P(B|A)=求解.
　　已知某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1,貨車和客車中途停車修理的概率分別為0.02,0.01,今有一輛汽車中途停車修理,則該汽車是貨車的概率為(　　).
A.0.2　　　B.0.8　　　C.0.3　　　D.0.7
【答案】　B
【解析】　設(shè)事件B表示“汽車中途停車修理”,事件A1表示“公路上經(jīng)過的汽車是貨車”,事件A2表示“公路上經(jīng)過的汽車是客車”,則P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,
由貝葉斯公式,可知中途停車修理的是貨車的概率P(A1|B)===0.8.
探究2　全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
例2　同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠供應(yīng).由長期的經(jīng)驗知,三個廠的正品率分別為0.95,0.90,0.80,三個廠的產(chǎn)品數(shù)所占比例為2∶3∶5.現(xiàn)將所有產(chǎn)品混合在一起.
(1)從中任取一件,求此產(chǎn)品為正品的概率;
(2)現(xiàn)取到一件正品產(chǎn)品,則它由甲、乙、丙三個廠中哪個廠生產(chǎn)的可能性最大
【解析】　(1)設(shè)事件A表示取到的產(chǎn)品為正品,B1,B2,B3分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn),則Ω=B1∪B2∪B3,且B1,B2,B3兩兩互斥,
由題意知P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,
P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8.
由全概率公式得P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86.
(2)由貝葉斯公式得
P(B1|A)===,
P(B2|A)===,
P(B3|A)===.
通過比較可知這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大.
【方法總結(jié)】　　P(Ai)(i=1,2,…,n)是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事件B是否發(fā)生)的情況下,人們對諸事件發(fā)生的可能性大小的認(rèn)識.當(dāng)有了新的信息(知道事件B發(fā)生),人們對諸事件發(fā)生的可能性大小P(Ai|B)有了新的估計,貝葉斯公式從數(shù)量上描述了這種變化.
一位教授去參加學(xué)術(shù)會議,他乘坐飛機(jī)、動車和非機(jī)動車的概率分別為0.2,0.5,0.3,現(xiàn)在知道他乘坐飛機(jī)、動車和非機(jī)動車遲到的概率分別為,,.
(1)求這位教授遲到的概率;
(2)現(xiàn)在已經(jīng)知道他遲到了,求他乘坐的是飛機(jī)的概率.
【解析】　設(shè)A=“遲到”,B1=“乘飛機(jī)”,B2=“乘動車”,B3=“乘非機(jī)動車”.
(1)所求概率為P(A),由全概率公式得,
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=×+×+×=.
(2)所求概率為P(B1|A),由貝葉斯公式得,
P(B1|A)====.
【隨堂檢測】
1.一道考題有4個選項,正確【答案】只有一個,要求學(xué)生將正確【答案】選擇出來.某考生知道正確【答案】的概率為,在亂猜時,4個選項都有機(jī)會被他選擇,若他答對了,則他確實知道正確【答案】的概率是 (　　).
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】　設(shè)事件A表示“考生答對”,事件B表示“考生知道正確【答案】”,
由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=×1+×=.
由貝葉斯公式得P(B|A)===.
2.某病毒存在人與人之間傳播的現(xiàn)象,即存在A傳B,B又傳C,C又傳D的傳染現(xiàn)象,那么A,B,C就依次被稱為第一代、第二代、第三代傳播者.假設(shè)一個身體健康的人被第一代、第二代、第三代傳播者感染的概率分別為0.9,0.8,0.7.已知健康的小明參加了一次多人宴會,參加宴會的人中有5名第一代傳播者,3名第二代傳播者,2名第三代傳播者,若小明參加宴會僅和1名傳播者有所接觸,則他被感染的概率為　　　　　;若小明被感染,則他是被第三代傳播者感染的概率為　　　　　.
【答案】　0.83　
【解析】　設(shè)事件E=“小明與第一代傳播者接觸”,事件F=“小明與第二代傳播者接觸”,事件G=“小明與第三代傳播者接觸”,事件D=“小明被感染”,
則P(E)=0.5,P(F)=0.3,P(G)=0.2,
P(D|E)=0.9,P(D|F)=0.8,P(D|G)=0.7,
所以小明被感染的概率
P(D)=P(D|E)P(E)+P(D|F)·P(F)+P(D|G)P(G)=0.9×0.5+0.8×0.3+0.7×0.2=0.83.
若小明被感染,則他是被第三代感染的概率P(G|D)===.
3.商店論箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0,1,2只次品的概率分別為0.8,0.1,0.1.某顧客選中一箱,從中任選4只檢查,結(jié)果都是好的,便買下了這一箱,問這一箱含有1只次品的概率是多少 (結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)
【解析】　設(shè)A=“從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的”,Bi=“箱中恰有i件次品,i=0,1,2”.
已知P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,
則P(A|B0)=1,P(A|B1)==,P(A|B2)==,
由貝葉斯公式可得P(B1|A)==≈0.08.
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