資源簡介

3.2 課時2 幾個常用的分布
【學習目標】
1.理解兩點分布、二項分布、超幾何分布的概念和應(yīng)用.(數(shù)學抽象、數(shù)學建模)
2.利用兩點分布、二項分布、超幾何分布解決離散型隨機變量的分布列問題.(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算)
【自主預(yù)習】
1.什么情況下用兩點分布來描述隨機變量
【答案】　當只考慮成功與否時,可以用兩點分布來描述隨機變量.
2.在n次獨立重復(fù)試驗中,各次試驗的結(jié)果相互有影響嗎
【答案】　在n次獨立重復(fù)試驗中,各次試驗的結(jié)果相互沒有影響.因為每次試驗是在相同條件下獨立進行的.
3.滿足二項分布的條件是什么
【答案】　①每次試驗都是在相同條件下進行的;②每次試驗都只有兩種可能的結(jié)果,即要么A發(fā)生,要么A不發(fā)生;③各次試驗的結(jié)果是相互獨立的,即一次試驗中A發(fā)生與否,不會對其余各次試驗中A發(fā)生的概率產(chǎn)生影響,即每次試驗中P(A)保持不變.
4.設(shè)某試驗成功的概率為p,將該試驗獨立重復(fù)n次,用X表示試驗成功的次數(shù),則X=k時的概率是多少
【答案】　P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.
5.超幾何分布模型是放回抽樣嗎
【答案】　不是,超幾何分布模型是一種不放回抽樣.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在n重伯努利試驗中,各次試驗的結(jié)果相互沒有影響. (　　)
(2)在n重伯努利試驗中,各次試驗中某事件發(fā)生的概率可以不同. (　　)
(3)超幾何分布的模型是不放回抽樣. (　　)
【答案】　(1)√　(2)×　(3)√
2.某電子管的正品率為,次品率為,現(xiàn)對該批電子管進行測試,設(shè)第ξ次首次測到正品,則P(ξ=3)= (　　).
A.2× B.2×
C.2× D.2×
【答案】　C
【解析】　ξ=3表示第3次首次測到正品,而前兩次都沒有測到正品,故其概率是×.
3.某10人組成興趣小組,其中有5名團員,從這10人中任選4人參加某種活動,用X表示4人中的團員人數(shù),則P(X=3)=　　　　.　
【答案】　
【解析】　P(X=3)==.
4.一批產(chǎn)品中次品率為5%,隨機抽取1件,定義X=求X的分布列.
【解析】　根據(jù)X的定義,知{X=1}=“抽到次品”,{X=0}=“抽到正品”,則P(X=0)=0.95,P(X=1)=0.05.
則X的分布列為
X 0 1
P 0.95 0.05
【合作探究】
探究1　兩點分布
問題1:利用隨機變量研究一類問題,如抽取的獎券是否中獎,買回的一件產(chǎn)品是否為正品,投籃是否命中等,這些問題有什么共同點
【答案】　這些問題的共同點是隨機試驗只有兩個可能的結(jié)果.定義一個隨機變量,使其中一個結(jié)果對應(yīng)1,另一個結(jié)果對應(yīng)0,即可得到服從兩點分布的隨機變量.
問題2:只取兩個不同值的隨機變量是否一定服從兩點分布
【答案】　不一定.如隨機變量X的分布列為
X 2 5
P 0.3 0.7
　　X不服從兩點分布,因為X的取值不是0或1.
新知生成
兩點分布
如果隨機變量X只取值0或1,且其概率分布是P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,p∈(0,1),那么稱隨機變量X服從兩點分布,記作X~B(1,p).
新知運用
例1　一批200件的待出廠產(chǎn)品中,有1件不合格品,現(xiàn)從中任意抽取2件進行檢查,若用隨機變量X表示抽取的2件產(chǎn)品中的不合格品數(shù),求X的分布列.
【解析】　由題意知,X服從兩點分布,P(X=0)==,
所以P(X=1)=1-=.
所以隨機變量X的分布列為
X 0 1
P
【方法總結(jié)】　　兩點分布的4個特點:(1)兩點分布中只有兩個對應(yīng)結(jié)果,且兩結(jié)果是對立的;(2)兩點分布中的兩結(jié)果一個對應(yīng)1,另一個對應(yīng)0;(3)由互斥事件的概率求法可知,已知P(X=0)(或P(X=1)),便可求出P(X=1)(或P(X=0));(4)在有多個結(jié)果的隨機試驗中,如果我們只關(guān)心一個隨機事件是否發(fā)生,就可以利用兩點分布來研究它.
某袋中裝有10個紅球,5個白球,從中摸出2個球,記X=求X的分布列.
【解析】　由題設(shè)知X服從兩點分布,且P(X=0)==,P(X=1)=1-P(X=0)=.
所以X的分布列為
X 0 1
P
探究2　二項分布
　　“三個臭皮匠,頂個諸葛亮”,這是我們常說的口頭禪,主要是說集體智慧的強大.假設(shè)李某智商較高,他獨自一人解決項目M的概率P1=0.3;同時,有n個水平相同的人組成的智囊團也在研究項目M,他們各自獨立解決項目M的概率都是0.1.
問題1:現(xiàn)在李某單獨研究項目M,且智囊團由2個人組成,也同時研究項目M,試比較李某和智囊團解決項目M的概率.
【答案】　李某獨自一人解決項目M的概率P1=0.3,智囊團研究項目M,他們各自獨立解決項目M的概率都是0.1,
設(shè)這個2人智囊團解決項目M的概率為P2,則P2=1-0.92=1-0.81=0.19,所以P2問題2:現(xiàn)在李某單獨研究項目M,且智囊團由5個人組成,也同時研究項目M,試比較李某和智囊團解決項目M的概率.
【答案】　 李某獨自一人解決項目M的概率P1=0.3,智囊團研究項目M,他們各自獨立解決項目M的概率都是0.1,
設(shè)這個5人智囊團解決項目M的概率為P2,則P2=1-(0.9)5=1-0.95=1-0.59049=0.40951,所以P2>P1,故智囊團解決項目M的概率大于李某解決項目M的概率.
問題3:你能說明兩點分布與二項分布之間的關(guān)系嗎
【答案】　兩點分布是特殊的二項分布,即X~B(n,p)中,當n=1時,二項分布便是兩點分布,也就是說二項分布是兩點分布的一般形式.
新知生成
1.伯努利試驗
一般地,在相同條件下進行n次重復(fù)試驗,如果每次試驗只有兩種可能的結(jié)果 A 與 ,并且 P(A)保持不變,各次試驗的結(jié)果相互獨立,那么稱這樣的試驗為伯努利試驗,它也是一種n次獨立重復(fù)試驗.
2.二項分布
一般地,在n次獨立重復(fù)試驗中,用X表示事件A出現(xiàn)的次數(shù),設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,則X有概率分布:P(X=k)=pkqn-k,k=0,1,2,…,n,其中q=1-p.
故稱隨機變量X服從二項分布,記作X~B(n,p).其中 n,p為參數(shù),p為事件A發(fā)生的概率.
新知運用
一、n重伯努利試驗的判斷
例2　判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗:
(1)依次拋擲四枚質(zhì)地不同的硬幣,3次正面向上;
(2)某人射擊,擊中目標的概率是穩(wěn)定的,他連續(xù)射擊了10次,有6次擊中目標;
(3)口袋中裝有5個白球,3個紅球,2個黑球,依次從中抽取5個球,恰好抽出4個白球.
【解析】　(1)由于試驗的條件不同(質(zhì)地不同),因此不是n重伯努利試驗.
(2)某人射擊且擊中的概率是穩(wěn)定的,因此是n重伯努利試驗.
(3)每次抽取,試驗的結(jié)果有三種不同的顏色,且每種顏色出現(xiàn)的可能性不相等,因此不是n重伯努利試驗.
【方法總結(jié)】　　n重伯努利試驗的判斷依據(jù)
(1)該試驗在相同的條件下可以重復(fù)進行.
(2)每次試驗相互獨立,互不影響.
(3)每次試驗都只有兩種結(jié)果,即事件發(fā)生,不發(fā)生.
二、n次獨立重復(fù)試驗的概率分布
例3　甲、乙兩隊參加奧運知識競賽,每隊3人,每人回答一個問題,答對者為本隊贏得一分,答錯得零分.假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為,乙隊中3人答對的概率分別為,,,且各人回答正確與否相互之間沒有影響.用ξ表示甲隊的總得分.
(1)求隨機變量ξ的分布列;
(2)用事件A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”,用事件B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”,求P(AB).
【解析】　(1)由題意知,ξ的可能取值為0,1,2,3,
則p(ξ=0)=1-3=,
P(ξ=1)=×1-2=,
P(ξ=2)=21-=,
P(ξ=3)=3=.
所以ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
　　(2)用事件C表示“甲得2分乙得1分”,用事件D表示“甲得3分乙得0分”,所以AB=C∪D,且C,D互斥,
又P(C)=21-××+××+××=,P(D)=3×××=,
由互斥事件的概率公式得P(AB)=P(C)+P(D)=+=.
【方法總結(jié)】　　(1)獨立重復(fù)試驗概率求法的三個步驟:①判斷是否是n次獨立重復(fù)試驗;②判斷所求事件是否需要分拆;③計算.
(2)解決二項分布問題時,先判斷一個隨機變量是否服從二項分布,其關(guān)鍵有兩點:一是對立性,即一次試驗中,事件發(fā)生與否兩者必有其一;二是重復(fù)性,即試驗是獨立重復(fù)地進行了n次,再利用二項分布的概率公式求解.
1.(多選題)下列事件不是n重伯努利試驗的是(　　).
A.運動員甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”
B.甲、乙兩運動員各射擊一次,“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”
C.甲、乙兩運動員各射擊一次,“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒射中目標”
D.在相同的條件下,甲射擊10次,5次擊中目標
【答案】　ABC
【解析】　A,C符合互斥事件的概念,是互斥事件;B是相互獨立事件;D是n重伯努利試驗.
2.甲、乙兩人約定以“五局三勝”制進行乒乓球比賽,比賽沒有平局.已知甲在每局中獲勝的概率為,且各局勝負相互獨立.在某次比賽中,乙贏了第一局比賽.
(1)求甲獲勝的概率;(用分數(shù)作答)
(2)設(shè)比賽總的局數(shù)為X,求X的概率分布.
【解析】　(1)甲獲勝的概率P=3+××=.
(2)由題意知,X的所有可能取值為3,4,5,
P(X=3)=2=,
P(X=4)=3+××=,
P(X=5)=22+××=.
∴X的概率分布為
X 3 4 5
P
探究3　超幾何分布
　　已知一箱節(jié)能燈共100個,其中有8個次品.
問題1:有放回地隨機抽取4個,設(shè)抽取的4個產(chǎn)品中次品數(shù)為X,求隨機變量X的分布列.
【答案】　 如果采用有放回抽樣,那么每次抽到次品的概率均為0.08,且各次抽樣的結(jié)果相互獨立,此時X服從二項分布,即X~B(4,0.08).
問題2:如果采用不放回抽樣,那么抽取的4個產(chǎn)品中次品數(shù)X是否也服從二項分布
【答案】　采用不放回抽樣,每次抽取不是同一個試驗,而且各次抽取的結(jié)果也不獨立,不符合n重伯努利試驗的特征,因此X不服從二項分布.
問題3:采用不放回抽樣,如果不服從二項分布,那么X的分布列是什么
【答案】　 可以根據(jù)古典概型求X的分布列.由題意可知,X可能的取值為0,1,2,3,4.從100個產(chǎn)品中任取4個,樣本空間包含個樣本點,且每個樣本點都是等可能發(fā)生的.其中4個產(chǎn)品中恰有k個次品的結(jié)果數(shù)為.由古典概型的知識得,X的分布列為P(X=k)=, k=0,1,2,3,4.
計算的具體結(jié)果(精確到0.00001)如表所示.
X 0 1 2 3 4
P 0.71257 0.25621 0.02989 0.00131 0.00002
新知生成
1.超幾何分布的概念
對一般情形,若N件產(chǎn)品中有M(M≤N)件次品,任取n件,其中恰有X件次品,則事件{X=k}發(fā)生的概率為P(X=k)=,k=0,1,2,…,l,其中l(wèi)=min{M,n},且M≤N,n≤N-M,n,M,N∈N+,稱分布列
X 0 1 2 … l
P …
為超幾何分布列.如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列,就稱X服從超幾何分布,記作X~H(N,M,n).
2.超幾何分布的注意點
(1)在超幾何分布的模型中,“任取n件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件,連續(xù)取n件”.
(2)超幾何分布的特點:①不放回抽樣;②考察對象分兩類;
③實質(zhì)是古典概型.
新知運用
一、超幾何分布的辨析
例4　(多選題)下列隨機變量中,服從超幾何分布的有(　　).
A.在10件產(chǎn)品中有3件次品,一件一件不放回地任意取出4件,記取到的次品數(shù)為X
B.從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺,記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數(shù)
C.一名學生騎自行車上學,途中有6個交通崗,記此學生遇到紅燈的數(shù)為隨機變量X
D.從10名男生,5名女生中選3人參加植樹活動,其中男生人數(shù)記為X
【答案】　ABD
【解析】　依據(jù)超幾何分布模型的定義可知,ABD中隨機變量X服從超幾何分布.而C項顯然不能看作一個不放回抽樣問題,故隨機變量X不服從超幾何分布.
【方法總結(jié)】　　判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布,應(yīng)注意以下三點:
(1)總體是否可分為兩類明確的對象.
(2)是否為不放回抽樣.
(3)隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數(shù).
二、超幾何分布的概率與分布列
例5　一個袋中裝有6個形狀、大小完全相同的小球,其中紅球有3個,編號為1,2,3;黑球有2個,編號為1,2;白球有1個,編號為1.現(xiàn)從袋中一次隨機抽取3個球.
(1)求取出的3個球的顏色都不相同的概率;
(2)記取得1號球的個數(shù)為隨機變量X,求隨機變量X的分布列.
【解析】　(1)從袋中一次隨機抽取3個球,基本事件總數(shù)n==20,取出的3個球的顏色都不相同包含的基本事件的個數(shù)為=6,所以取出的3個球的顏色都不相同的概率P==.
(2)由題意知X=0,1,2,3,則P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
【方法總結(jié)】　　解決超幾何分布問題的兩個關(guān)鍵點:(1)超幾何分布是概率分布的一種形式,一定要注意公式中字母的范圍及其意義,解決問題時可以直接利用公式求解,但不能機械地記憶.(2)超幾何分布中,只要知道M,N,n的值,就可以利用公式求出X取不同k值時的概率P(X=k),從而求出X的分布列.
　　現(xiàn)有10張獎券,其中8張1元的,2張5元的,從中同時任取3張,求所得金額的分布列.
【解析】　設(shè)所得金額為X元,則X的可能取值為3,7,11.
P(X=3)==,P(X=7)==,P(X=11)==.
故X的分布列為
X 3 7 11
P
【隨堂檢測】
1.已知X~B6,,則P(X=2)=(　　).
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　P(X=2)=×2×4=.
2.在15個村莊中有7個村莊交通不方便,現(xiàn)從中任意選10個村莊,用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù),下列概率等于的是(　　).
A.P(X=2) B.P(X≤2) C.P(X=4) D.P(X≤4)
【答案】　C
【解析】　15個村莊中,7個村莊交通不方便,8個村莊交通方便,表示選出的10個村莊中恰有4個交通不方便,6個交通方便的村莊,故P(X=4)=.
3.若一個病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9,則服用這種新藥的4個病人中至少3人被治愈的概率為　　　　(用數(shù)字作答).
【答案】　0.9477
【解析】　至少3人被治愈的概率為(0.9)3×(0.1)1+(0.9)4=0.9477.
4.在一次英語口語考試中,有備選的10道試題,已知某考生能答對其中的8道試題.規(guī)定每次考試都從備選題中任選3道題進行測試,至少答對2道題才算合格,求該考生答對試題數(shù)X的分布列,并求該考生合格的概率.
【解析】　由題意知,X的可能取值為1,2,3,
P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
　　故該考生合格的概率為P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.
23.2 課時2 幾個常用的分布
【學習目標】
1.理解兩點分布、二項分布、超幾何分布的概念和應(yīng)用.(數(shù)學抽象、數(shù)學建模)
2.利用兩點分布、二項分布、超幾何分布解決離散型隨機變量的分布列問題.(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算)
【自主預(yù)習】
1.什么情況下用兩點分布來描述隨機變量
2.在n次獨立重復(fù)試驗中,各次試驗的結(jié)果相互有影響嗎
3.滿足二項分布的條件是什么
4.設(shè)某試驗成功的概率為p,將該試驗獨立重復(fù)n次,用X表示試驗成功的次數(shù),則X=k時的概率是多少
5.超幾何分布模型是放回抽樣嗎
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)在n重伯努利試驗中,各次試驗的結(jié)果相互沒有影響. (　　)
(2)在n重伯努利試驗中,各次試驗中某事件發(fā)生的概率可以不同. (　　)
(3)超幾何分布的模型是不放回抽樣. (　　)
2.某電子管的正品率為,次品率為,現(xiàn)對該批電子管進行測試,設(shè)第ξ次首次測到正品,則P(ξ=3)= (　　).
A.2× B.2×
C.2× D.2×
3.某10人組成興趣小組,其中有5名團員,從這10人中任選4人參加某種活動,用X表示4人中的團員人數(shù),則P(X=3)=　　　　.　
4.一批產(chǎn)品中次品率為5%,隨機抽取1件,定義X=求X的分布列.
【合作探究】
探究1　兩點分布
問題1:利用隨機變量研究一類問題,如抽取的獎券是否中獎,買回的一件產(chǎn)品是否為正品,投籃是否命中等,這些問題有什么共同點
問題2:只取兩個不同值的隨機變量是否一定服從兩點分布
新知生成
兩點分布
如果隨機變量X只取值0或1,且其概率分布是P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,p∈(0,1),那么稱隨機變量X服從兩點分布,記作X~B(1,p).
新知運用
例1　一批200件的待出廠產(chǎn)品中,有1件不合格品,現(xiàn)從中任意抽取2件進行檢查,若用隨機變量X表示抽取的2件產(chǎn)品中的不合格品數(shù),求X的分布列.
【方法總結(jié)】　　兩點分布的4個特點:(1)兩點分布中只有兩個對應(yīng)結(jié)果,且兩結(jié)果是對立的;(2)兩點分布中的兩結(jié)果一個對應(yīng)1,另一個對應(yīng)0;(3)由互斥事件的概率求法可知,已知P(X=0)(或P(X=1)),便可求出P(X=1)(或P(X=0));(4)在有多個結(jié)果的隨機試驗中,如果我們只關(guān)心一個隨機事件是否發(fā)生,就可以利用兩點分布來研究它.
某袋中裝有10個紅球,5個白球,從中摸出2個球,記X=求X的分布列.
探究2　二項分布
　　“三個臭皮匠,頂個諸葛亮”,這是我們常說的口頭禪,主要是說集體智慧的強大.假設(shè)李某智商較高,他獨自一人解決項目M的概率P1=0.3;同時,有n個水平相同的人組成的智囊團也在研究項目M,他們各自獨立解決項目M的概率都是0.1.
問題1:現(xiàn)在李某單獨研究項目M,且智囊團由2個人組成,也同時研究項目M,試比較李某和智囊團解決項目M的概率.
問題2:現(xiàn)在李某單獨研究項目M,且智囊團由5個人組成,也同時研究項目M,試比較李某和智囊團解決項目M的概率.
問題3:你能說明兩點分布與二項分布之間的關(guān)系嗎
新知生成
1.伯努利試驗
一般地,在相同條件下進行n次重復(fù)試驗,如果每次試驗只有兩種可能的結(jié)果 A 與 ,并且 P(A)保持不變,各次試驗的結(jié)果相互獨立,那么稱這樣的試驗為伯努利試驗,它也是一種n次獨立重復(fù)試驗.
2.二項分布
一般地,在n次獨立重復(fù)試驗中,用X表示事件A出現(xiàn)的次數(shù),設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,則X有概率分布:P(X=k)=pkqn-k,k=0,1,2,…,n,其中q=1-p.
故稱隨機變量X服從二項分布,記作X~B(n,p).其中 n,p為參數(shù),p為事件A發(fā)生的概率.
新知運用
一、n重伯努利試驗的判斷
例2　判斷下列試驗是不是n重伯努利試驗:
(1)依次拋擲四枚質(zhì)地不同的硬幣,3次正面向上;
(2)某人射擊,擊中目標的概率是穩(wěn)定的,他連續(xù)射擊了10次,有6次擊中目標;
(3)口袋中裝有5個白球,3個紅球,2個黑球,依次從中抽取5個球,恰好抽出4個白球.
【方法總結(jié)】　　n重伯努利試驗的判斷依據(jù)
(1)該試驗在相同的條件下可以重復(fù)進行.
(2)每次試驗相互獨立,互不影響.
(3)每次試驗都只有兩種結(jié)果,即事件發(fā)生,不發(fā)生.
二、n次獨立重復(fù)試驗的概率分布
例3　甲、乙兩隊參加奧運知識競賽,每隊3人,每人回答一個問題,答對者為本隊贏得一分,答錯得零分.假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為,乙隊中3人答對的概率分別為,,,且各人回答正確與否相互之間沒有影響.用ξ表示甲隊的總得分.
(1)求隨機變量ξ的分布列;
(2)用事件A表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”,用事件B表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”,求P(AB).
【方法總結(jié)】　　(1)獨立重復(fù)試驗概率求法的三個步驟:①判斷是否是n次獨立重復(fù)試驗;②判斷所求事件是否需要分拆;③計算.
(2)解決二項分布問題時,先判斷一個隨機變量是否服從二項分布,其關(guān)鍵有兩點:一是對立性,即一次試驗中,事件發(fā)生與否兩者必有其一;二是重復(fù)性,即試驗是獨立重復(fù)地進行了n次,再利用二項分布的概率公式求解.
1.(多選題)下列事件不是n重伯努利試驗的是(　　).
A.運動員甲射擊一次,“射中9環(huán)”與“射中8環(huán)”
B.甲、乙兩運動員各射擊一次,“甲射中10環(huán)”與“乙射中9環(huán)”
C.甲、乙兩運動員各射擊一次,“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒射中目標”
D.在相同的條件下,甲射擊10次,5次擊中目標
2.甲、乙兩人約定以“五局三勝”制進行乒乓球比賽,比賽沒有平局.已知甲在每局中獲勝的概率為,且各局勝負相互獨立.在某次比賽中,乙贏了第一局比賽.
(1)求甲獲勝的概率;(用分數(shù)作答)
(2)設(shè)比賽總的局數(shù)為X,求X的概率分布.
探究3　超幾何分布
　　已知一箱節(jié)能燈共100個,其中有8個次品.
問題1:有放回地隨機抽取4個,設(shè)抽取的4個產(chǎn)品中次品數(shù)為X,求隨機變量X的分布列.
問題2:如果采用不放回抽樣,那么抽取的4個產(chǎn)品中次品數(shù)X是否也服從二項分布
問題3:采用不放回抽樣,如果不服從二項分布,那么X的分布列是什么
新知生成
1.超幾何分布的概念
對一般情形,若N件產(chǎn)品中有M(M≤N)件次品,任取n件,其中恰有X件次品,則事件{X=k}發(fā)生的概率為P(X=k)=,k=0,1,2,…,l,其中l(wèi)=min{M,n},且M≤N,n≤N-M,n,M,N∈N+,稱分布列
X 0 1 2 … l
P …
為超幾何分布列.如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列,就稱X服從超幾何分布,記作X~H(N,M,n).
2.超幾何分布的注意點
(1)在超幾何分布的模型中,“任取n件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件,連續(xù)取n件”.
(2)超幾何分布的特點:①不放回抽樣;②考察對象分兩類;
③實質(zhì)是古典概型.
新知運用
一、超幾何分布的辨析
例4　(多選題)下列隨機變量中,服從超幾何分布的有(　　).
A.在10件產(chǎn)品中有3件次品,一件一件不放回地任意取出4件,記取到的次品數(shù)為X
B.從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺,記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數(shù)
C.一名學生騎自行車上學,途中有6個交通崗,記此學生遇到紅燈的數(shù)為隨機變量X
D.從10名男生,5名女生中選3人參加植樹活動,其中男生人數(shù)記為X
【方法總結(jié)】　　判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布,應(yīng)注意以下三點:
(1)總體是否可分為兩類明確的對象.
(2)是否為不放回抽樣.
(3)隨機變量是否為樣本中其中一類個體的個數(shù).
二、超幾何分布的概率與分布列
例5　一個袋中裝有6個形狀、大小完全相同的小球,其中紅球有3個,編號為1,2,3;黑球有2個,編號為1,2;白球有1個,編號為1.現(xiàn)從袋中一次隨機抽取3個球.
(1)求取出的3個球的顏色都不相同的概率;
(2)記取得1號球的個數(shù)為隨機變量X,求隨機變量X的分布列.
【方法總結(jié)】　　解決超幾何分布問題的兩個關(guān)鍵點:(1)超幾何分布是概率分布的一種形式,一定要注意公式中字母的范圍及其意義,解決問題時可以直接利用公式求解,但不能機械地記憶.(2)超幾何分布中,只要知道M,N,n的值,就可以利用公式求出X取不同k值時的概率P(X=k),從而求出X的分布列.
　　現(xiàn)有10張獎券,其中8張1元的,2張5元的,從中同時任取3張,求所得金額的分布列.
【隨堂檢測】
1.已知X~B6,,則P(X=2)=(　　).
A. B. C. D.
2.在15個村莊中有7個村莊交通不方便,現(xiàn)從中任意選10個村莊,用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù),下列概率等于的是(　　).
A.P(X=2) B.P(X≤2) C.P(X=4) D.P(X≤4)
3.若一個病人服用某種新藥后被治愈的概率為0.9,則服用這種新藥的4個病人中至少3人被治愈的概率為　　　　(用數(shù)字作答).
4.在一次英語口語考試中,有備選的10道試題,已知某考生能答對其中的8道試題.規(guī)定每次考試都從備選題中任選3道題進行測試,至少答對2道題才算合格,求該考生答對試題數(shù)X的分布列,并求該考生合格的概率.
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