資源簡介

3.2 課時3 離散型隨機變量的數學期望
【學習目標】
1.理解離散型隨機變量的均值的意義和性質.(數學抽象)
2.會根據離散型隨機變量的分布列求出均值.(邏輯推理、數學運算)
3.會利用離散型隨機變量的均值解決一些相關的實際問題.(數學抽象、數學運算)
【自主預習】
1.隨機變量的均值和樣本的平均值是一個常數還是隨機變量
2.隨著樣本容量的增加,樣本的平均值與總體的平均值有什么關系
3.當離散型隨機變量X服從超幾何分布H(N,M,n)時,如何計算它的數學期望
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)隨機變量的均值反映了樣本的平均水平. (　　)
(2)若隨機變量X的均值E(X)=2,則E(2X)=4. (　　)
(3)若隨機變量X服從兩點分布,則E(X)=P(X=1). (　　)
2.已知離散型隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
則X的數學期望E(X)=(　　).
A. B.2 C. D.3
3.某袋中裝有黑球、白球共7個,從中任取2個球,令取到白球的個數為X,且E(X)=,則該袋中白球的個數為　　　　.
4.將一枚質地均勻的硬幣重復拋擲4次,隨機變量X表示“正面朝上”出現的次數.求:
(1)X的分布列;
(2)E(X).
【合作探究】
探究1　離散型隨機變量的期望
　　問題1:某商場要將單價分別為18元/kg,24元/kg,36元/kg的3種糖果按3∶2∶1的比例混合銷售,如何對混合糖果定價才合理
問題2:什么是權數 什么是加權平均
問題3:如果混合糖果中每一顆糖果的質量都相等,你能解釋權數的實際含義嗎
新知生成
　　離散型隨機變量的數學期望
設離散型隨機變量X的分布列如下表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
　　則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機變量X的數學期望(簡稱期望)或均值.
均值E(X)刻畫的是X取值的“中心位置”,反映了離散型隨機變量X取值的平均水平,是隨機變量X的一個重要特征.
新知運用
例1　某賽事的某個項目招募志愿者,報名人員需進行有關專業、禮儀及服務等方面知識的測試,測試合格者錄用為志愿者.現有備選題10道,規定每次測試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試,至少答對2道題者視為合格,已知每位參加測試的人員測試能否合格是相互獨立的.若甲能答對其中的6道題,乙能答對其中的8道題.求:
(1)甲、乙兩人至多一人測試合格的概率;
(2)甲答對的試題數X的分布列和數學期望.
【方法總結】　　求離散型隨機變量ξ的均值的步驟:(1)根據ξ的實際意義,寫出ξ的全部取值;(2)求出ξ的每個值的概率;(3)寫出ξ的分布列;(4)利用定義求出均值.其中第(1)(2)兩條是解答此類題目的關鍵,在求解過程中應注重應用概率的相關知識.
　　某衛視綜藝節目中有一個環節叫“超級猜猜猜”,規則如下:嘉賓需要猜三道題目,猜對一道題目可得1分,猜對兩道題目可得3分,三道題目完全猜對可得6分,若三道題目全部猜錯,則扣掉4分.已知某嘉賓猜對這三道題目的概率分別為,,,且每題是否答對相互獨立.求該嘉賓在該“猜題”環節中所得分數的分布列與期望.
探究2　幾個特殊分布的期望
問題1:若c為常數,如何計算E(c)
問題2:若X~B(1,p),如何求E(X)
問題3:若X~B(n,p),如何求E(X)
新知生成
1.若X~B(1,p),則E(X)=p.
2.若X~B(n,p),則E(X)=np.
3.若X~H(N,M,n),則E(X)=.
新知運用
例2　已知條件:①采用無放回抽取,②采用有放回抽取.請在上述兩個條件中任選一個,補充在下面的問題中的橫線上并作答.
　　問題:在一個口袋中裝有3個紅球和4個白球,這些球除顏色外完全相同,若　　　　　,從這7個球中隨機抽取3個球,記取出的3個球中紅球的個數為X,求隨機變量X的分布列和期望.
【方法總結】　　利用特殊分布的期望公式求期望的關鍵是先判斷隨機變量的分布模型,然后選用適當的公式求解.
1.某工廠生產的10件產品中,有3件次品,現從這10件產品中任取3件產品,設X為取出的3件產品中次品的件數,則X的均值為　　　　.
2.毛猴是老北京的傳統手工藝品,制作材料都取自中藥材,工序大致分為三步,第一步用蟬蛻做頭和四肢,第二步用辛夷做身子,第三步用木桶做道具.已知小萌同學在每個環節制作合格的概率分別為,,,只有當每個環節制作都合格時,這件作品才算制作成功.
(1)求小萌同學成功制作1件作品的概率;
(2)若小萌同學制作了3件作品,假設每次制作成功與否相互獨立,設其中成功的作品數為X,求X的分布列及期望.
探究3　期望的性質
　　已知隨機變量X的分布列如下:
X -2 -1 0 1 2
P m
　　問題1:求m的值.
問題2:求E(X).
問題3:若Y=2X-3,求E(Y).
問題4:若Y=aX+b,根據問題3,E(X)與E(Y)之間有什么關系
新知生成
若Y=aX+b,a,b為常數,則E(aX+b)=aE(X)+b.
新知運用
例3　已知隨機變量X的分布列為
X -2 -1 0 1
P m
　　若隨機變量Y=-2X,則E(Y)=　　　　.
【方法總結】　　與離散型隨機變量期望的性質有關的問題的解題思路:若給出的隨機變量Y與X的關系為Y=aX+b,a,b為常數,一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y);也可以利用X的分布列得到Y的分布列,關鍵是由X的取值計算Y的取值,對應的概率相等,再由定義法求得E(Y).
　　已知隨機變量X的分布列為
X -1 0 1
P a
　　設隨機變量Y=2X+1,則Y的數學期望E(Y)的值是(　　).
A.- B. C.1 D.
【隨堂檢測】
1.設50個產品中有10個次品,從這50個產品中任取20個產品,取到的次品數為X,則E(X)=(　　).
A.4 B.3 C.2 D.1
2.已知隨機變量X~B6,,隨機變量Y=X-3,則E(Y)=(　　).
A.3 B.4 C.6 D.8
3.若隨機拋擲一顆質地均勻的正方體骰子1次,則所得點數X的均值是　　　　.
4.某醫療器械公司計劃投資呼吸機或心電監護儀項目,若投資呼吸機,據預期,每年的收益率為40%的概率為p,收益率為-10%的概率為1-p;若投資心電監護儀,據預期,每年的收益率為40%的概率為0.4,收益率為-10%的概率為0.2,收益率為零的概率為0.4.已知投資呼吸機的收益率的期望大于投資心電監護儀的收益率的期望,求p的取值范圍.
23.2 課時3 離散型隨機變量的數學期望
【學習目標】
1.理解離散型隨機變量的均值的意義和性質.(數學抽象)
2.會根據離散型隨機變量的分布列求出均值.(邏輯推理、數學運算)
3.會利用離散型隨機變量的均值解決一些相關的實際問題.(數學抽象、數學運算)
【自主預習】
1.隨機變量的均值和樣本的平均值是一個常數還是隨機變量
【答案】　隨機變量的均值是一個常數,它不依賴于樣本的抽取;樣本的平均值是一個隨機變量,它是隨著樣本的不同而變化的.
2.隨著樣本容量的增加,樣本的平均值與總體的平均值有什么關系
【答案】　隨著樣本容量的增加,樣本的平均值越來越接近于總體的平均值.
3.當離散型隨機變量X服從超幾何分布H(N,M,n)時,如何計算它的數學期望
【答案】　列出分布列,利用期望公式計算,也可以利用超幾何分布的期望公式E(X)=計算.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)隨機變量的均值反映了樣本的平均水平. (　　)
(2)若隨機變量X的均值E(X)=2,則E(2X)=4. (　　)
(3)若隨機變量X服從兩點分布,則E(X)=P(X=1). (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　
2.已知離散型隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
則X的數學期望E(X)=(　　).
A. B.2 C. D.3
【答案】　 A
【解析】　E(X)=1×+2×+3×=.
3.某袋中裝有黑球、白球共7個,從中任取2個球,令取到白球的個數為X,且E(X)=,則該袋中白球的個數為　　　　.
【答案】　3
【解析】　設該袋中白球的個數為M,則X~H(7,M,2),所以E(X)=2×=,解得M=3,即該袋中白球的個數為3.
4.將一枚質地均勻的硬幣重復拋擲4次,隨機變量X表示“正面朝上”出現的次數.求:
(1)X的分布列;
(2)E(X).
【解析】　(1)依題意,拋一枚質地均勻的硬幣,正面、反面朝上的概率均為,
所以將一枚均勻的硬幣重復拋擲4次,正面朝上的次數X~B4,,故P(X=k)==,0≤k≤4,k∈Z,
即P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
　　(2)因為X~B4,,所以E(X)=4×=2.
【合作探究】
探究1　離散型隨機變量的期望
　　問題1:某商場要將單價分別為18元/kg,24元/kg,36元/kg的3種糖果按3∶2∶1的比例混合銷售,如何對混合糖果定價才合理
【答案】　因為平均在每1 kg的混合糖果中,3種糖果的質量分別是 kg, kg和 kg,所以混合糖果的合理價格應該是18×+24×+36×=23(元/kg).它是三種糖果價格的一種加權平均,這里的權數分別是,和.
問題2:什么是權數 什么是加權平均
【答案】　權是秤錘,權數是起權衡輕重作用的數值.加權平均是指在計算若干個數量的平均數時,考慮到每個數量在總量中所具有的重要性不同,分別給予不同的權數.
問題3:如果混合糖果中每一顆糖果的質量都相等,你能解釋權數的實際含義嗎
【答案】　 根據古典概型計算概率的公式可知,在混合糖果中,任取一顆糖果,這顆糖果為第一、二、三種糖果的概率分別為,,,即取出的這顆糖果的價格為18元/kg,24元/kg,36元/kg的概率分別為,,.用X表示這顆糖果的價格,則它是一個離散型隨機變量,其分布列為
X 18 24 36
P
　　因此權數恰好是隨機變量X取每種價格的概率.
新知生成
　　離散型隨機變量的數學期望
設離散型隨機變量X的分布列如下表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
　　則稱E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機變量X的數學期望(簡稱期望)或均值.
均值E(X)刻畫的是X取值的“中心位置”,反映了離散型隨機變量X取值的平均水平,是隨機變量X的一個重要特征.
新知運用
例1　某賽事的某個項目招募志愿者,報名人員需進行有關專業、禮儀及服務等方面知識的測試,測試合格者錄用為志愿者.現有備選題10道,規定每次測試都從備選題中隨機抽出3道題進行測試,至少答對2道題者視為合格,已知每位參加測試的人員測試能否合格是相互獨立的.若甲能答對其中的6道題,乙能答對其中的8道題.求:
(1)甲、乙兩人至多一人測試合格的概率;
(2)甲答對的試題數X的分布列和數學期望.
【解析】　(1)根據題意,甲測試合格的概率為==,
乙測試合格的概率為==,
故甲、乙兩人都測試合格的概率為×=,
則甲、乙兩人至多一人測試合格的概率為1-=.
(2)由題可知,甲答對的試題數X的所有可能取值為0,1,2,3,
P(X=0)===,
P(X=1)===,
P(X=2)===,
P(X=3)===,
故X的分布列為
X 0 1 2 3
P
　　則X的數學期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.
【方法總結】　　求離散型隨機變量ξ的均值的步驟:(1)根據ξ的實際意義,寫出ξ的全部取值;(2)求出ξ的每個值的概率;(3)寫出ξ的分布列;(4)利用定義求出均值.其中第(1)(2)兩條是解答此類題目的關鍵,在求解過程中應注重應用概率的相關知識.
　　某衛視綜藝節目中有一個環節叫“超級猜猜猜”,規則如下:嘉賓需要猜三道題目,猜對一道題目可得1分,猜對兩道題目可得3分,三道題目完全猜對可得6分,若三道題目全部猜錯,則扣掉4分.已知某嘉賓猜對這三道題目的概率分別為,,,且每題是否答對相互獨立.求該嘉賓在該“猜題”環節中所得分數的分布列與期望.
【解析】　根據題意,設該嘉賓所得分數為X,則X的所有可能取值為-4,1,3,6,
∴P(X=-4)=1-×1-×1-=,
P(X=1)=××+××+××=,
P(X=3)=××+××+××=,
P(X=6)=××=.
∴X的分布列為
X -4 1 3 6
P
　　∴E(X)=(-4)×+1×+3×+6×=.
探究2　幾個特殊分布的期望
問題1:若c為常數,如何計算E(c)
【答案】　期望可以看作是平均數,一個常數的平均數當然是它本身,所以E(c)=c.
問題2:若X~B(1,p),如何求E(X)
【答案】　由題意知X的可能取值為0,1,且P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,
所以E(X)=1×p+0×(1-p)=p,即X的期望為p.
問題3:若X~B(n,p),如何求E(X)
【答案】　因為P(X=k)=pkqn-k,k=0,1,…,n,其中q=1-p,
所以E(X)=0×p0qn+1×p1qn-1+2×p2qn-2+…+n×pnq0,
又因為當k≥1時,k=k=n·=n,　
所以E(X)=npp0qn-1+npp1qn-2+…+np·pn-1q0.
令m=n-1,
則E(X)=np(p0qm+p1qm-1+…+pmq0)=np(p+q)m=np.
新知生成
1.若X~B(1,p),則E(X)=p.
2.若X~B(n,p),則E(X)=np.
3.若X~H(N,M,n),則E(X)=.
新知運用
例2　已知條件:①采用無放回抽取,②采用有放回抽取.請在上述兩個條件中任選一個,補充在下面的問題中的橫線上并作答.
　　問題:在一個口袋中裝有3個紅球和4個白球,這些球除顏色外完全相同,若　　　　　,從這7個球中隨機抽取3個球,記取出的3個球中紅球的個數為X,求隨機變量X的分布列和期望.
【解析】　若選①,依題意,隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
　　因為X~H(7,3,3),所以期望E(X)==.
若選②,由題意,隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,且X~B3,,
所以P(X=0)=1-3=,
P(X=1)=××=,
P(X=2)=××1-=,
P(X=3)=3=,
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
　　期望E(X)=3×=.
【方法總結】　　利用特殊分布的期望公式求期望的關鍵是先判斷隨機變量的分布模型,然后選用適當的公式求解.
1.某工廠生產的10件產品中,有3件次品,現從這10件產品中任取3件產品,設X為取出的3件產品中次品的件數,則X的均值為　　　　.
【答案】　0.9
【解析】　因為X~H(10,3,3),所以X的均值E(X)==0.9.
2.毛猴是老北京的傳統手工藝品,制作材料都取自中藥材,工序大致分為三步,第一步用蟬蛻做頭和四肢,第二步用辛夷做身子,第三步用木桶做道具.已知小萌同學在每個環節制作合格的概率分別為,,,只有當每個環節制作都合格時,這件作品才算制作成功.
(1)求小萌同學成功制作1件作品的概率;
(2)若小萌同學制作了3件作品,假設每次制作成功與否相互獨立,設其中成功的作品數為X,求X的分布列及期望.
【解析】　(1)根據題意知,由相互獨立事件的概率乘法公式得,小萌同學成功制作1件作品的概率P=××=.
(2)根據題意知,X的可能取值為0,1,2,3,顯然X~B3,,則P(X=0)=03=,
P(X=1)=12=,
P(X=2)=21=,
P(X=3)=30=.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
　　X的數學期望E(X)=3×=.
探究3　期望的性質
　　已知隨機變量X的分布列如下:
X -2 -1 0 1 2
P m
　　問題1:求m的值.
【答案】　由隨機變量分布列的性質,得+++m+=1,解得m=.
問題2:求E(X).
【答案】　E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-.
問題3:若Y=2X-3,求E(Y).
【答案】　(法一)因為Y=2X-3,
所以Y的分布列為
Y -7 -5 -3 -1 1
P
　　所以E(Y)=(-7)×+(-5)×+(-3)×+(-1)×+1×=-.
(法二)由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×--3=-.
問題4:若Y=aX+b,根據問題3,E(X)與E(Y)之間有什么關系
【答案】　E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.
新知生成
若Y=aX+b,a,b為常數,則E(aX+b)=aE(X)+b.
新知運用
例3　已知隨機變量X的分布列為
X -2 -1 0 1
P m
　　若隨機變量Y=-2X,則E(Y)=　　　　.
【答案】　-
【解析】　由隨機變量分布列的性質,得+++m=1,解得m=,
∴E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×=.
由Y=-2X,得E(Y)=-2E(X),
即E(Y)=-2×=-.
【方法總結】　　與離散型隨機變量期望的性質有關的問題的解題思路:若給出的隨機變量Y與X的關系為Y=aX+b,a,b為常數,一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y);也可以利用X的分布列得到Y的分布列,關鍵是由X的取值計算Y的取值,對應的概率相等,再由定義法求得E(Y).
　　已知隨機變量X的分布列為
X -1 0 1
P a
　　設隨機變量Y=2X+1,則Y的數學期望E(Y)的值是(　　).
A.- B. C.1 D.
【答案】　B
【解析】　根據分布列的性質,可得++a=1,解得a=,
所以隨機變量X的期望E(X)=-1×+0×+1×=-,　
由Y=2X+1,得E(Y)=2E(X)+1=2×-+1=.
【隨堂檢測】
1.設50個產品中有10個次品,從這50個產品中任取20個產品,取到的次品數為X,則E(X)=(　　).
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】　A
【解析】　由題意可知X~H(50,10,20),所以E(X)==4.
2.已知隨機變量X~B6,,隨機變量Y=X-3,則E(Y)=(　　).
A.3 B.4 C.6 D.8
【答案】　A
【解析】　因為X~B6,,所以E(X)=6×=4.因為Y=X-3,所以E(Y)=E(X)-3=3.
3.若隨機拋擲一顆質地均勻的正方體骰子1次,則所得點數X的均值是　　　　.
【答案】　3.5
【解析】　由題意得,X的所有可能取值為1,2,3,4,5,6,且P(X=i)=,i=1,2,3,4,5,6,
所以E(X)=×(1+2+3+4+5+6)=3.5.
4.某醫療器械公司計劃投資呼吸機或心電監護儀項目,若投資呼吸機,據預期,每年的收益率為40%的概率為p,收益率為-10%的概率為1-p;若投資心電監護儀,據預期,每年的收益率為40%的概率為0.4,收益率為-10%的概率為0.2,收益率為零的概率為0.4.已知投資呼吸機的收益率的期望大于投資心電監護儀的收益率的期望,求p的取值范圍.
【解析】　若投資呼吸機項目,設收益率為X,則X的分布列為
X 0.4 -0.1
P p 1-p
　　所以E(X)=0.4×p-0.1×(1-p)=0.5p-0.1.
若投資心電監護儀項目,設收益率為Y,則Y的分布列為
Y 0.4 -0.1 0
P 0.4 0.2 0.4
　　所以E(Y)=0.4×0.4-0.1×0.2+0×0.4=0.14.
因為投資呼吸機的收益率的期望大于投資心電監護儀的收益率的期望,
所以0.5p-0.1>0.14,所以p>0.48,又0≤p≤1,所以0.482

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