資源簡介

3.2 課時4 離散型隨機變量的方差
【學習目標】
1.通過具體實例,理解離散型隨機變量的分布列及方差的概念.(數學抽象、數學運算)
2.能計算簡單離散型隨機變量的方差,并能解決一些實際問題.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.離散型隨機變量的方差與樣本的方差都是變量嗎
【答案】　樣本的方差隨樣本的不同而變化,是一個隨機變量,而離散型隨機變量的方差是通過大量試驗得出的,刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度,因此它是一個常數而非變量.
2.D(X)的取值范圍是什么 若b為常數,則D(b)為何值
【答案】　①因為D(X)=pi,其中(xi-E(X))2≥0,pi≥0,所以D(X)的取值范圍為[0,+∞).
②因為b為常數,所以x1=x2=…=xn=E(X)=b,故D(b)=0.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)離散型隨機變量的方差越大, 隨機變量越穩定. (　　)
(2)若a是常數, 則D(a)=0. (　　)
(3)離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離于期望的平均程度. (　　)
(4)D(X)=E((X-E(X))2). (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.已知隨機變量X,D(X)=,則X的標準差為　　　　.
【答案】　
【解析】　X的標準差==.
3.已知X的分布列為
X -1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
求D(X).
【解析】　E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,
D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.
4.在一次投籃游戲中,每人投籃3次,每投中1次記10分,沒有投中扣5分,某人每次投中的概率為.
(1)求此人恰好投中2次的概率;
(2)求此人得分的方差.
【解析】　(1)記X為投中的次數,由題意可知,X~B3,,
所以在3次投籃中,此人恰好投中2次的概率P(X=2)=××1-=.
(2)記Y為此人的得分,由題意可知,Y=10X-5(3-X)=15X-15,所以得分的方差D(Y)=D(15X-15)=152D(X)=15×15×3××1-=150.
【合作探究】
探究1　離散型隨機變量的方差
　　要從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據以往的成績紀錄,第一名同學擊中目標靶的環數X1的分布列為
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
　　第二名同學擊中目標靶的環數X2的分布列為
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
　　問題1: E(X1),E(X2)各為何值
【答案】　 E(X1)=8,E(X2)=8.
問題2:能否根據X1和X2的均值來決定派哪名同學參賽
【答案】　不能.
問題3:除平均中靶環數外,還有其他刻畫兩名同學各自射擊特點的指標嗎
【答案】　有,可以用兩名同學射擊成績的穩定性來刻畫兩名同學的射擊成績.
問題4:如何定量刻畫隨機變量的穩定性
【答案】　 利用樣本的方差來刻畫隨機變量的穩定性.
新知生成
　　方差與標準差
若離散型隨機變量X的分布列如下表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
　　則|xi-E(X)|描述了xi(i=1,2,…,n)相對于均值E(X)的偏離大小,而E{|X-E(x)|}表示平均偏離的大小,但由于絕對值運算在數學處理上有許多不便,于是用D(X)=E((X-E(X))2)=(xi-E(X))2pi來刻畫隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度.我們稱D(X)為隨機變量X的方差,其算術平方根為隨機變量X的標準差,方差記作σ2,標準差記作σ.
隨機變量的方差D(X)和標準差σ都反映了隨機變量的取值偏離于均值的平均程度.方差(標準差) 越小,則隨機變量偏離于均值的平均程度越小;反之,方差(標準差)越大,則隨機變量的取值越分散.
新知運用
例1　某小組共10人,利用假期參加義工活動.已知參加義工活動次數為1,2,3的人數分別為3,3,4.現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.
(1)設事件A為“選出的2人參加義工活動次數之和為4”,求事件A發生的概率;
(2)設X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值,求隨機變量X的分布列和數學期望與方差.
【解析】　(1)由已知得P(A)==.
(2)X的所有可能取值為0,1,2,
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.
所以隨機變量X的分布列為
X 0 1 2
P
　　所以E(X)=0×+1×+2×=1,
D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.
【方法總結】　　求離散型隨機變量X的均值和方差的基本步驟:(1)理解X的意義,寫出X的全部取值;(2)求X取每個值的概率;(3)寫出X的分布列;(4)求E(X),D(X).
　　袋中有形狀、大小完全相同的3個球,編號分別為1,2,3.有放回地從袋中取兩次,每次取1個球,用X表示取出的2個球中的最大號碼.
(1)寫出X的分布列;
(2)求X的均值與方差.
【解析】　(1)由題意可知X的所有可能取值為1,2,3,有放回地從袋中取兩次,每次取1個球的所有情況為(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3).
故P(X=1)=,P(X=2)==,P(X=3)=,
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
　　(2)由(1)可得,X的均值E(X)=1×+2×+3×=,
方差D(X)=1-2×+2-2×+3-2×=.
探究2　方差的性質以及幾個特殊分布的方差
問題1:若隨機變量X~B(1,p),如何求方差D(X)
【答案】　因為X~B(1,p),所以E(X)=p,
所以D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p).
問題2:我們知道,常數的期望是它本身,那么常數的方差是否是本身呢
【答案】　不是,因為E(X)=c,所以D(c)=(c-E(X))2pi=0.
新知生成
1.若X~B(1,p),則D(X)=p(1-p).
2.若X~B(n,p),則D(X)=np(1-p).
3.若Y=aX+b,a,b為常數,則D(aX+b)=a2D(X).
新知運用
例2　設隨機變量X~B(n,0.4),Y=X+2,若E(Y)=6,則D(Y)=　　　　　.
【答案】　1.2
【解析】　因為X~B(n,0.4),所以E(X)=0.4n,D(X)=n×0.4×0.6=0.24n.
因為Y=X+2,E(Y)=6,所以E(Y)=E(X)+2=×0.4n+2=6,解得n=20,
所以D(X)=4.8,所以D(Y)=D(X)=1.2.
【方法總結】　　計算隨機變量函數Y=aX+b的方差的方法:一種是先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差;另一種是應用公式D(aX+b)=a2D(X)求解.
　　某種種子每粒發芽的概率都為0.9,現播種了1000粒,對于沒有發芽的種子,每粒需再補種2粒,補種的種子數記為X,則X的方差為　　　　.
【答案】　360
【解析】　將沒有發芽的種子數記為Y,則Y~B(1000,0.1),
∴D(Y)=1000×0.1×0.9=90,
又X=2Y,∴D(X)=D(2Y)=4D(Y)=360.
探究3　隨機變量均值、方差的綜合應用
　　A,B兩臺機床同時加工零件,每生產一批數量較大的產品時,出現次品的概率如下表:
A機床
次品數X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
B機床
次品數X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
　　問題1:如何求E(X1),E(X2)
【答案】　E(X1)=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44.
E(X2)=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
問題2:在問題1中,由E(X1),E(X2)能比較兩臺機床的產品質量嗎 為什么
【答案】　不能.因為E(X1)=E(X2).
問題3:利用什么指標可以比較A,B兩臺機床加工質量
【答案】　利用樣本的方差.方差越小,加工的質量越穩定.
新知生成
　　利用均值和方差的意義分析解決實際問題的步驟:
(1)比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,因此,在實際決策問題中,需先計算均值,看一下誰的平均水平高.
(2)在均值相等的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差,分析一下誰的水平發揮相對穩定.
(3)下結論.依據均值與方差的幾何意義做出結論.
新知運用
例3　某投資公司計劃在2024年年初將1000萬元投資到“低碳”項目上,現有兩個項目供選擇.
項目一:新能源汽車,據市場調研,投資到該項目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發生的概率分別為和.
項目二:通信設備,據市場調研,投資到該項目上,到年底可能獲利50%,可能虧損30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發生的概率分別為,和.
針對以上兩個投資項目,請你為投資公司選擇一個合理的項目,并說明理由.
【解析】　若按“項目一”投資,設獲利X1萬元,
則X1的分布列為
X1 300 -150
P
　　所以E(X1)=300×+(-150)×=200(萬元),
D(X1)=(300-200)2×+(-150-200)2×=35000.
若按“項目二”投資,設獲利X2萬元,
則X2的分布列為
X2 500 -300 0
P
　　所以E(X2)=500×+(-300)×+0×=200(萬元),
D(X2)=(500-200)2×+(-300-200)2×+(0-200)2×=140000.
可知E(X1)=E(X2),D(X1)這說明雖然項目一、項目二獲利均值相等,但項目一更穩妥,所以建議該投資公司選擇項目一投資.
【方法總結】　　均值、方差在決策中的作用
(1)均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,均值越大,平均水平越高.
(2)方差反映了離散型隨機變量取值的離散波動程度,方差越大越不穩定.
(3)在決策中常結合實際情形依據均值、方差做出決斷.
　　甲、乙兩人去某公司應聘面試.該公司的面試方案如下:應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題,按照答對題目的個數進行篩選.已知6道備選題中,應聘者甲有4道題能正確完成,2道題不能正確完成;應聘者乙每道題正確完成的概率都是.每道題正確完成與否互不影響.
(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數量的概率分布,并計算其均值;
(2)請分析比較甲、乙兩人誰面試通過的可能性較大.
【解析】　(1)設X為甲正確完成面試題的數量,Y為乙正確完成面試題的數量,
由題意可得,X服從超幾何分布,
∴P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,
∴X的分布列為
X 1 2 3
P
　　∴E(X)=1×+2×+3×=2.
由題意可得,Y~B3,,
∴P(Y=0)=03=,
P(Y=1)=12==,
P(Y=2)=21==,
P(Y=3)=30=,
∴Y的分布列為
Y 0 1 2 3
P
　　∴E(Y)=0×+1×+2×+3×=2.
(2)D(X)=×(1-2)2+(2-2)2×+(3-2)2×=,
D(Y)=np(1-p)=3××=,
∵D(X)∴甲發揮的穩定性更強,則甲通過面試的概率較大.
【隨堂檢測】
1.有甲、乙兩種水稻,測得每種水稻各10株的分蘗數據,計算出樣本方差分別為D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估計 (　　).
A.甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊
B.乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊
C.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同
D.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較
【答案】　B
【解析】　∵D(X甲)>D(X乙),∴乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊.
2.已知X服從二項分布B(n,p),且E(3X+2)=9.2,D(3X+2)=12.96,則二項分布的參數n,p的值分別為 (　　).
A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4
C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1
【答案】　B
【解析】　由E(3X+2)=3E(X)+2,D(3X+2)=9D(X),且當X~B(n,p)時,E(X)=np,D(X)=np(1-p),可知解得
3.若某事件在一次試驗中發生次數的方差為0.25,則該事件在一次試驗中發生的概率為　　　　.
【答案】　0.5
【解析】　設該事件在一次試驗中發生的概率為p,事件在一次試驗中發生次數記為X,則X服從兩點分布,所以D(X)=p(1-p),所以p(1-p)=0.25,解得p=0.5.
4.編號為1,2,3的三位學生隨意入座編號為1,2,3的三個座位,每位學生坐一個座位,設與座位編號相同的學生的個數是X.
(1)求隨機變量X的概率分布列;
(2)求隨機變量X的數學期望和方差.
【解析】　(1)X的所有可能取值為0,1,3,P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=3)==.
∴X的分布列為
X 0 1 3
P
　　(2)E(X)=0×+1×+3×=1.
D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1.
23.2 課時4 離散型隨機變量的方差
【學習目標】
1.通過具體實例,理解離散型隨機變量的分布列及方差的概念.(數學抽象、數學運算)
2.能計算簡單離散型隨機變量的方差,并能解決一些實際問題.(邏輯推理、數學運算)
【自主預習】
1.離散型隨機變量的方差與樣本的方差都是變量嗎
2.D(X)的取值范圍是什么 若b為常數,則D(b)為何值
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)離散型隨機變量的方差越大, 隨機變量越穩定. (　　)
(2)若a是常數, 則D(a)=0. (　　)
(3)離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離于期望的平均程度. (　　)
(4)D(X)=E((X-E(X))2). (　　)
2.已知隨機變量X,D(X)=,則X的標準差為　　　　.
3.已知X的分布列為
X -1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
求D(X).
4.在一次投籃游戲中,每人投籃3次,每投中1次記10分,沒有投中扣5分,某人每次投中的概率為.
(1)求此人恰好投中2次的概率;
(2)求此人得分的方差.
【合作探究】
探究1　離散型隨機變量的方差
　　要從兩名同學中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據以往的成績紀錄,第一名同學擊中目標靶的環數X1的分布列為
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
　　第二名同學擊中目標靶的環數X2的分布列為
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
　　問題1: E(X1),E(X2)各為何值
問題2:能否根據X1和X2的均值來決定派哪名同學參賽
問題3:除平均中靶環數外,還有其他刻畫兩名同學各自射擊特點的指標嗎
問題4:如何定量刻畫隨機變量的穩定性
新知生成
　　方差與標準差
若離散型隨機變量X的分布列如下表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
　　則|xi-E(X)|描述了xi(i=1,2,…,n)相對于均值E(X)的偏離大小,而E{|X-E(x)|}表示平均偏離的大小,但由于絕對值運算在數學處理上有許多不便,于是用D(X)=E((X-E(X))2)=(xi-E(X))2pi來刻畫隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度.我們稱D(X)為隨機變量X的方差,其算術平方根為隨機變量X的標準差,方差記作σ2,標準差記作σ.
隨機變量的方差D(X)和標準差σ都反映了隨機變量的取值偏離于均值的平均程度.方差(標準差) 越小,則隨機變量偏離于均值的平均程度越小;反之,方差(標準差)越大,則隨機變量的取值越分散.
新知運用
例1　某小組共10人,利用假期參加義工活動.已知參加義工活動次數為1,2,3的人數分別為3,3,4.現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.
(1)設事件A為“選出的2人參加義工活動次數之和為4”,求事件A發生的概率;
(2)設X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值,求隨機變量X的分布列和數學期望與方差.
【方法總結】　　求離散型隨機變量X的均值和方差的基本步驟:(1)理解X的意義,寫出X的全部取值;(2)求X取每個值的概率;(3)寫出X的分布列;(4)求E(X),D(X).
　　袋中有形狀、大小完全相同的3個球,編號分別為1,2,3.有放回地從袋中取兩次,每次取1個球,用X表示取出的2個球中的最大號碼.
(1)寫出X的分布列;
(2)求X的均值與方差.
探究2　方差的性質以及幾個特殊分布的方差
問題1:若隨機變量X~B(1,p),如何求方差D(X)
問題2:我們知道,常數的期望是它本身,那么常數的方差是否是本身呢
新知生成
1.若X~B(1,p),則D(X)=p(1-p).
2.若X~B(n,p),則D(X)=np(1-p).
3.若Y=aX+b,a,b為常數,則D(aX+b)=a2D(X).
新知運用
例2　設隨機變量X~B(n,0.4),Y=X+2,若E(Y)=6,則D(Y)=　　　　　.
【方法總結】　　計算隨機變量函數Y=aX+b的方差的方法:一種是先求Y的分布列,再求其均值,最后求方差;另一種是應用公式D(aX+b)=a2D(X)求解.
　　某種種子每粒發芽的概率都為0.9,現播種了1000粒,對于沒有發芽的種子,每粒需再補種2粒,補種的種子數記為X,則X的方差為　　　　.
探究3　隨機變量均值、方差的綜合應用
　　A,B兩臺機床同時加工零件,每生產一批數量較大的產品時,出現次品的概率如下表:
A機床
次品數X1 0 1 2 3
P 0.7 0.2 0.06 0.04
B機床
次品數X2 0 1 2 3
P 0.8 0.06 0.04 0.10
　　問題1:如何求E(X1),E(X2)
問題2:在問題1中,由E(X1),E(X2)能比較兩臺機床的產品質量嗎 為什么
問題3:利用什么指標可以比較A,B兩臺機床加工質量
新知生成
　　利用均值和方差的意義分析解決實際問題的步驟:
(1)比較均值.離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,因此,在實際決策問題中,需先計算均值,看一下誰的平均水平高.
(2)在均值相等的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差,分析一下誰的水平發揮相對穩定.
(3)下結論.依據均值與方差的幾何意義做出結論.
新知運用
例3　某投資公司計劃在2024年年初將1000萬元投資到“低碳”項目上,現有兩個項目供選擇.
項目一:新能源汽車,據市場調研,投資到該項目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發生的概率分別為和.
項目二:通信設備,據市場調研,投資到該項目上,到年底可能獲利50%,可能虧損30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發生的概率分別為,和.
針對以上兩個投資項目,請你為投資公司選擇一個合理的項目,并說明理由.
【方法總結】　　均值、方差在決策中的作用
(1)均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,均值越大,平均水平越高.
(2)方差反映了離散型隨機變量取值的離散波動程度,方差越大越不穩定.
(3)在決策中常結合實際情形依據均值、方差做出決斷.
　　甲、乙兩人去某公司應聘面試.該公司的面試方案如下:應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題,按照答對題目的個數進行篩選.已知6道備選題中,應聘者甲有4道題能正確完成,2道題不能正確完成;應聘者乙每道題正確完成的概率都是.每道題正確完成與否互不影響.
(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數量的概率分布,并計算其均值;
(2)請分析比較甲、乙兩人誰面試通過的可能性較大.
【隨堂檢測】
1.有甲、乙兩種水稻,測得每種水稻各10株的分蘗數據,計算出樣本方差分別為D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估計 (　　).
A.甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊
B.乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊
C.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同
D.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較
2.已知X服從二項分布B(n,p),且E(3X+2)=9.2,D(3X+2)=12.96,則二項分布的參數n,p的值分別為 (　　).
A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4
C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1
3.若某事件在一次試驗中發生次數的方差為0.25,則該事件在一次試驗中發生的概率為　　　　.
4.編號為1,2,3的三位學生隨意入座編號為1,2,3的三個座位,每位學生坐一個座位,設與座位編號相同的學生的個數是X.
(1)求隨機變量X的概率分布列;
(2)求隨機變量X的數學期望和方差.
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