資源簡介

3.3 正態(tài)分布
【學習目標】
1.利用實際問題的直方圖,了解正態(tài)曲線的特征和正態(tài)曲線所表示的意義.(數(shù)學抽象)
2.能借助正態(tài)曲線理解正態(tài)曲線的性質(zhì)及意義.(數(shù)學抽象、直觀想象)
3.會根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求隨機變量在某一區(qū)間的概率.(數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析)
【自主預(yù)習】
1.正態(tài)曲線的特點是什么
2.正態(tài)曲線p(x)中參數(shù)μ,σ的意義是什么
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)正態(tài)變量函數(shù)表達式中參數(shù)μ,σ的意義分別是樣本的均值與方差. (　　)
(2)服從正態(tài)分布的隨機變量是連續(xù)型隨機變量. (　　)
(3)正態(tài)曲線是一條鐘形曲線. (　　)
(4)離散型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布密度曲線描述,連續(xù)型隨機變量的概率分布用分布列描述. (　　)
2.在某項測量中,測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0).若X在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則X在(0,2)內(nèi)取值的概率為　　　　.
3.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.8413,求P(-1<ξ≤0).
【合作探究】
探究1　正態(tài)曲線及特點
　　設(shè)x表示某產(chǎn)品的壽命(單位:h).人們對該產(chǎn)品有如下的了解:壽命小于500 h的概率為0.71,壽命在500 h~800 h的概率為0.22,壽命在800 h~1000 h的概率為0.07,由此我們可以畫出下圖.
問題1:這個圖形能告訴我們產(chǎn)品壽命在200 h~400 h的概率是多少嗎
問題2:若將組距縮小,改為下圖所示,這樣可以了解到更多信息,若將組距無限細分,會是什么形狀
問題3:正態(tài)分布描述的隨機變量X是離散型的嗎
問題4:你能寫出正態(tài)分布密度曲線的函數(shù)表達式嗎 能從函數(shù)的角度分析它的圖象特征嗎
新知生成
1.正態(tài)曲線
函數(shù)p(x)=,x∈(-∞,+∞),其中實數(shù)μ,σ(σ>0)為參數(shù),我們稱p(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.
2.正態(tài)曲線的特點
(1)曲線位于x軸上方,與x軸不相交;
(2)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱;
(3)p(x)在x=μ處達到最大值;
(4)當σ一定時,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移;
(5)當μ一定時,σ越大,正態(tài)曲線越扁平,σ越小,正態(tài)曲線越尖陡;
(6)曲線與x軸之間所夾區(qū)域的面積等于1.
3.標準正態(tài)分布
隨機變量X為服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布,簡記為X~N(μ,σ2).
特別地,當μ=0,σ2=1時稱為標準正態(tài)分布,其密度函數(shù)記為φ(x)=(-∞新知運用
一、正態(tài)分布密度函數(shù)及正態(tài)曲線
例1　已知一個正態(tài)曲線如圖所示,試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)密度函數(shù)的【解析】式,并求出總體隨機變量的期望和方差.
方法指導　給出了一個正態(tài)曲線,就給出了該曲線的對稱軸和最大值,從而就能求出總體隨機變量的期望、標準差及【解析】式.
【方法總結(jié)】　　利用圖象求正態(tài)分布密度函數(shù)的【解析】式,應(yīng)抓住圖象的兩個實質(zhì)性特點:一是對稱軸為直線x=μ;二是最大值為.這兩點確定以后,相應(yīng)的參數(shù)μ,σ的值便確定了,代入f(x)中便可求出相應(yīng)的【解析】式.
二、正態(tài)曲線的性質(zhì)
例2　某次我市高三教學質(zhì)量檢測中,甲、乙、丙三科考試成績的直方圖如圖所示(由于人數(shù)眾多,成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布),則由如圖曲線可得下列說法中正確的一項是 (　　).
A.甲科總體的標準差最小
B.丙科總體的平均數(shù)最小
C.乙科總體的標準差及平均數(shù)都居中
D.甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同
【方法總結(jié)】　　用正態(tài)曲線的性質(zhì)可以求參數(shù)μ,σ的值:(1)正態(tài)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱,由此性質(zhì)結(jié)合圖象求μ的值;(2)正態(tài)曲線在x=μ處達到峰值,由此性質(zhì)結(jié)合圖象可求σ的值;(3)由σ的大小區(qū)分曲線的“胖瘦”.
三、利用正態(tài)分布求概率
例3　(1)設(shè)隨機變量X~N(2,9),若P(X>1+c)=P(X　　(2)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,則P(-2≤ξ≤2)=(　　).
A.0.477 B.0.954 C.0.628 D.0.977
【方法總結(jié)】　　充分利用正態(tài)曲線的對稱性及面積為1的性質(zhì)求解
(1)熟記正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱,從而在關(guān)于x=μ對稱的區(qū)間上的概率相等.
(2)P(Xμ+a).
1.(多選題)下面給出的關(guān)于正態(tài)曲線的四個敘述中,正確的有(　　).
A.曲線在x軸上方,且與x軸不相交
B.當x>μ時,曲線下降,當x<μ時,曲線上升
C.當μ一定時,σ越小,總體分布越分散,σ越大,總體分布越集中
D.曲線關(guān)于直線x=μ對稱,且當x=μ時,位于最高點
2.若隨機變量X的概率分布密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象,且f(x)=,求這個隨機變量X的均值與標準差.
3.某班有50名學生,一次數(shù)學考試的成績X服從正態(tài)分布N(110,102).已知P(100探究2　正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值
新知生成
1.正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率
落在區(qū)間(μ-σ,μ+σ)的概率約為68.27%;
落在區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ)的概率約為95.45%;
落在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)的概率約為99.73%.
2.3σ原則
在實際應(yīng)用中,通常認為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)之間的值,并簡稱為3σ原則.
新知運用
例4　在某次數(shù)學考試中,考生的成績X~N(90,100).
(1)求考試成績X在(70,110)內(nèi)的概率;
(2)若此次考試共有2000名考生,試估計考試成績在(80,100)內(nèi)的考生人數(shù).
【方法總結(jié)】　　解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點:(1)對稱軸x=μ;(2)標準差σ;(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值,由μ,σ,分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化,使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間,從而求出所求概率.
注意:只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為直線x=0.
1.若某校高一年級1000名學生的某次考試成績X服從正態(tài)分布N(90,152),則此次考試成績在區(qū)間(60,120)內(nèi)的學生大約有 (　　)
.(附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σA.997人 B.972人 C.955人 D.683人
2.對一個物理量做n次測量,并以測量結(jié)果的平均值作為該物理量值的最后結(jié)果.已知最后結(jié)果的誤差εn~N0,,為使誤差εn在(-0.5,0.5)內(nèi)的概率不小于0.9545,至少要測量　　　　次.(附:若X~N(μ,σ),則P(|X-μ|<2σ)≈0.9545)
探究3　正態(tài)分布在實際問題中的應(yīng)用
例5　某共享單車集團為了進行項目優(yōu)化,對某市月卡用戶隨機抽取了200人,統(tǒng)計了他們在同一月的使用次數(shù)(假設(shè)每月使用次數(shù)均在8至36之間).將樣本數(shù)據(jù)分成[8,12),[12,16),[16,20),[20,24),[24,28),[28,32),[32,36]七組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,并用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布.
(1)求圖中a的值;
(2)設(shè)該市月卡用戶每月使用次數(shù)近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本的平均數(shù)(各區(qū)間數(shù)據(jù)用中點值近似計算),取σ=3.16,若該城市恰有1萬個用戶,試估計這些用戶中,月使用次數(shù)X位于區(qū)間[12.36,25]內(nèi)的人數(shù);
(3)現(xiàn)從該市月卡用戶中隨機抽取10人,其中月使用次數(shù)在[24,28)的有Y人,記“事件Y=k”的概率為P(Y=k),其中k=0,1,2,…,10,當P(Y=k)最大時,求k的值.
參考數(shù)據(jù):若隨機變量ζ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤ζ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤ζ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤ζ≤μ+3σ)≈0.9973.
【方法總結(jié)】　　利用3σ原則求概率問題時,要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ,σ進行對比聯(lián)系,確定它們屬于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一個.
　　某市高二英語會考成績X服從正態(tài)分布N(μ,9),且P(X≤90)=P(X≥96),已知英語成績不低于90分為及格.
(1)求該市高二英語會考成績的及格率(結(jié)果精確到0.01);
(2)若從該市參加高二英語會考的學生中任意選取100名,設(shè)Y為這100名學生中英語成績及格的人數(shù),利用(1)的結(jié)果,求D(2Y-1).
附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
【隨堂檢測】
1.以下關(guān)于正態(tài)分布密度曲線的說法中,正確的個數(shù)是 (　　).
①曲線都在x軸的上方,左右兩側(cè)與x軸無限接近,最終可與x軸相交;
②曲線關(guān)于直線x=μ對稱;
③曲線呈現(xiàn)“中間高,兩邊低”的鐘形形狀;
④曲線與x軸之間的面積為1.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知正態(tài)曲線f(x)=,則(　　).
A.μ=2,σ=3 B.μ=3,σ=2
C.μ=2,σ= D.μ=3,σ=
3.設(shè)隨機變量X~N(μ,σ2),且P(X≤c)=P(X>c),則c=(　　).
A.0 B.σ C.-μ D.μ
4.工廠制造的某機械零件尺寸X服從正態(tài)分布N4,,問當在一次正常的試驗中取1000個零件時,不屬于區(qū)間(3,5)這個尺寸范圍的零件大約有多少個
23.3 正態(tài)分布
【學習目標】
1.利用實際問題的直方圖,了解正態(tài)曲線的特征和正態(tài)曲線所表示的意義.(數(shù)學抽象)
2.能借助正態(tài)曲線理解正態(tài)曲線的性質(zhì)及意義.(數(shù)學抽象、直觀想象)
3.會根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)求隨機變量在某一區(qū)間的概率.(數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析)
【自主預(yù)習】
1.正態(tài)曲線的特點是什么
【答案】　正態(tài)曲線的特點是中間高,兩邊低,左右大致對稱.
2.正態(tài)曲線p(x)中參數(shù)μ,σ的意義是什么
【答案】　參數(shù)μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數(shù),可以用樣本均值E(X)去估計;σ是衡量隨機變量總體波動大小的特征數(shù),可以用樣本方差D(X)去估計.
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)正態(tài)變量函數(shù)表達式中參數(shù)μ,σ的意義分別是樣本的均值與方差. (　　)
(2)服從正態(tài)分布的隨機變量是連續(xù)型隨機變量. (　　)
(3)正態(tài)曲線是一條鐘形曲線. (　　)
(4)離散型隨機變量的概率分布規(guī)律用分布密度曲線描述,連續(xù)型隨機變量的概率分布用分布列描述. (　　)
【答案】　　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.在某項測量中,測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0).若X在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4,則X在(0,2)內(nèi)取值的概率為　　　　.
【答案】　0.8
【解析】　∵X服從正態(tài)分布N(1,σ2),
∴X在(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相同,均為0.4.
∴X在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.4+0.4=0.8.
3.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.8413,求P(-1<ξ≤0).
【解析】　如圖所示,因為P(ξ≤1)=0.8413,所以P(ξ>1)=1-0.8413=0.1587,所以P(ξ≤-1)=0.1587,所以P(-1<ξ≤0)=0.5-0.1587=0.3413.
【合作探究】
探究1　正態(tài)曲線及特點
　　設(shè)x表示某產(chǎn)品的壽命(單位:h).人們對該產(chǎn)品有如下的了解:壽命小于500 h的概率為0.71,壽命在500 h~800 h的概率為0.22,壽命在800 h~1000 h的概率為0.07,由此我們可以畫出下圖.
問題1:這個圖形能告訴我們產(chǎn)品壽命在200 h~400 h的概率是多少嗎
【答案】　不能.
問題2:若將組距縮小,改為下圖所示,這樣可以了解到更多信息,若將組距無限細分,會是什么形狀
【答案】　 若組距無限細分,一般是形狀像“鐘”的光滑曲線,即正態(tài)曲線.
問題3:正態(tài)分布描述的隨機變量X是離散型的嗎
【答案】　 不是.它是連續(xù)的.
問題4:你能寫出正態(tài)分布密度曲線的函數(shù)表達式嗎 能從函數(shù)的角度分析它的圖象特征嗎
【答案】　正態(tài)分布密度曲線的函數(shù)的【解析】式為φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞),其中實數(shù)μ,σ(σ>0)為參數(shù),
由函數(shù)表達式可知φ(x)>0,且函數(shù)φ(x)的圖象關(guān)于直線x=μ對稱.
新知生成
1.正態(tài)曲線
函數(shù)p(x)=,x∈(-∞,+∞),其中實數(shù)μ,σ(σ>0)為參數(shù),我們稱p(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.
2.正態(tài)曲線的特點
(1)曲線位于x軸上方,與x軸不相交;
(2)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱;
(3)p(x)在x=μ處達到最大值;
(4)當σ一定時,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移;
(5)當μ一定時,σ越大,正態(tài)曲線越扁平,σ越小,正態(tài)曲線越尖陡;
(6)曲線與x軸之間所夾區(qū)域的面積等于1.
3.標準正態(tài)分布
隨機變量X為服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布,簡記為X~N(μ,σ2).
特別地,當μ=0,σ2=1時稱為標準正態(tài)分布,其密度函數(shù)記為φ(x)=(-∞新知運用
一、正態(tài)分布密度函數(shù)及正態(tài)曲線
例1　已知一個正態(tài)曲線如圖所示,試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)密度函數(shù)的【解析】式,并求出總體隨機變量的期望和方差.
方法指導　給出了一個正態(tài)曲線,就給出了該曲線的對稱軸和最大值,從而就能求出總體隨機變量的期望、標準差及【解析】式.
【解析】　從給出的正態(tài)曲線可知,該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=20對稱,最大值是,所以μ=20.由=,解得σ=2.
所以正態(tài)密度函數(shù)的【解析】式為f(x)=·,x∈R,
總體隨機變量的期望μ=20,方差σ2=4.
【方法總結(jié)】　　利用圖象求正態(tài)分布密度函數(shù)的【解析】式,應(yīng)抓住圖象的兩個實質(zhì)性特點:一是對稱軸為直線x=μ;二是最大值為.這兩點確定以后,相應(yīng)的參數(shù)μ,σ的值便確定了,代入f(x)中便可求出相應(yīng)的【解析】式.
二、正態(tài)曲線的性質(zhì)
例2　某次我市高三教學質(zhì)量檢測中,甲、乙、丙三科考試成績的直方圖如圖所示(由于人數(shù)眾多,成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布),則由如圖曲線可得下列說法中正確的一項是 (　　).
A.甲科總體的標準差最小
B.丙科總體的平均數(shù)最小
C.乙科總體的標準差及平均數(shù)都居中
D.甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同
【答案】　A
【解析】　由題中圖象可知三科總體的平均數(shù)(均值)相等,由正態(tài)密度曲線的性質(zhì),可知σ越大,正態(tài)曲線越扁平,σ越小,正態(tài)曲線越尖陡,故三科總體的標準差從小到大依次為甲、乙、丙.故選A.
【方法總結(jié)】　　用正態(tài)曲線的性質(zhì)可以求參數(shù)μ,σ的值:(1)正態(tài)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱,由此性質(zhì)結(jié)合圖象求μ的值;(2)正態(tài)曲線在x=μ處達到峰值,由此性質(zhì)結(jié)合圖象可求σ的值;(3)由σ的大小區(qū)分曲線的“胖瘦”.
三、利用正態(tài)分布求概率
例3　(1)設(shè)隨機變量X~N(2,9),若P(X>1+c)=P(X　　(2)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,則P(-2≤ξ≤2)=(　　).
A.0.477 B.0.954 C.0.628 D.0.977
【答案】　(1)2　(2)B
【解析】　(1)由X~N(2,9)可知,正態(tài)密度曲線圖象關(guān)于直線x=2對稱(如圖所示),
又P(X>1+c)=P(X(2)畫出正態(tài)曲線,如圖所示,結(jié)合圖象知,P(-2≤ξ≤2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=1-2×0.023=0.954.
【方法總結(jié)】　　充分利用正態(tài)曲線的對稱性及面積為1的性質(zhì)求解
(1)熟記正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱,從而在關(guān)于x=μ對稱的區(qū)間上的概率相等.
(2)P(Xμ+a).
1.(多選題)下面給出的關(guān)于正態(tài)曲線的四個敘述中,正確的有(　　).
A.曲線在x軸上方,且與x軸不相交
B.當x>μ時,曲線下降,當x<μ時,曲線上升
C.當μ一定時,σ越小,總體分布越分散,σ越大,總體分布越集中
D.曲線關(guān)于直線x=μ對稱,且當x=μ時,位于最高點
【答案】　ABD
【解析】　只有C錯誤,因為當μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,總體分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,總體分布越分散.
2.若隨機變量X的概率分布密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象,且f(x)=,求這個隨機變量X的均值與標準差.
【解析】　由正態(tài)曲線f(x)=,知即　
故該隨機變量X的均值為10,標準差為2.
3.某班有50名學生,一次數(shù)學考試的成績X服從正態(tài)分布N(110,102).已知P(100【答案】　8
【解析】　∵考試的成績X服從正態(tài)分布N(110,102),
∴該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=110對稱.
又∵P(100∴P(X>120)=P(X≤100)=(1-0.34×2)=0.16.
∴該班數(shù)學成績在120分以上的人數(shù)約為0.16×50=8.
探究2　正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值
新知生成
1.正態(tài)分布在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率
落在區(qū)間(μ-σ,μ+σ)的概率約為68.27%;
落在區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ)的概率約為95.45%;
落在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)的概率約為99.73%.
2.3σ原則
在實際應(yīng)用中,通常認為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)之間的值,并簡稱為3σ原則.
新知運用
例4　在某次數(shù)學考試中,考生的成績X~N(90,100).
(1)求考試成績X在(70,110)內(nèi)的概率;
(2)若此次考試共有2000名考生,試估計考試成績在(80,100)內(nèi)的考生人數(shù).
【解析】　(1)依題意,X~N(90,100),∴μ=90,σ=10.
P(70(2)∵P(80即考試成績在(80,100)內(nèi)的概率約為0.6827,
∴考試成績在(80,100)內(nèi)的考生大約有2000×0.6827≈1365(人).
【方法總結(jié)】　　解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點:(1)對稱軸x=μ;(2)標準差σ;(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值,由μ,σ,分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化,使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間,從而求出所求概率.
注意:只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為直線x=0.
1.若某校高一年級1000名學生的某次考試成績X服從正態(tài)分布N(90,152),則此次考試成績在區(qū)間(60,120)內(nèi)的學生大約有 (　　)
.(附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σA.997人 B.972人 C.955人 D.683人
【答案】　C
【解析】　依題意可知μ=90,σ=15
,故P(602.對一個物理量做n次測量,并以測量結(jié)果的平均值作為該物理量值的最后結(jié)果.已知最后結(jié)果的誤差εn~N0,,為使誤差εn在(-0.5,0.5)內(nèi)的概率不小于0.9545,至少要測量　　　　次.(附:若X~N(μ,σ),則P(|X-μ|<2σ)≈0.9545)
【答案】　32
【解析】　P(|εn-μ|<2σ)=0.9545,又μ=0,σ2=,
即P(μ-2σ<εn<μ+2σ)=P-2<εn<2≈0.9545,
由題意知2≤,所以n≥32.
探究3　正態(tài)分布在實際問題中的應(yīng)用
例5　某共享單車集團為了進行項目優(yōu)化,對某市月卡用戶隨機抽取了200人,統(tǒng)計了他們在同一月的使用次數(shù)(假設(shè)每月使用次數(shù)均在8至36之間).將樣本數(shù)據(jù)分成[8,12),[12,16),[16,20),[20,24),[24,28),[28,32),[32,36]七組,繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,并用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布.
(1)求圖中a的值;
(2)設(shè)該市月卡用戶每月使用次數(shù)近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本的平均數(shù)(各區(qū)間數(shù)據(jù)用中點值近似計算),取σ=3.16,若該城市恰有1萬個用戶,試估計這些用戶中,月使用次數(shù)X位于區(qū)間[12.36,25]內(nèi)的人數(shù);
(3)現(xiàn)從該市月卡用戶中隨機抽取10人,其中月使用次數(shù)在[24,28)的有Y人,記“事件Y=k”的概率為P(Y=k),其中k=0,1,2,…,10,當P(Y=k)最大時,求k的值.
參考數(shù)據(jù):若隨機變量ζ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤ζ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤ζ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤ζ≤μ+3σ)≈0.9973.
【解析】　(1)由(0.01+0.02+0.03×3+a+0.08)×4=1,得a=0.05.
(2)μ=(10×0.02+14×0.03+18×0.03+22×0.08+26×0.05+30×0.03+34×0.01)×4=21.84,又σ=3.16,
故P(12.36≤X≤25)=P(μ-3σ≤X≤μ+σ)≈=0.8400,10000×0.8400=8400(人),
所以估計1萬個用戶中,月使用次數(shù)X位于區(qū)間[12.36,25]內(nèi)的人數(shù)為8400.
(3)依題意知Y~B(10,0.2),則P(Y=k)=×0.2k×0.810-k,其中k=0,1,2,…,10,且=,=,當P(Y=k)>P(Y=k-1)時,11-k>4k,則k<2.2;當P(Y=k)>P(Y=k+1)時,4k+4>10-k,則k>1.2.
所以當k=2時,P(Y=k)取值最大.
【方法總結(jié)】　　利用3σ原則求概率問題時,要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ,σ進行對比聯(lián)系,確定它們屬于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一個.
　　某市高二英語會考成績X服從正態(tài)分布N(μ,9),且P(X≤90)=P(X≥96),已知英語成績不低于90分為及格.
(1)求該市高二英語會考成績的及格率(結(jié)果精確到0.01);
(2)若從該市參加高二英語會考的學生中任意選取100名,設(shè)Y為這100名學生中英語成績及格的人數(shù),利用(1)的結(jié)果,求D(2Y-1).
附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.
【解析】　(1)因為P(X≤90)=P(X≥96),所以μ==93,又σ2=9,所以σ=3,
所以P(X≥90)=P(X≥μ-σ)=0.5+P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.5+=0.84135≈0.84.
故該市高二英語會考成績的及格率約為0.84.
(2)依題意,可得Y~B(100,0.84),
所以D(Y)=100×0.84×(1-0.84)=13.44,
所以D(2Y-1)=22D(Y)=53.76.
【隨堂檢測】
1.以下關(guān)于正態(tài)分布密度曲線的說法中,正確的個數(shù)是 (　　).
①曲線都在x軸的上方,左右兩側(cè)與x軸無限接近,最終可與x軸相交;
②曲線關(guān)于直線x=μ對稱;
③曲線呈現(xiàn)“中間高,兩邊低”的鐘形形狀;
④曲線與x軸之間的面積為1.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　C
【解析】　由正態(tài)分布密度曲線的特點,易知②③④說法正確,對于①,曲線與x軸不相交,故①錯誤.
2.已知正態(tài)曲線f(x)=,則(　　).
A.μ=2,σ=3 B.μ=3,σ=2
C.μ=2,σ= D.μ=3,σ=
【答案】　C
【解析】　由f(x)=,得μ=2,σ=.
3.設(shè)隨機變量X~N(μ,σ2),且P(X≤c)=P(X>c),則c=(　　).
A.0 B.σ C.-μ D.μ
【答案】　D
【解析】　由P(X≤c)=P(X>c),知直線x=c為對稱軸,又由X~N(μ,σ2)知對稱軸為直線x=μ,故c=μ.
4.工廠制造的某機械零件尺寸X服從正態(tài)分布N4,,問當在一次正常的試驗中取1000個零件時,不屬于區(qū)間(3,5)這個尺寸范圍的零件大約有多少個
【解析】　∵X~N4,,∴μ=4,σ=.
∴不屬于區(qū)間(3,5)的概率P
=P(X≤3)+P(X≥5)=1-P(31000×0.0027≈3(個),即不屬于區(qū)間(3,5)這個尺寸范圍的零件大約有3個.
2

展開更多......

收起↑