資源簡介

4.2 課時1 回歸直線方程
【學習目標】
1.了解最小二乘法的思想及意義.(數學抽象)
2.會根據給出的回歸方程的系數公式求一元線性回歸方程.(數學運算、數據分析)
【自主預習】
1.什么是回歸分析
【答案】　由散點圖求出回歸直線并進行統計推斷的過程.
2.求回歸直線方程的主要方法是什么
【答案】　最小二乘法.
3.任何一組數據都可以由最小二乘法得出回歸方程嗎
【答案】　用最小二乘法求回歸方程的前提是先判斷所給數據是否具有線性相關關系(可利用散點圖來判斷),否則求出的回歸方程是無意義的.
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)對于任意給定的兩個變量的統計數據,都可以作出散點圖. (　　)
(2)線性回歸方程最能代表觀測值x,y之間的線性關系,且回歸直線過樣本中心(,). (　　)
(3)利用線性回歸方程求出的值是準確值. (　　)
(4)若回歸系數是負的,則y的值隨x的增大而減小. (　　)
【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.變量y對x的回歸方程的意義是(　　).
A.表示y與x之間的函數關系
B.表示y與x之間的線性關系
C.反映y與x之間的真實關系
D.反映y與x之間的真實關系達到最大限度的吻合
【答案】　D
【解析】　線性回歸方程最能代表觀測值x,y之間的線性相關關系,反映y與x之間的真實關系達到最大限度的吻合.
3.設有一個線性回歸方程為y=-1.5x+2,則變量x每增加1個單位,(　　).
A.y平均增加1.5個單位
B.y平均增加2個單位
C.y平均減少1.5個單位
D.y平均減少2個單位
【答案】　C
【解析】　因為回歸方程的斜率為-1.5,所以變量x每增加1個單位,y平均減少1.5個單位.
4.某工廠對某產品的產量與成本的資料分析后有如下數據:
產量x/千件 2 3 5 6
成本y/萬元 7 8 9 12
由表中數據得到的線性回歸方程=x+中=1.1,則預測當產量為9千件時,成本約為　　　　萬元.
【答案】　14.5
【解析】　由表中數據得=4,=9,代入線性回歸方程得=4.6,∴當x=9時,=1.1×9+4.6=14.5.
【合作探究】
探究1　回歸直線方程
問題1:在一元線性回歸模型中,變量y由變量x唯一確定嗎
【答案】　不唯一.y值由x和隨機誤差e共同確定,即自變量x只能解釋部分y的變化.
問題2:在一元線性回歸模型yi=+xi+ei中,隨機誤差ei產生的主要原因有哪些
【答案】　(1)所用的確定性函數不恰當;
(2)忽略了某些因素的影響;
(3)存在觀測誤差.
問題3:回歸分析中,利用線性回歸方程求出的函數值一定是真實值嗎 為什么
【答案】　不一定是真實值.利用線性回歸方程求的值,在很多時候是個預測值.例如,人的體重與身高存在一定的線性關系,但體重除了受身高的影響外,還受其他因素的影響,如飲食習慣,是否喜歡運動等.
新知生成
1.回歸直線、回歸直線方程
找出與散點圖中各點散布趨勢相似的直線,使各點經過或充分靠近該直線,這樣所得到的直線叫作回歸直線,這條直線的方程叫作回歸直線方程.
2.回歸分析
由散點圖求出回歸直線并進行統計推斷的過程叫作回歸分析.
3.一元線性回歸方程
在回歸分析中,被預測或被解釋的變量稱為因變量,用y表示.用來預測或解釋因變量的變量稱為自變量,用x表示.如果具有相關關系的兩個變量x,y可用方程y=a+bx來近似刻畫,那么稱y=a+bx為y關于x的一元線性回歸方程,其中a,b稱為回歸系數.
由于我們是利用樣本數據(一組觀測值)去估計總體的回歸直線方程,得到估計的回歸直線方程形式為=+x.
4.一元線性回歸模型
我們把yi=+xi+ei(i=1,2,…,n)這一描述因變量y如何依賴于自變量 x和隨機誤差ei的方程稱為一元線性回歸模型.
新知運用
例1　某公司為了預測下月的產品銷售情況,找出了近7個月的產品銷售量y(單位:萬件)的統計表:
月份代碼t 1 2 3 4 5 6 7
銷售量y/萬件 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
　　但其中數據被污損看不清,經查證yi=9.32,tiyi=40.17,=0.55.
(1)請用相關系數r說明銷售量y與月份代碼t之間有很強的線性相關關系(當>0.8時,認為兩個變量有很強的線性相關關系);
(2)若=0.10t+0.93,公司經營期間的廣告宣傳費(單位:萬元)xi=(i=1,2,…),每件產品的銷售價為10元,預測第8個月的毛利潤能否突破15萬元,并說明理由(毛利潤=銷售金額-廣告宣傳費).
參考數據:≈2.65,≈1.41.
【解析】　(1)由題意得=4,=28,(ti-)(yi-)=tiyi-yi=40.17-4×9.32=2.89.
　　∴rty=≈≈0.99>0.8,
∴銷售量y與月份代碼t之間有很強的線性相關關系.
(2)不能,理由如下:當t=8時,=0.10×8+0.93=1.73,而10×1.73-≈17.3-2×1.41=14.48萬元<15萬元,
∴第8個月的毛利潤不能突破15萬元.
【方法總結】　　用線性回歸方程估計總體的一般步驟:(1)先判斷相關關系,作出散點圖判斷或利用相關系數判斷;(2)根據線性回歸方程對總體進行估計.
一臺機器按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺點,每小時生產有缺點的零件的多少隨機器運轉速度的變化而變化,下表為抽樣試驗的結果:
轉速x/(轉/秒) 16 14 12 8
每小時生產有缺點的零件數y/件 11 9 8 5
　　(1)畫出散點圖;
(2)如果y與x有線性相關關系,請畫出一條直線近似地表示這種線性關系;
(3)在實際生產中,若它們的關系可用方程y=x-來近似刻畫,允許每小時生產的產品中有缺點的零件最多為10件,那么機器的運轉速度應控制在什么范圍內
【解析】　(1)散點圖如圖所示:
(2)近似直線如圖所示:
(3)由y≤10得x-≤10,解得x≤≈14.9.所以機器的運轉速度應控制在14轉/秒內.
探究2　最小二乘法
問題1:一個好的線性關系與散點圖中各點的位置應具有怎樣的關系
【答案】　整體上最接近.
問題2:設直線方程為y=a+bx,任意給定一個樣本點A(xi,yi),用什么樣的方法刻畫點與直線的距離更方便有效
【答案】　如圖,
(法一)點到直線的距離公式d=.
(法二)[yi-(a+bxi)]2.
顯然法二比法一更方便計算,所以我們用它表示二者之間的接近程度.
問題3: 線性回歸方程是否經過定點
【答案】　線性回歸方程過定點(,).
新知生成
1.最小二乘法
使“隨機誤差平方和最小”的方法叫作最小二乘法.
2.,的計算公式
==,=-b.此時,用最小二乘法得到的回歸直線方程為=x+,其中是回歸直線在y軸上的截距,是回歸直線的斜率.
新知運用
例2　某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析,得下表數據:
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
　　(1)請畫出上表數據的散點圖;
(2)請根據上表提供的數據,用最小二乘法求出y關于x的回歸直線方程=x+;
(3)試根據求出的回歸直線方程,預測記憶力為13的同學的判斷力.
【解析】　(1)散點圖如圖所示:
(2)==9,==4,
=62+82+102+122=344,
xiyi=6×2+8×3+10×5+12×6=158,
===0.7,
=-=4-0.7×9=-2.3,
故回歸直線方程為=0.7x-2.3.
(3)由(2)中回歸直線方程可知,當x=13時,=0.7×13-2.3=6.8,
即預測記憶力為13的同學的判斷力為6.8.
【方法總結】　　求解線性回歸方程及預測的步驟:
(1)利用散點圖判斷兩個變量是否具有線性相關關系;
(2)列表求出,, , xiyi;
(3)利用相應的公式計算,的值;
(4)寫出線性回歸方程,并利用線性回歸方程進行預測.
　　從中國教育在線官方公布的考研動機調查來看,本科生扎堆考研的原因大概集中在這6個方面:本科就業壓力大,提升競爭力;通過考研選擇真正感興趣的專業;為了獲得學歷;繼續深造;隨大流;有名校情結.如圖,這是2015—2019年全國碩士研究生報考人數趨勢圖(單位:萬人)的折線圖.
(1)求y關于t的線性回歸方程;
(2)根據(1)中的回歸方程,預測2023年全國碩士研究生的報考人數.
參考數據:(ti-)(yi-)=311.
參考公式:回歸方程=+t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別是=,=-.
【解析】　(1)由題中數據計算得=×(1+2+3+4+5)=3,
==214.2,
=(-2)2+(-1)2+02+12+22=10,
所以===31.1,
所以=-=214.2-31.1×3=120.9,
故y關于t的線性回歸方程為=31.1t+120.9.
(2)將2023年對應的t=9代入線性回歸方程得=31.1×9+120.9=400.8,
所以預測2023年全國碩士研究生的報考人數為400.8萬人.
【隨堂檢測】
1.已知兩個變量x和y之間有線性相關關系,經調查得到如下樣本數據:
x 3 4 5 6 7
y 3.5 2.4 1.1 -0.2 -1.3
根據表格中的數據求得回歸方程=x+,則下列說法正確的是(　　).
A.>0,>0 B.>0,<0
C.<0,>0 D.<0,<0
【答案】　B
【解析】　由已知數據,可知y隨著x的增大而減小,故變量x和變量y之間存在負相關關系,∴<0,當x=0時,=>3.5>0,即>0,<0.
2.在一次試驗中,測得(x,y)的四組值分別為(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),則y與x之間的回歸直線方程為(　　).
A.y=x+1 B.y=x+2
C.y=2x+1 D.y=x-1
【答案】　A
【解析】　由題意得==2.5,==3.5,因為回歸直線過樣本中心(,),故A正確.
3.由變量x與y相對應的一組成對樣本數據(1,y1),(5,y2),(7,y3),(13,y4),(19,y5)得到的回歸直線方程為=2x+45,則=　　　　.
【答案】　63
【解析】　∵=×(1+5+7+13+19)=9,=2+45,
∴=2×9+45=63.
4.某公司對廣告費用x和銷售額y進行統計分析,得下表數據:
x 6 8 10 12
y 2 4 8 10
已知廣告費用x和銷售額y是線性相關的,求y關于x的回歸直線方程.
　　【解析】　由已知得==9,==6,
=62+82+102+122=344,xiyi=6×2+8×4+10×8+12×10=244,
則===1.4,=-=6-1.4×9=-6.6,
故所求的回歸直線方程為y=1.4x-6.6.
24.2 課時1 回歸直線方程
【學習目標】
1.了解最小二乘法的思想及意義.(數學抽象)
2.會根據給出的回歸方程的系數公式求一元線性回歸方程.(數學運算、數據分析)
【自主預習】
1.什么是回歸分析
2.求回歸直線方程的主要方法是什么
3.任何一組數據都可以由最小二乘法得出回歸方程嗎
1.判斷下列結論是否正確.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)對于任意給定的兩個變量的統計數據,都可以作出散點圖. (　　)
(2)線性回歸方程最能代表觀測值x,y之間的線性關系,且回歸直線過樣本中心(,). (　　)
(3)利用線性回歸方程求出的值是準確值. (　　)
(4)若回歸系數是負的,則y的值隨x的增大而減小. (　　)
2.變量y對x的回歸方程的意義是(　　).
A.表示y與x之間的函數關系
B.表示y與x之間的線性關系
C.反映y與x之間的真實關系
D.反映y與x之間的真實關系達到最大限度的吻合
3.設有一個線性回歸方程為y=-1.5x+2,則變量x每增加1個單位,(　　).
A.y平均增加1.5個單位
B.y平均增加2個單位
C.y平均減少1.5個單位
D.y平均減少2個單位
4.某工廠對某產品的產量與成本的資料分析后有如下數據:
產量x/千件 2 3 5 6
成本y/萬元 7 8 9 12
由表中數據得到的線性回歸方程=x+中=1.1,則預測當產量為9千件時,成本約為　　　　萬元.
【合作探究】
探究1　回歸直線方程
問題1:在一元線性回歸模型中,變量y由變量x唯一確定嗎
問題2:在一元線性回歸模型yi=+xi+ei中,隨機誤差ei產生的主要原因有哪些
問題3:回歸分析中,利用線性回歸方程求出的函數值一定是真實值嗎 為什么
新知生成
1.回歸直線、回歸直線方程
找出與散點圖中各點散布趨勢相似的直線,使各點經過或充分靠近該直線,這樣所得到的直線叫作回歸直線,這條直線的方程叫作回歸直線方程.
2.回歸分析
由散點圖求出回歸直線并進行統計推斷的過程叫作回歸分析.
3.一元線性回歸方程
在回歸分析中,被預測或被解釋的變量稱為因變量,用y表示.用來預測或解釋因變量的變量稱為自變量,用x表示.如果具有相關關系的兩個變量x,y可用方程y=a+bx來近似刻畫,那么稱y=a+bx為y關于x的一元線性回歸方程,其中a,b稱為回歸系數.
由于我們是利用樣本數據(一組觀測值)去估計總體的回歸直線方程,得到估計的回歸直線方程形式為=+x.
4.一元線性回歸模型
我們把yi=+xi+ei(i=1,2,…,n)這一描述因變量y如何依賴于自變量 x和隨機誤差ei的方程稱為一元線性回歸模型.
新知運用
例1　某公司為了預測下月的產品銷售情況,找出了近7個月的產品銷售量y(單位:萬件)的統計表:
月份代碼t 1 2 3 4 5 6 7
銷售量y/萬件 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7
　　但其中數據被污損看不清,經查證yi=9.32,tiyi=40.17,=0.55.
(1)請用相關系數r說明銷售量y與月份代碼t之間有很強的線性相關關系(當>0.8時,認為兩個變量有很強的線性相關關系);
(2)若=0.10t+0.93,公司經營期間的廣告宣傳費(單位:萬元)xi=(i=1,2,…),每件產品的銷售價為10元,預測第8個月的毛利潤能否突破15萬元,并說明理由(毛利潤=銷售金額-廣告宣傳費).
參考數據:≈2.65,≈1.41.
【方法總結】　　用線性回歸方程估計總體的一般步驟:(1)先判斷相關關系,作出散點圖判斷或利用相關系數判斷;(2)根據線性回歸方程對總體進行估計.
一臺機器按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺點,每小時生產有缺點的零件的多少隨機器運轉速度的變化而變化,下表為抽樣試驗的結果:
轉速x/(轉/秒) 16 14 12 8
每小時生產有缺點的零件數y/件 11 9 8 5
　　(1)畫出散點圖;
(2)如果y與x有線性相關關系,請畫出一條直線近似地表示這種線性關系;
(3)在實際生產中,若它們的關系可用方程y=x-來近似刻畫,允許每小時生產的產品中有缺點的零件最多為10件,那么機器的運轉速度應控制在什么范圍內
探究2　最小二乘法
問題1:一個好的線性關系與散點圖中各點的位置應具有怎樣的關系
問題2:設直線方程為y=a+bx,任意給定一個樣本點A(xi,yi),用什么樣的方法刻畫點與直線的距離更方便有效
問題3: 線性回歸方程是否經過定點
新知生成
1.最小二乘法
使“隨機誤差平方和最小”的方法叫作最小二乘法.
2.,的計算公式
==,=-b.此時,用最小二乘法得到的回歸直線方程為=x+,其中是回歸直線在y軸上的截距,是回歸直線的斜率.
新知運用
例2　某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統計分析,得下表數據:
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
　　(1)請畫出上表數據的散點圖;
(2)請根據上表提供的數據,用最小二乘法求出y關于x的回歸直線方程=x+;
(3)試根據求出的回歸直線方程,預測記憶力為13的同學的判斷力.
【方法總結】　　求解線性回歸方程及預測的步驟:
(1)利用散點圖判斷兩個變量是否具有線性相關關系;
(2)列表求出,, , xiyi;
(3)利用相應的公式計算,的值;
(4)寫出線性回歸方程,并利用線性回歸方程進行預測.
　　從中國教育在線官方公布的考研動機調查來看,本科生扎堆考研的原因大概集中在這6個方面:本科就業壓力大,提升競爭力;通過考研選擇真正感興趣的專業;為了獲得學歷;繼續深造;隨大流;有名校情結.如圖,這是2015—2019年全國碩士研究生報考人數趨勢圖(單位:萬人)的折線圖.
(1)求y關于t的線性回歸方程;
(2)根據(1)中的回歸方程,預測2023年全國碩士研究生的報考人數.
參考數據:(ti-)(yi-)=311.
參考公式:回歸方程=+t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別是=,=-.
【隨堂檢測】
1.已知兩個變量x和y之間有線性相關關系,經調查得到如下樣本數據:
x 3 4 5 6 7
y 3.5 2.4 1.1 -0.2 -1.3
根據表格中的數據求得回歸方程=x+,則下列說法正確的是(　　).
A.>0,>0 B.>0,<0
C.<0,>0 D.<0,<0
2.在一次試驗中,測得(x,y)的四組值分別為(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),則y與x之間的回歸直線方程為(　　).
A.y=x+1 B.y=x+2
C.y=2x+1 D.y=x-1
3.由變量x與y相對應的一組成對樣本數據(1,y1),(5,y2),(7,y3),(13,y4),(19,y5)得到的回歸直線方程為=2x+45,則=　　　　.
4.某公司對廣告費用x和銷售額y進行統計分析,得下表數據:
x 6 8 10 12
y 2 4 8 10
已知廣告費用x和銷售額y是線性相關的,求y關于x的回歸直線方程.
　
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