資源簡介

4.2 課時2 一元線性回歸模型的應用
【學習目標】
1.理解散點圖在回歸模型選擇中的作用.(直觀想象)
2.掌握不同模型擬合數據效果的評價方法.(數據分析、數學運算)
3.熟悉一元線性回歸模型思想的基本步驟.(數據分析、數學運算)
【課前檢測】
1.設有一個回歸直線方程為y=-5.5x+2,則變量x每增加1個單位,(　　).
A.y平均增加5.5個單位 B.y平均增加2個單位
C.y平均減少5.5個單位 D.y平均減少2個單位
2.為了解兒子身高與其父親身高的關系,隨機抽取5對父子的身高數據如下:
父親身高x/cm 174 176 176 176 178
兒子身高y/cm 175 175 176 177 177
則y關于x的線性回歸方程為 (　　)
A.=x-1 B.=x+1
C.=x+88 D.=176
3.用模型y=cekx擬合一組數據時,為了求出回歸直線方程,設z=ln y,其變換后得到的回歸直線方程為z=0.5x+2,則c= (　　).
A.0.5 B.e0.5 C.2 D.e2
4.小李準備在某商場租一間商鋪開服裝店,為了解市場行情,在該商場調查了20家服裝店,統計得到了它們的面積x(單位:m2)和日均客流量y(單位:百人)的數據(xi,yi)(i=1,2,…,20),并計算得xi=2400,yi=210,=42000,(xi-)(yi-)=6300.
(1)求y關于x的回歸直線方程;
(2)已知服裝店每天的經濟效益W=k+mx(k>0,m>0),該商場現有60 m2~150 m2的商鋪出租,根據(1)的結果進行預測,要使單位面積的經濟效益Z最高,小李應該租多大面積的商鋪
【題型探究】
探究1　利用回歸直線方程對總體進行估計
例1　下表是我國2015年至2021年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸).
年份t/年 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
處理量y/億噸 1.8 1.97 2.1 2.26 2.4 2.55 2.69
　　(1)由數據可知,可用線性回歸模型擬合y與t的關系,請用相關系數加以說明;
(2)建立y關于t的線性回歸方程(精確到0.01),并預測2023年我國生活垃圾無害化處理量.
附:≈2.25,(ti-)(yi-)≈4.13,≈0.78;≈2.65;相關系數rty=;線性回歸方程=+t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為=,=-.
【方法總結】　　利用一元線性回歸模型思想解決實際問題的基本步驟:
(1)確定研究對象,明確哪個變量是因變量,哪個變量是自變量;
(2)利用相關系數的計算公式,分析自變量與因變量之間的關系;
(3)利用最小二乘原理估計一元線性回歸方程的系數,建立一元線性回歸方程;
(4)利用一元線性回歸方程進行預測.
針對訓練1　如圖,這是某采礦廠的污水排放量y(單位:噸)與礦產品年產量x(單位:噸)的折線圖:
(1)依據折線圖計算相關系數rxy(精確到0.01),并據此判斷是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關系.(若|rxy|>0.8,則線性相關程度很高,可用線性回歸模型擬合)
(2)若可用線性回歸模型擬合y與x的關系,請建立y關于x的線性回歸方程,并預測年產量為10噸時的污水排放量.
參考公式:相關系數rxy=,線
性回歸方程=x+中,=,=-.
參考數據:≈0.55,≈0.95.
探究2　非線性回歸分析
例2　某校課題小組為了研究糧食產量與化肥施用量的關系,收集了10組化肥施用量和糧食畝產量的數據并對這些數據作了初步處理,得到了如圖所示的散點圖,每畝化肥施用量為x(單位:公斤),糧食畝產量為y(單位:百公斤).
參考數據:
xiyi xi yi tizi ti zi
650 91.5 52.5 1478.6 30.5 15 15 46.5
　　表中ti=ln xi,zi=ln yi(i=1,2,…,10).
(1)根據散點圖判斷y=cxd作為糧食畝產量y(單位:百公斤)關于每畝化肥施用量x(單位:公斤)的回歸方程類型比較適宜.根據表中數據,建立y關于x的回歸方程.
(2)請預測當每畝化肥施用量為27公斤時,糧食畝產量y的值.(預測時取e≈2.7)
附:對于一組數據(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計分別為=,=-.
【方法總結】　　求非線性回歸方程的步驟:(1)確定變量,作出散點圖;(2)根據散點圖,選擇恰當的擬合函數;(3)變量置換,通過變量置換把非線性回歸問題轉化為線性回歸問題,并求出線性回歸方程;(4)根據相應的變換,寫出非線性回歸方程.
針對訓練2　調查某新能源汽車公司從2018年到2022年的汽車年銷售量y(單位:萬輛)得到如下散點圖.(記年份代碼為x,x的值為1~5,分別對應2018—2022年)
(1)根據散點圖判斷,模型①y=a+bx與模型②y=c+dx2,哪一個更適宜作為年銷售量y關于年份代碼x的回歸方程 (給出判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(1)的判斷結果,建立y關于x的回歸方程.
　　附:
xiyi yi
34 55 979 657 2805
　　==,=-.
【強化訓練】
1.一只紅鈴蟲的產卵數y和溫度x有關,現收集了6組產卵數y(單位:個)與溫度x(單位:℃)(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)的觀測數據,令zi=ln yi,并將(xi,zi)繪制成散點圖(如圖).若用方程y=aebx對y與x的關系進行擬合,則(　　).
A.a>1,b>0 B.a>1,b<0
C.00 D.02.某中醫藥企業根據市場調研與模擬,得到研發投入x(單位:億元)與產品收益y(單位:億元)的數據統計如下:
研發投入x/億元 1 2 3 4 5
產品收益y/億元 3 7 9 10 11
(1)計算x,y的相關系數rxy,并判斷是否可以認為研發投入與產品收益具有較高的線性相關程度.(若0.2<|rxy|<0.8,則線性相關程度一般;若|rxy|>0.8,則線性相關程度較高)
(2)求出y關于x的線性回歸方程,并預測研發投入為20億元時產品的收益.
參考數據:=10,=40,(xi-)(yi-)=19.
參考公式:相關系數rxy=,回歸直線方程的斜率=,截距=-.
24.2 課時2 一元線性回歸模型的應用
【學習目標】
1.理解散點圖在回歸模型選擇中的作用.(直觀想象)
2.掌握不同模型擬合數據效果的評價方法.(數據分析、數學運算)
3.熟悉一元線性回歸模型思想的基本步驟.(數據分析、數學運算)
【課前檢測】
1.設有一個回歸直線方程為y=-5.5x+2,則變量x每增加1個單位,(　　).
A.y平均增加5.5個單位 B.y平均增加2個單位
C.y平均減少5.5個單位 D.y平均減少2個單位
【答案】　C
【解析】　因為回歸直線方程斜率為-5.5,所以變量x每增加1個單位,y平均減少5.5個單位.
2.為了解兒子身高與其父親身高的關系,隨機抽取5對父子的身高數據如下:
父親身高x/cm 174 176 176 176 178
兒子身高y/cm 175 175 176 177 177
則y關于x的線性回歸方程為 (　　)
A.=x-1 B.=x+1
C.=x+88 D.=176
【答案】　C
【解析】　由題意得=176,=176,sxy=(xi-)(yi-)=4,=(xi-)2=8,設y關于x的線性回歸方程為=x+,因為==,=176-×176=88,
所以y關于x的線性回歸方程為=x+88.
3.用模型y=cekx擬合一組數據時,為了求出回歸直線方程,設z=ln y,其變換后得到的回歸直線方程為z=0.5x+2,則c= (　　).
A.0.5 B.e0.5 C.2 D.e2
【答案】　D
【解析】　因為y=cekx,兩邊取對數得ln y=ln(cekx)=ln c+ln ekx=kx+ln c,
所以z=kx+ln c,而z=0.5x+2,于是ln c=2,即c=e2.
4.小李準備在某商場租一間商鋪開服裝店,為了解市場行情,在該商場調查了20家服裝店,統計得到了它們的面積x(單位:m2)和日均客流量y(單位:百人)的數據(xi,yi)(i=1,2,…,20),并計算得xi=2400,yi=210,=42000,(xi-)(yi-)=6300.
(1)求y關于x的回歸直線方程;
(2)已知服裝店每天的經濟效益W=k+mx(k>0,m>0),該商場現有60 m2~150 m2的商鋪出租,根據(1)的結果進行預測,要使單位面積的經濟效益Z最高,小李應該租多大面積的商鋪
【解析】　(1)由已知可得=xi=120,=yi=10.5,===0.15,
則=-=10.5-0.15×120=-7.5,
所以y關于x的回歸直線方程為=0.15x-7.5.
(2)根據題意得Z==+m=k+m,60≤x≤150.
設f(x)==-,令t=,≤t≤,
則f(x)=g(t)=0.15t-7.5t2=-7.5×(t-0.01)2+0.00075,
當t=0.01,即x=100時,f(x)取得最大值.
又因為k>0,m>0,所以此時Z也取得最大值,
因此,小李應該租100 m2的商鋪.
【題型探究】
探究1　利用回歸直線方程對總體進行估計
例1　下表是我國2015年至2021年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸).
年份t/年 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021
處理量y/億噸 1.8 1.97 2.1 2.26 2.4 2.55 2.69
　　(1)由數據可知,可用線性回歸模型擬合y與t的關系,請用相關系數加以說明;
(2)建立y關于t的線性回歸方程(精確到0.01),并預測2023年我國生活垃圾無害化處理量.
附:≈2.25,(ti-)(yi-)≈4.13,≈0.78;≈2.65;相關系數rty=;線性回歸方程=+t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為=,=-.
【解析】　(1)由表中數據可得,=2018,=28,
所以rty=≈≈0.99.
　　所以y與t的線性相關程度相當高,從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系.
(2)由(1)得=≈≈0.15,
所以=-≈2.25-0.15×2018=-300.45.
所以y關于t的線性回歸方程為=-300.45+0.15t.
將t=2023代入線性回歸方程得=-300.45+0.15×2023=3.
所以預測2023年我國生活垃圾無害化處理量為3億噸.
【方法總結】　　利用一元線性回歸模型思想解決實際問題的基本步驟:
(1)確定研究對象,明確哪個變量是因變量,哪個變量是自變量;
(2)利用相關系數的計算公式,分析自變量與因變量之間的關系;
(3)利用最小二乘原理估計一元線性回歸方程的系數,建立一元線性回歸方程;
(4)利用一元線性回歸方程進行預測.
針對訓練1　如圖,這是某采礦廠的污水排放量y(單位:噸)與礦產品年產量x(單位:噸)的折線圖:
(1)依據折線圖計算相關系數rxy(精確到0.01),并據此判斷是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關系.(若|rxy|>0.8,則線性相關程度很高,可用線性回歸模型擬合)
(2)若可用線性回歸模型擬合y與x的關系,請建立y關于x的線性回歸方程,并預測年產量為10噸時的污水排放量.
參考公式:相關系數rxy=,線
性回歸方程=x+中,=,=-.
參考數據:≈0.55,≈0.95.
【解析】　(1)由折線圖的數據計算得,=5,=4,(xi-)(yi-)=6,=20,=2,所以相關系數rxy==≈0.95>0.8,所以y與x的線性相關程度很高,可用線性回歸模型擬合y與x的關系.
(2)由(1)得,==0.3,=-=4-0.3×5=2.5,所以y關于x的線性回歸方程為=0.3x+2.5,所以當x=10時,=5.5,故預測年產量為10噸時的污水排放量為5.5噸.
探究2　非線性回歸分析
例2　某校課題小組為了研究糧食產量與化肥施用量的關系,收集了10組化肥施用量和糧食畝產量的數據并對這些數據作了初步處理,得到了如圖所示的散點圖,每畝化肥施用量為x(單位:公斤),糧食畝產量為y(單位:百公斤).
參考數據:
xiyi xi yi tizi ti zi
650 91.5 52.5 1478.6 30.5 15 15 46.5
　　表中ti=ln xi,zi=ln yi(i=1,2,…,10).
(1)根據散點圖判斷y=cxd作為糧食畝產量y(單位:百公斤)關于每畝化肥施用量x(單位:公斤)的回歸方程類型比較適宜.根據表中數據,建立y關于x的回歸方程.
(2)請預測當每畝化肥施用量為27公斤時,糧食畝產量y的值.(預測時取e≈2.7)
附:對于一組數據(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計分別為=,=-.
【解析】　(1)由題意對y=cxd兩邊取對數可得ln y=ln(cxd)=ln c+ln xd=ln c+dln x,
即ln y=dln x+ln c,又t=ln x,z=ln y,則有z=dt+ln c,
=ti=1.5,=zi=1.5,
所以d===,ln c=-d=1.5-×1.5=1,所以c=e,
所以y=e.
(2)由(1)知,當x=27時,y=e×=3e≈8.1,即當每畝化肥施用量為27公斤時,糧食畝產量約為8.1百公斤.
【方法總結】　　求非線性回歸方程的步驟:(1)確定變量,作出散點圖;(2)根據散點圖,選擇恰當的擬合函數;(3)變量置換,通過變量置換把非線性回歸問題轉化為線性回歸問題,并求出線性回歸方程;(4)根據相應的變換,寫出非線性回歸方程.
針對訓練2　調查某新能源汽車公司從2018年到2022年的汽車年銷售量y(單位:萬輛)得到如下散點圖.(記年份代碼為x,x的值為1~5,分別對應2018—2022年)
(1)根據散點圖判斷,模型①y=a+bx與模型②y=c+dx2,哪一個更適宜作為年銷售量y關于年份代碼x的回歸方程 (給出判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(1)的判斷結果,建立y關于x的回歸方程.
　　附:
xiyi yi
34 55 979 657 2805
　　==,=-.
【解析】　(1)由散點圖可知,散點圖與一次函數偏差較大,與二次函數較接近,故模型②y=c+dx2更適合.
(2)由(1)可設回歸方程為=+x2,
令t=x2,則回歸方程為=+t.
因為==979,tiyi=yi=2805,
=ti==11,=34,
所以====2.5,
=-=34-11×2.5=6.5,
所以y關于x的回歸方程為=6.5+2.5t,即=6.5+2.5x2.
【強化訓練】
1.一只紅鈴蟲的產卵數y和溫度x有關,現收集了6組產卵數y(單位:個)與溫度x(單位:℃)(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)的觀測數據,令zi=ln yi,并將(xi,zi)繪制成散點圖(如圖).若用方程y=aebx對y與x的關系進行擬合,則(　　).
A.a>1,b>0 B.a>1,b<0
C.00 D.0【答案】　A
【解析】　因為y=aebx,令z=ln y,所以z與x的回歸方程為z=bx+ln a.
根據散點圖可知z與x正相關,所以b>0.
由回歸方程的圖象可知,回歸直線的縱截距大于0,即ln a>0,所以a>1.
2.某中醫藥企業根據市場調研與模擬,得到研發投入x(單位:億元)與產品收益y(單位:億元)的數據統計如下:
研發投入x/億元 1 2 3 4 5
產品收益y/億元 3 7 9 10 11
(1)計算x,y的相關系數rxy,并判斷是否可以認為研發投入與產品收益具有較高的線性相關程度.(若0.2<|rxy|<0.8,則線性相關程度一般;若|rxy|>0.8,則線性相關程度較高)
(2)求出y關于x的線性回歸方程,并預測研發投入為20億元時產品的收益.
參考數據:=10,=40,(xi-)(yi-)=19.
參考公式:相關系數rxy=,回歸直線方程的斜率=,截距=-.
【解析】　(1)由題意得rxy====0.95>0.8,
∴該中醫藥企業的研發投入x與產品收益y具有較高的線性相關程度.
(2)∵===1.9,=×(1+2+3+4+5)=3,=×(3+7+9+10+11)=8,∴=8-1.9×3=2.3,∴y關于x的線性回歸方程為=1.9x+2.3,
將x=20代入線性回歸方程可得,=1.9×20+2.3=40.3,
故預測研發投入為20億元時產品的收益是40.3億元.
2

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