資源簡介

第2章章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
題型1 空間向量的線性運算
例1　如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長和側棱長都等于1,∠BAA1=∠CAA1=60°.
(1)設=a,=b,=c,用向量a,b,c表示,并求出BC1的長度;
(2)求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值.
【解析】　(1)=+=+-=+-=a+c-b.
因為a·b=|a|·|b|cos∠BAA1=1×1×cos 60°=,同理可得a·c=b·c=,
所以||=
=
==.
(2)因為=a+b,所以||====,
因為·=(a+b)·(a+c-b)=a2+a·c-a·b+b·a+c·b-b2=1+-++-1=1,
所以cos<,>===.
所以異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為.
小結　在幾何體中,根據圖形的特點,選擇公共起點最集中的向量中的三個不共面的向量作為一組基,或選擇有公共起點且關系最明確的三個不共面的向量作為一組基,這樣更利于解題.
題型2 空間向量的坐標運算
例2　(2021年新高考全國Ⅰ卷)(多選題)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,點P滿足=λ+μ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],則(　　).
A.當λ=1時,△AB1P的周長為定值
B.當μ=1時,三棱錐P-A1BC的體積為定值
C.當λ=時,有且僅有一個點P,使得A1P⊥BP
D.當μ=時,有且僅有一個點P,使得A1B⊥平面AB1P
【答案】　BD
【解析】　易知,點P在正方形BCC1B1內部(含邊界).當λ=1時,=+μ=+μ,即此時點P∈線段CC1,故△AB1P的周長不是定值,故A錯誤.
當μ=1時,=λ+=+λ,故此時點P的軌跡為線段B1C1,而B1C1∥BC,B1C1 平面A1BC,BC 平面A1BC,所以B1C1∥平面A1BC,則點P到平面A1BC的距離為定值,所以三棱錐P-A1BC的體積為定值,故B正確.
當λ=時,=+μ,取BC,B1C1的中點分別為Q,H,連接AQ,QH,則=+μ,所以點P的軌跡為線段QH,以Q為坐標原點,分別以QA,QB,QH所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A1,0,1,P(0,0,μ),B0,,0,則=-,0,μ-1,=0,-,μ,
令·=μ(μ-1)=0,得μ=0或μ=1,所以點H,Q均滿足,故C錯誤.
當μ=時,=λ+,取BB1,CC1的中點分別為M,N,則=+λ,所以點P的軌跡為線段MN.設P0,y0,,因為A,0,0,所以=-,y0,,=-,,-1,若A1B⊥平面AB1P,則A1B⊥AP,故·=+y0-=0,可得y0=-,此時點P與點N重合,故D正確.故選BD.
小結　熟記空間向量的坐標運算公式是解題的關鍵.在利用坐標運算公式時,注意先對向量式子進行化簡再運算.綜合考查了學生的直觀想象、邏輯推理以及數學運算的核心素養.
題型3 利用空間向量解決平行、垂直問題
例3　(2022年全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點,則(　　).
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
【答案】　A
【解析】　在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD,
又EF 平面ABCD,所以DD1⊥EF,因為E,F分別為AB,BC的中點,
所以EF∥AC,所以EF⊥BD,又BD∩DD1=D,BD,DD1 平面BDD1,
所以EF⊥平面BDD1,又EF 平面B1EF,
所以平面B1EF⊥平面BDD1,故A正確.
如圖,以D為坐標原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,
設AB=2,
則B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),
則=(-1,1,0),=(0,1,2),=(2,2,0),=(2,0,2),=(0,0,2),=(-2,2,0),=(-2,2,0).
設平面B1EF的法向量為m=(x1,y1,z1),
則令x1=2,則y1=2,z1=-1,可得m=(2,2,-1),
同理可得平面A1BD的法向量為n1=(1,-1,-1),平面A1AC的法向量為n2=(1,1,0),平面A1C1D的法向量為n3=(1,1,-1),
則m·n1=2-2+1=1≠0,
所以平面B1EF與平面A1BD不垂直,故B錯誤.
因為m與n2不平行,
所以平面B1EF與平面A1AC不平行,故C錯誤.
因為m與n3不平行,
所以平面B1EF與平面A1C1D不平行,故D錯誤.
故選A.
小結　用向量法證明立體幾何中的平行或垂直問題,主要應用直線的方向向量和平面的法向量,同時也要借助空間中已有的一些關于平行或垂直的定理.解題過程滲透了邏輯推理、直觀想象以及數學運算的核心素養.
題型4 利用空間向量求距離
例4　如圖所示,在底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,E,F分別為SA,SC的中點.AB=BC=2,AD=1,SB與底面ABCD成60°角.
(1)求異面直線EF與CD所成角的余弦值;
(2)求點D到平面SBC的距離.
方法指導　(1)先確定SB與底面ABCD所成的角,計算SA,再建立空間直角坐標系,利用向量數量積求異面直線EF與CD所成角的余弦值;(2)先求平面SBC的一個法向量,再利用向量投影求點D到平面SBC的距離.
【解析】　(1)∵SA⊥平面ABCD,∴∠SBA是SB與底面ABCD所成的角,即∠SBA=60°.
∵AB=2,∴SA=2.
以A為坐標原點,AD,AB,AS所在的直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系(圖略),則D(1,0,0),A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),S(0,0,2),
從而E(0,0,),F(1,1,),∴=(1,1,0),=(-1,-2,0),
因此cos<,>==-,
∴異面直線EF與CD所成角的余弦值為.
(2)設平面SBC的法向量為n=(x,y,z),由(1)可得=(0,2,-2),=(2,0,0).
∵n·=0,n·=0,∴2y-2z=0,2x=0,
令z=1,則y=,x=0,故平面SBC的一個法向量為n=(0,,1),
從而點D到平面SBC的距離為==.
小結　(1)求點到平面的距離,常常利用向量法,轉化為平面外一點與平面內一點構成的向量在平面的法向量上的投影向量的長度.
(2)求直線到平面的距離,往往轉化為點到平面的距離求解,且這個點要適當選取,以易于求解為準則.
題型5 利用空間向量求線面角
例5　(2022年全國甲卷)在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=.
(1)證明:BD⊥PA.
(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.
【解析】　(1)∵PD⊥底面ABCD,BD 底面ABCD,
∴PD⊥BD,
取AB的中點為E,連接DE(圖略),則CD∥BE,且CD=BE,
∴四邊形BCDE為平行四邊形,∴DE=CB=1.
∵DE=AB,
∴△ABD為直角三角形,且AB為斜邊,∴BD⊥AD.
又PD∩AD=D,PD 平面PAD,AD 平面PAD,
∴BD⊥平面PAD,又PA 平面PAD,∴BD⊥PA.
(2)(法一)由(1)知,PD,AD,BD兩兩互相垂直,故建立如圖①所示的空間直角坐標系,BD==,
圖①
則D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),P(0,0,),
∴=(0,0,-),=(1,0,-),=(-1,,0).
設平面PAB的法向量為n=(x,y,z),則令z=1,則可取n=(,1,1).
設PD與平面PAB所成的角為θ,則sin θ=|cos<,n>|==,
∴PD與平面PAB所成的角的正弦值為.
(法二:幾何法)作DH⊥AB,交AB于點H,連接PH,如圖②所示.
圖②
∵PD⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,∴DP⊥AB.
又DP∩DH=D,AB 平面PDH,
∴AB⊥平面PDH,又AB 平面PAB,∴平面PAB⊥平面PDH.
過點D作平面PAB的垂線,垂足在平面PAB與平面PDH的交線上,
∴直線PD與平面PAB所成的角為∠DPH.
在△PDH中,PD=,DH=,PH==,
∴sin∠DPH===,
∴PD與平面PAB所成的角的正弦值為.
(法三)設點D到平面PAB的距離為h,在△PAB中,PA==2,PB==,AB=2,
∴S△PAB=.
∵AD⊥BD,∴S△DAB=,由等體積法得V三棱錐P-ABD=V三棱錐D-PAB.
∴S△DAB·PD=S△PAB·h,∴h=.
設PD與平面PAB所成的角為θ,
則sin θ==,
∴PD與平面PAB所成的角的正弦值為.
小結　利用空間向量求線面角的解題模型
題型6 利用空間向量求平面與平面所成的角
例6　(2023年新高考全國Ⅱ卷)如圖,在三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點.
(1)證明:BC⊥DA.
(2)若點F滿足=,求二面角D-AB-F的正弦值.
【解析】　(1)如圖,連接DE,AE,
因為DC=DB,且E為BC的中點,所以DE⊥BC.
因為∠ADB=∠ADC=60°,DA=DA,DC=DB,
所以△ADB≌△ADC(SAS).
可得AC=AB,故AE⊥BC.
因為DE∩AE=E,DE,AE 平面ADE,所以BC⊥平面ADE.
又DA 平面ADE,所以BC⊥DA.
(2)由(1)知,DE⊥BC,AE⊥BC.
不妨設DA=DB=DC=2,因為∠ADB=∠ADC=60°,所以AB=AC=2.
由題可知△DBC為等腰直角三角形,故DE=EB=EC=.
因為AE⊥BC,所以AE==.
在△ADE中,AE2+ED2=AD2,所以AE⊥ED.
以E為坐標原點,ED所在直線為x軸,EB所在直線為y軸,EA所在直線為z軸建立空間直角坐標系,如圖,則D(,0,0),B(0,,0),A(0,0,),=(-,0,),=(0,-,).
設F(xF,yF,zF),因為=,所以(xF,yF,zF)=(-,0,),可得F(-,0,),
所以=(,0,0).
設平面DAB的法向量為m=(x1,y1,z1),
則即取x1=1,則y1=z1=1,所以m=(1,1,1).
設平面ABF的法向量為n=(x2,y2,z2),
則即得x2=0,取y2=1,則z2=1,所以n=(0,1,1).
所以cos===.
記二面角D-AB-F的大小為θ,則sin θ===,
故二面角D-AB-F的正弦值為.
小結　利用空間向量求平面與平面所成角的解題模型
題型7 利用空間向量解決探究性問題
例7　(2021年全國甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC,CC1的中點,D為棱A1B1上的點,BF⊥A1B1.
(1)證明:BF⊥DE.
(2)當B1D為何值時,平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小
【解析】　因為三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以BB1⊥底面ABC,又AB 平面ABC,所以BB1⊥AB,
因為A1B1∥AB,BF⊥A1B1,所以BF⊥AB,
又BB1∩BF=B,BB1,BF 平面BB1C1C,所以AB⊥平面BB1C1C,
所以BA,BC,BB1兩兩垂直.
如圖,以B為坐標原點,BA,BC,BB1所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.
所以B(0,0,0),A(2,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1).
由題意設D(a,0,2)(0≤a≤2).
(1)因為=(0,2,1),=(1-a,1,-2),
所以·=0×(1-a)+2×1+1×(-2)=0,所以BF⊥DE.
(2)設平面DFE的法向量為m=(x,y,z),
因為=(-1,1,1),=(1-a,1,-2),
所以即
令z=2-a,得x=3,y=1+a,則m=(3,1+a,2-a).
因為平面BB1C1C的一個法向量為=(2,0,0),
設平面BB1C1C與平面DFE所成二面角的平面角為θ,
所以|cos θ|===.
當a=時,2a2-2a+14取得最小值,最小值為,
此時|cos θ|取得最大值,最大值為=,
所以(sin θ)min==,此時B1D=.
小結　解決存在性問題的基本策略
通常假設題中的數學對象存在(或結論成立),然后在這個前提下進行邏輯推理,若能推導出與條件吻合的數據或事實,說明假設成立,即存在,并可進一步證明;若推導出與條件或實際情況相矛盾的結論,則說明假設不成立,即不存在.本題第二問中通過余弦值的絕對值最大,找到正弦值最小是關鍵一步.
【拓展延伸】
空間向量的發展及應用
向量是高中數學新課程中的重要內容,早在19世紀就已成為數學家和物理學家研究的對象.20世紀初被引入中學數學.我國在1996年高中數學大綱中引入了向量.大約公元350年前,古希臘著名學者亞里士多德(Aristotle,公元前384~公元前322)就知道了力可以表示成向量,他在《力學》一書中記載了“速度”的平行四邊形法則,3個世紀以后又被海倫證明.“向量”一詞來自力學、解析幾何中的有向線段.最先使用有向線段表示向量的是英國大科學家牛頓.
從數學發展史來看,歷史上很長一段時間,空間向量的結構并未被數學家們所認識,直到19世紀末20世紀初,人們才把空間向量的性質與向量的運算聯系起來,使向量具有一套優良運算通性的數學體系.
向量在物理中應用廣泛,通過本章的學習我們已經有所了解.例如,在日常生活中,你是否有這樣的經驗:兩個人共提一個旅行包,夾角越大越費力;在單杠上做引體向上運動,兩臂夾角越小越省力.不僅向量知識是解決物理問題的有力工具,而且用數學的方法審視相關物理現象,研究相關的物理問題可使我們對物理問題認識更深刻.
1.空間向量在生活中的應用也非常廣泛,如:給定空間一個單位基底,任意一個空間向量,都可用三元有序實數組(a1,a2,a3)表示,則由三元有序實數組(a1,a2,a3)表示的空間向量又稱為三維向量,一般地,n元有序實數組(a1,a2,…,an)稱為n維向量.n維向量的全體構成的集合,賦予相應的結構后,叫作n維向量空間.定義n維向量空間中A(a1,a2,…,an),B(b1,b2,…,bn)兩點間的“距離”dAB=.
例1　某校服公司根據以往制作校服的經驗,得出適用于本地區高一男生的四種校服標準型號及相應的測量指標參數值,如表所示:
型號 身高/cm 胸圍/cm 腰圍/cm 肩寬/cm
L 170 92 78 42
XL 175 96 82 44
XXL 180 100 86 46
XXXL 185 104 90 48
為了給某中學高一的男生制作校服,該校統計了每名男生的身高、胸圍、腰圍、肩寬,我們把測量得到的數據按照身高a1,胸圍a2,腰圍a3,肩寬a4的順序排列,則每名學生的身材可以用四維向量(a1,a2,a3,a4)表示,并且可以把它看作四維向量空間中的一個點.依據“距離”來選擇衣服型號是一種常用的方法,即計算每個向量與標準點的距離,與哪個標準點的距離最近,就選擇哪種型號.若某同學的身材點為P(172,95,80,43),試問該同學應該訂的校服的最佳型號是哪種
【解析】　依題意,
dPL=
=,
dPXL=
=,
dPXXL=
=,
dPXXXL=
=,
因為<<<,所以該同學應該訂的校服的最佳型號為XL.
2.古希臘數學家阿波羅尼奧斯發現平面上到兩定點A,B距離之比為常數λ(λ>0且λ≠1)的點的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓,該圓簡稱為阿氏圓.根據以上信息,解決下面的問題:
例2　如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1=6,點E在棱AB上,BE=2AE,動點P滿足BP=PE.若點P在平面ABCD內運動,求點P所形成的阿氏圓的半徑;若點P在長方體ABCD-A1B1C1D1內部運動,F為棱C1D1的中點,M為CP的中點,求點M到平面B1CF的距離的最小值.
【解析】　以A為坐標原點,以AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則B(6,0,0),E(2,0,0).
①設P(x,y,0),由BP=PE,得(x-6)2+y2=3[(x-2)2+y2],
所以x2+y2=12,所以若點P在平面ABCD內運動,則點P所形成的阿氏圓的半徑為2.
②設點P(x,y,z),由BP=PE,得(x-6)2+y2+z2=3[(x-2)2+y2+z2],
所以x2+y2+z2=12.
由題意得F(3,3,3),B1(6,0,3),C(6,3,0),
所以=(3,-3,0),=(0,3,-3),
設平面B1CF的法向量為n=(x0,y0,z0),
所以令x0=1,得y0=1,z0=1,則n=(1,1,1).
由題意得=(x-6,y-3,z),所以點P到平面B1CF的距離h==,
因為3(x2+y2+z2)=x2+y2+z2+x2+y2+y2+z2+x2+z2≥x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=(x+y+z)2,
所以-6≤x+y+z≤6,
所以hmin==,
所以點M到平面B1CF的最小距離為.
總之,向量在物理、數學、現代科學技術中應用非常廣泛,在生活、學習中,同學們要注意挖掘空間向量的應用,記住,留心,處處是學問!
2第2章章末小結
【知識導圖】
【題型探究】
題型1 空間向量的線性運算
例1　如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長和側棱長都等于1,∠BAA1=∠CAA1=60°.
(1)設=a,=b,=c,用向量a,b,c表示,并求出BC1的長度;
(2)求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值.
小結　在幾何體中,根據圖形的特點,選擇公共起點最集中的向量中的三個不共面的向量作為一組基,或選擇有公共起點且關系最明確的三個不共面的向量作為一組基,這樣更利于解題.
題型2 空間向量的坐標運算
例2　(2021年新高考全國Ⅰ卷)(多選題)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,點P滿足=λ+μ,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],則(　　).
A.當λ=1時,△AB1P的周長為定值
B.當μ=1時,三棱錐P-A1BC的體積為定值
C.當λ=時,有且僅有一個點P,使得A1P⊥BP
D.當μ=時,有且僅有一個點P,使得A1B⊥平面AB1P
小結　熟記空間向量的坐標運算公式是解題的關鍵.在利用坐標運算公式時,注意先對向量式子進行化簡再運算.綜合考查了學生的直觀想象、邏輯推理以及數學運算的核心素養.
題型3 利用空間向量解決平行、垂直問題
例3　(2022年全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點,則(　　).
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
小結　用向量法證明立體幾何中的平行或垂直問題,主要應用直線的方向向量和平面的法向量,同時也要借助空間中已有的一些關于平行或垂直的定理.解題過程滲透了邏輯推理、直觀想象以及數學運算的核心素養.
題型4 利用空間向量求距離
例4　如圖所示,在底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,E,F分別為SA,SC的中點.AB=BC=2,AD=1,SB與底面ABCD成60°角.
(1)求異面直線EF與CD所成角的余弦值;
(2)求點D到平面SBC的距離.
方法指導　(1)先確定SB與底面ABCD所成的角,計算SA,再建立空間直角坐標系,利用向量數量積求異面直線EF與CD所成角的余弦值;(2)先求平面SBC的一個法向量,再利用向量投影求點D到平面SBC的距離.
小結　(1)求點到平面的距離,常常利用向量法,轉化為平面外一點與平面內一點構成的向量在平面的法向量上的投影向量的長度.
(2)求直線到平面的距離,往往轉化為點到平面的距離求解,且這個點要適當選取,以易于求解為準則.
題型5 利用空間向量求線面角
例5　(2022年全國甲卷)在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=.
(1)證明:BD⊥PA.
(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.
小結　利用空間向量求線面角的解題模型
題型6 利用空間向量求平面與平面所成的角
例6　(2023年新高考全國Ⅱ卷)如圖,在三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點.
(1)證明:BC⊥DA.
(2)若點F滿足=,求二面角D-AB-F的正弦值.
小結　利用空間向量求平面與平面所成角的解題模型
題型7 利用空間向量解決探究性問題
例7　(2021年全國甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC,CC1的中點,D為棱A1B1上的點,BF⊥A1B1.
(1)證明:BF⊥DE.
(2)當B1D為何值時,平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小
小結　解決存在性問題的基本策略
通常假設題中的數學對象存在(或結論成立),然后在這個前提下進行邏輯推理,若能推導出與條件吻合的數據或事實,說明假設成立,即存在,并可進一步證明;若推導出與條件或實際情況相矛盾的結論,則說明假設不成立,即不存在.本題第二問中通過余弦值的絕對值最大,找到正弦值最小是關鍵一步.
【拓展延伸】
空間向量的發展及應用
向量是高中數學新課程中的重要內容,早在19世紀就已成為數學家和物理學家研究的對象.20世紀初被引入中學數學.我國在1996年高中數學大綱中引入了向量.大約公元350年前,古希臘著名學者亞里士多德(Aristotle,公元前384~公元前322)就知道了力可以表示成向量,他在《力學》一書中記載了“速度”的平行四邊形法則,3個世紀以后又被海倫證明.“向量”一詞來自力學、解析幾何中的有向線段.最先使用有向線段表示向量的是英國大科學家牛頓.
從數學發展史來看,歷史上很長一段時間,空間向量的結構并未被數學家們所認識,直到19世紀末20世紀初,人們才把空間向量的性質與向量的運算聯系起來,使向量具有一套優良運算通性的數學體系.
向量在物理中應用廣泛,通過本章的學習我們已經有所了解.例如,在日常生活中,你是否有這樣的經驗:兩個人共提一個旅行包,夾角越大越費力;在單杠上做引體向上運動,兩臂夾角越小越省力.不僅向量知識是解決物理問題的有力工具,而且用數學的方法審視相關物理現象,研究相關的物理問題可使我們對物理問題認識更深刻.
1.空間向量在生活中的應用也非常廣泛,如:給定空間一個單位基底,任意一個空間向量,都可用三元有序實數組(a1,a2,a3)表示,則由三元有序實數組(a1,a2,a3)表示的空間向量又稱為三維向量,一般地,n元有序實數組(a1,a2,…,an)稱為n維向量.n維向量的全體構成的集合,賦予相應的結構后,叫作n維向量空間.定義n維向量空間中A(a1,a2,…,an),B(b1,b2,…,bn)兩點間的“距離”dAB=.
例1　某校服公司根據以往制作校服的經驗,得出適用于本地區高一男生的四種校服標準型號及相應的測量指標參數值,如表所示:
型號 身高/cm 胸圍/cm 腰圍/cm 肩寬/cm
L 170 92 78 42
XL 175 96 82 44
XXL 180 100 86 46
XXXL 185 104 90 48
為了給某中學高一的男生制作校服,該校統計了每名男生的身高、胸圍、腰圍、肩寬,我們把測量得到的數據按照身高a1,胸圍a2,腰圍a3,肩寬a4的順序排列,則每名學生的身材可以用四維向量(a1,a2,a3,a4)表示,并且可以把它看作四維向量空間中的一個點.依據“距離”來選擇衣服型號是一種常用的方法,即計算每個向量與標準點的距離,與哪個標準點的距離最近,就選擇哪種型號.若某同學的身材點為P(172,95,80,43),試問該同學應該訂的校服的最佳型號是哪種
2.古希臘數學家阿波羅尼奧斯發現平面上到兩定點A,B距離之比為常數λ(λ>0且λ≠1)的點的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓,該圓簡稱為阿氏圓.根據以上信息,解決下面的問題:
例2　如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2AD=2AA1=6,點E在棱AB上,BE=2AE,動點P滿足BP=PE.若點P在平面ABCD內運動,求點P所形成的阿氏圓的半徑;若點P在長方體ABCD-A1B1C1D1內部運動,F為棱C1D1的中點,M為CP的中點,求點M到平面B1CF的距離的最小值.
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