資源簡介

第3章章末小結(jié)
【知識導(dǎo)圖】
【題型探究】
題型1 條件概率
例1　(2022年新高考全國Ⅰ卷節(jié)選)一醫(yī)療團(tuán)隊為了研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組),同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對照組),得到如下數(shù)據(jù):
不夠良好 良好
病例組 40 60
對照組 10 90
　　從該地的人群中任選一人,A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”,B表示事件“選到的人患有該疾病”.與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo),記該指標(biāo)為R.
(1)證明:R=·.
(2)利用該調(diào)查數(shù)據(jù),給出P(A|B),P(A|)的估計值,并利用(1)的結(jié)果給出R的估計值.
【解析】　(1)因為R=·=···=·,
又·=···=·,
所以R=·.
(2)由已知得P(A|B)==,P(A|)==,
又P(|B)==,P(|)==,
所以R=·=6.
小結(jié)　求條件概率的主要方法:
(1)利用條件概率公式P(B|A)=;
(2)針對古典概型,可通過縮減基本事件總數(shù)求解.
本題滲透了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
題型2 獨立事件的概率
例2　(2021年新高考全國Ⅰ卷)有6個相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則(　　).
A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立
C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立
【答案】　B
【解析】　事件甲發(fā)生的概率P(甲)=,事件乙發(fā)生的概率P(乙)=,事件丙發(fā)生的概率P(丙)==,事件丁發(fā)生的概率P(丁)==.事件甲與事件丙同時發(fā)生的概率為0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙),故A錯誤;事件甲與事件丁同時發(fā)生的概率為=,P(甲丁)=P(甲)P(丁),故B正確;事件乙與事件丙同時發(fā)生的概率為=,P(乙丙)≠P(乙)P(丙),故C錯誤;事件丙與事件丁是互斥事件,不是相互獨立事件,故D錯誤.
小結(jié)　事件A,B之間獨立性的判定方法
(1)定義法:P(AB)=P(A)P(B).
(2)借助條件概率:P(B|A)=P(B)或P(A|B)=P(A).
(3)直接法:看事件A發(fā)生對事件B有無影響.
題型3 乘法公式與全概率公式
例3　已知甲袋中有3個白球,2個黑球;乙袋中有4個白球,4個黑球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋,然后從乙袋中任取一球,求此球為白球的概率.
【解析】　記事件Ai為“從甲袋中取出的2個球有i個白球”,其中i=0,1,2,記事件B為“從乙袋中取到的一球為白球”,
則P(A0)==,P(A1)==,P(A2)==,
P(B|A0)==,P(B|A1)==,P(B|A2)==,
由全概率公式可得P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×+×=.
小結(jié)　本題考查利用全概率公式計算事件的概率,解題的關(guān)鍵在于確定從甲袋取出的2個球中白球的個數(shù),結(jié)合全概率公式進(jìn)行計算,本題滲透了數(shù)據(jù)分析以及數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).
題型4 二項分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系
例4　某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本測出它們的質(zhì)量(單位:克),質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到如下的樣本頻率分布直方圖.
　　
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量;
(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件,設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求X的分布列;
(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品,設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列.
【解析】　(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05+5×0.01=0.3,
所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3=12(件).
(2)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件,則質(zhì)量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件,X的所有可能取值為0,1,2,
易知X服從超幾何分布,
則P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
故X的分布列為
X 0 1 2
P
　　(3)根據(jù)用樣本估計總體的思想,取一件產(chǎn)品,該產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為=.
從流水線上任取2件產(chǎn)品互不影響,該問題可看成二重伯努利試驗,質(zhì)量超過505克的件數(shù)Y的可能取值為0,1,2,且Y~B2,,
P(Y=k)=1-2-k,k=0,1,2,
所以P(Y=0)=×2=,
P(Y=1)=××=,
P(Y=2)=×2=.
故Y的分布列為
Y 0 1 2
P
小結(jié)　學(xué)生對“超幾何分布與二項分布”這兩種模型的定義不能很好地理解,一遇到“取”或“摸”的題型,就認(rèn)為是超幾何分布,不加分析,濫用公式,運算對象不明晰,事實上,超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯(lián)系,但也有明顯的區(qū)別.
超幾何分布的抽取是不放回的抽取,各次抽取不獨立;二項分布的抽取是有放回的抽取,各次抽取相互獨立.當(dāng)超幾何分布所對應(yīng)的總體數(shù)量很大時可以近似地看作二項分布.
題型5 離散型隨機(jī)變量的均值與方差
例5　(2022年全國甲卷)甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個項目,每個項目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.
(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;
(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望.
【解析】　(1)設(shè)甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A,B,C,則甲學(xué)校獲得冠軍的概率P=P(ABC)+P(BC)+P(AC)+P(AB)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.
(2)依題可知,X的可能取值為0,10,20,30,
所以P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,
P(X=10)=0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.44,
P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,
P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06.
即X的分布列為
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
　　所以E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.
小結(jié)　求離散型隨機(jī)變量的均值、方差的步驟:(1)明確隨機(jī)變量的取值,以及取每個值的試驗結(jié)果;(2)求出隨機(jī)變量取各個值的概率;(3)列出分布列;(4)利用期望、方差公式求解.本題滲透了數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).
題型6 正態(tài)分布
例6　(2022年新高考全國Ⅱ卷)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(22.5)=　　　　.
【答案】　0.14
【解析】　因為X~N(2,σ2),所以P(X<2)=P(X>2)=0.5,
因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(2小結(jié)　正態(tài)分布的概率通常有以下兩種求法:(1)注意“3σ原則”的應(yīng)用.記住正態(tài)總體在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率.(2)注意數(shù)形結(jié)合.由于正態(tài)分布密度曲線具有對稱性,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想,因此運用對稱性結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點問題.
【拓展延伸】
　　一、高爾頓簡介
弗朗西斯·高爾頓(Francis Galton, 1822—1911)是英國著名的統(tǒng)計學(xué)家、心理學(xué)家和遺傳學(xué)家.他是達(dá)爾文的表弟,雖然不像達(dá)爾文那樣聲名顯赫,但也不是無名之輩.并且,高爾頓幼年是神童,長大是才子,九十年的人生豐富多彩,是個名副其實的博學(xué)家.他涉獵范圍廣泛,研究水平頗深,縱觀科學(xué)史,在同輩學(xué)者中能望其項背之人寥寥可數(shù).他涉足的領(lǐng)域包括天文、地理、氣象、機(jī)械、物理、統(tǒng)計、生物、遺傳、醫(yī)學(xué)、生理、心理等,還有與社會有關(guān)的人類學(xué)、民族學(xué)、教育學(xué)、宗教學(xué),以及優(yōu)生學(xué)、指紋學(xué)、照相術(shù)、登山術(shù)等.
在達(dá)爾文發(fā)表了《物種起源》之后,高爾頓也將研究方向轉(zhuǎn)向生物及遺傳學(xué),他第一個對同卵雙胞胎進(jìn)行研究,論證了指紋的永久性和獨特性.他從遺傳的觀點研究人類智力并提出“優(yōu)生學(xué)”,是第一位強(qiáng)調(diào)把統(tǒng)計學(xué)方法應(yīng)用到生物學(xué)中去的人.
二、高爾頓板
高爾頓設(shè)計了一個釘板實驗,希望用統(tǒng)計的觀點來解釋遺傳現(xiàn)象.
如圖所示,木板上釘了數(shù)排(n排)等距排列的釘子,下一排的每個釘子恰好在上一排兩個相鄰釘子之間,從入口處放入若干直徑略小于釘子間距的小球,
小球在下落的過程中碰到任何釘子后,都將以的概率滾向左邊,的概率滾向右邊,碰到下一排釘子時又是這樣.如此繼續(xù)下去,直到滾到底板的格子里為止.
讓一個個小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落過程中與層層小釘子碰撞,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi),如果球的數(shù)目相當(dāng)大,它們在底板將組成近似中間高兩頭低,呈左右對稱的圖形.上面的釘板試驗可繪制成如圖所示的曲線,這就是我們學(xué)習(xí)過的正態(tài)曲線.
試驗表明,只要小球足夠多,它們在底板堆成的形狀將近似于正態(tài)曲線.
三、以高爾頓板為背景的題目
由高爾頓板衍生出的題目很多,下面舉一例,供賞析.
案例　高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?前面擋有一塊玻璃,讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞,且等可能向左或向右滾下,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖1所示的高爾頓板有7層小木塊,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以的概率向左或向右滾下,依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞,最后掉入編號為1,2,…,7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號球槽,則在6次碰撞中有2次向右4次向左滾下.
(1)如圖1,進(jìn)行一次高爾頓板試驗,求小球掉入5號球槽的概率.
(2)小紅和小明在研究了高爾頓板后,利用高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行營利性“抽獎”活動.小紅使用圖1所示的高爾頓板,付費6元可以玩一次游戲,小球掉入m號球槽得到的獎金為ξ元,其中ξ=|16-4m|.小明改進(jìn)了高爾頓板(如圖2),首先將小木塊減少成5層,然后使小球在下落的過程中與小木塊碰撞時,有的概率向左,的概率向右滾下,最后掉入編號為1,2,…,5的球槽內(nèi),改進(jìn)高爾頓板后只需付費4元就可以玩一次游戲,小球掉入n號球槽得到的獎金為η元,其中η=(n-4)2.兩位同學(xué)的高爾頓板游戲火爆進(jìn)行,很多同學(xué)參加了游戲,你覺得小紅和小明誰的盈利多 請說明理由.
【解析】　(1)記“這個小球掉入5號球槽”為事件A,掉入5號球槽,需要向右滾4次,向左滾2次,則P(A)=×2×4=.　
所以這個小球掉入5號球槽的概率為.
(2)小明的盈利多,理由如下:
小紅的收益計算如下:每一次游戲中,ξ的可能取值為0,4,8,12,
則P(ξ=0)=P(m=4)=×3×3=,
P(ξ=4)=P(m=3)+P(m=5)=×2×4+×4×2=,
P(ξ=8)=P(m=2)+P(m=6)=××5+×5×=,
P(ξ=12)=P(m=1)+P(m=7)=×6+×6=,
所以ξ的分布列為
ξ 0 4 8 12
P
　　一次游戲付出的獎金E(ξ)=0×+4×+8×+12×=(元),則小紅的收益為6-=(元).
小明的收益計算如下:每一次游戲中,η的可能取值為0,1,4,9,
則P(η=0)=P(n=4)=××3=,
P(η=1)=P(n=3)+P(n=5)=×2×2+×4=,
P(η=4)=P(n=2)=×3×=,
P(η=9)=P(n=1)=4=,
所以η的分布列為
η 0 1 4 9
P
　　一次游戲付出的獎金E(η)=0×+1×+4×+9×=1(元),則小明的收益為4-1=3(元).
顯然,3>,所以小明的盈利多.
點評　本題以高爾頓板為背景,考查獨立重復(fù)試驗的概率問題以及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望,滲透了數(shù)學(xué)文化,意在考查考生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算以及邏輯推理的素養(yǎng).解題關(guān)鍵是根據(jù)具體情況確定X的取值情況,然后利用二項分布的概率知識求出X取各個值時對應(yīng)的概率,寫出分布列,根據(jù)期望公式求出相應(yīng)的期望,并解決問題.
2第3章章末小結(jié)
【知識導(dǎo)圖】
【題型探究】
題型1 條件概率
例1　(2022年新高考全國Ⅰ卷節(jié)選)一醫(yī)療團(tuán)隊為了研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組),同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對照組),得到如下數(shù)據(jù):
不夠良好 良好
病例組 40 60
對照組 10 90
　　從該地的人群中任選一人,A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”,B表示事件“選到的人患有該疾病”.與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo),記該指標(biāo)為R.
(1)證明:R=·.
(2)利用該調(diào)查數(shù)據(jù),給出P(A|B),P(A|)的估計值,并利用(1)的結(jié)果給出R的估計值.
小結(jié)　求條件概率的主要方法:
(1)利用條件概率公式P(B|A)=;
(2)針對古典概型,可通過縮減基本事件總數(shù)求解.
本題滲透了邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
題型2 獨立事件的概率
例2　(2021年新高考全國Ⅰ卷)有6個相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則(　　).
A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立
C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立
小結(jié)　事件A,B之間獨立性的判定方法
(1)定義法:P(AB)=P(A)P(B).
(2)借助條件概率:P(B|A)=P(B)或P(A|B)=P(A).
(3)直接法:看事件A發(fā)生對事件B有無影響.
題型3 乘法公式與全概率公式
例3　已知甲袋中有3個白球,2個黑球;乙袋中有4個白球,4個黑球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋,然后從乙袋中任取一球,求此球為白球的概率.
小結(jié)　本題考查利用全概率公式計算事件的概率,解題的關(guān)鍵在于確定從甲袋取出的2個球中白球的個數(shù),結(jié)合全概率公式進(jìn)行計算,本題滲透了數(shù)據(jù)分析以及數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).
題型4 二項分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系
例4　某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本測出它們的質(zhì)量(單位:克),質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到如下的樣本頻率分布直方圖.
　　
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量;
(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件,設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求X的分布列;
(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品,設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列.
小結(jié)　學(xué)生對“超幾何分布與二項分布”這兩種模型的定義不能很好地理解,一遇到“取”或“摸”的題型,就認(rèn)為是超幾何分布,不加分析,濫用公式,運算對象不明晰,事實上,超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯(lián)系,但也有明顯的區(qū)別.
超幾何分布的抽取是不放回的抽取,各次抽取不獨立;二項分布的抽取是有放回的抽取,各次抽取相互獨立.當(dāng)超幾何分布所對應(yīng)的總體數(shù)量很大時可以近似地看作二項分布.
題型5 離散型隨機(jī)變量的均值與方差
例5　(2022年全國甲卷)甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個項目,每個項目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項目的比賽結(jié)果相互獨立.
(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;
(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望.
小結(jié)　求離散型隨機(jī)變量的均值、方差的步驟:(1)明確隨機(jī)變量的取值,以及取每個值的試驗結(jié)果;(2)求出隨機(jī)變量取各個值的概率;(3)列出分布列;(4)利用期望、方差公式求解.本題滲透了數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng).
題型6 正態(tài)分布
例6　(2022年新高考全國Ⅱ卷)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(22.5)=　　　　.
小結(jié)　正態(tài)分布的概率通常有以下兩種求法:(1)注意“3σ原則”的應(yīng)用.記住正態(tài)總體在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率.(2)注意數(shù)形結(jié)合.由于正態(tài)分布密度曲線具有對稱性,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想,因此運用對稱性結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點問題.
【拓展延伸】
　　一、高爾頓簡介
弗朗西斯·高爾頓(Francis Galton, 1822—1911)是英國著名的統(tǒng)計學(xué)家、心理學(xué)家和遺傳學(xué)家.他是達(dá)爾文的表弟,雖然不像達(dá)爾文那樣聲名顯赫,但也不是無名之輩.并且,高爾頓幼年是神童,長大是才子,九十年的人生豐富多彩,是個名副其實的博學(xué)家.他涉獵范圍廣泛,研究水平頗深,縱觀科學(xué)史,在同輩學(xué)者中能望其項背之人寥寥可數(shù).他涉足的領(lǐng)域包括天文、地理、氣象、機(jī)械、物理、統(tǒng)計、生物、遺傳、醫(yī)學(xué)、生理、心理等,還有與社會有關(guān)的人類學(xué)、民族學(xué)、教育學(xué)、宗教學(xué),以及優(yōu)生學(xué)、指紋學(xué)、照相術(shù)、登山術(shù)等.
在達(dá)爾文發(fā)表了《物種起源》之后,高爾頓也將研究方向轉(zhuǎn)向生物及遺傳學(xué),他第一個對同卵雙胞胎進(jìn)行研究,論證了指紋的永久性和獨特性.他從遺傳的觀點研究人類智力并提出“優(yōu)生學(xué)”,是第一位強(qiáng)調(diào)把統(tǒng)計學(xué)方法應(yīng)用到生物學(xué)中去的人.
二、高爾頓板
高爾頓設(shè)計了一個釘板實驗,希望用統(tǒng)計的觀點來解釋遺傳現(xiàn)象.
如圖所示,木板上釘了數(shù)排(n排)等距排列的釘子,下一排的每個釘子恰好在上一排兩個相鄰釘子之間,從入口處放入若干直徑略小于釘子間距的小球,
小球在下落的過程中碰到任何釘子后,都將以的概率滾向左邊,的概率滾向右邊,碰到下一排釘子時又是這樣.如此繼續(xù)下去,直到滾到底板的格子里為止.
讓一個個小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落過程中與層層小釘子碰撞,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi),如果球的數(shù)目相當(dāng)大,它們在底板將組成近似中間高兩頭低,呈左右對稱的圖形.上面的釘板試驗可繪制成如圖所示的曲線,這就是我們學(xué)習(xí)過的正態(tài)曲線.
試驗表明,只要小球足夠多,它們在底板堆成的形狀將近似于正態(tài)曲線.
三、以高爾頓板為背景的題目
由高爾頓板衍生出的題目很多,下面舉一例,供賞析.
案例　高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?前面擋有一塊玻璃,讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞,且等可能向左或向右滾下,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖1所示的高爾頓板有7層小木塊,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以的概率向左或向右滾下,依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞,最后掉入編號為1,2,…,7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號球槽,則在6次碰撞中有2次向右4次向左滾下.
(1)如圖1,進(jìn)行一次高爾頓板試驗,求小球掉入5號球槽的概率.
(2)小紅和小明在研究了高爾頓板后,利用高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行營利性“抽獎”活動.小紅使用圖1所示的高爾頓板,付費6元可以玩一次游戲,小球掉入m號球槽得到的獎金為ξ元,其中ξ=|16-4m|.小明改進(jìn)了高爾頓板(如圖2),首先將小木塊減少成5層,然后使小球在下落的過程中與小木塊碰撞時,有的概率向左,的概率向右滾下,最后掉入編號為1,2,…,5的球槽內(nèi),改進(jìn)高爾頓板后只需付費4元就可以玩一次游戲,小球掉入n號球槽得到的獎金為η元,其中η=(n-4)2.兩位同學(xué)的高爾頓板游戲火爆進(jìn)行,很多同學(xué)參加了游戲,你覺得小紅和小明誰的盈利多 請說明理由.
2

展開更多......

收起↑