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初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)輔助線做法歸納匯總
一、中點(diǎn)模型的構(gòu)造
1.已知任意三角形一邊上的中點(diǎn)，可以考慮：
(1)倍長(zhǎng)中線或類中線(與中點(diǎn)有關(guān)的線段)構(gòu)造全等三角形.如圖1、圖2所示.
(2)三角形中位線定理.
2.已知直角三角形斜邊中點(diǎn)，可以考慮構(gòu)造斜邊中線.
3.已知等腰三角形底邊中點(diǎn)，可以考慮與頂點(diǎn)連接用“三線合一”.
4.有些題目的中點(diǎn)不直接給出，此時(shí)需要我們挖掘題目中的隱含中點(diǎn)，例如：直角三角形中斜邊中點(diǎn)，等腰三角形底邊上的中點(diǎn)，當(dāng)沒(méi)有這些條件的時(shí)候，可以用輔助線添加.
二、角平分線模型的構(gòu)造
與角平分線有關(guān)的常用輔助線作法，即角平分線的
四大基本模型.
已知P是 平分線上一點(diǎn)，
(1)若 于點(diǎn)A，如圖1，可以過(guò)P點(diǎn)作 ON于點(diǎn) B,則. .可記為“圖中有角平分線，可向兩邊作垂線”.
(2)若點(diǎn)A 是射線 OM 上任意一點(diǎn)，如圖2，可以在 ON 上截取 ,連接 PB,構(gòu)造 .可記為“圖中有角平分線，可以將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)”.
(3)若 于點(diǎn)P，如圖3，可以延長(zhǎng)AP交ON于點(diǎn)B，構(gòu)造 是等腰三角形，P是底邊AB的中點(diǎn).可記為“角平分線加垂線，三線合一試試看”.
(4)若過(guò)P點(diǎn)作 交OM于點(diǎn)Q,如圖4,可以構(gòu)造 是等腰三角形，可記為“角平分線+平行線，等腰三角形必呈現(xiàn)”.
三、軸對(duì)稱模型的構(gòu)造
下面給出幾種常見(jiàn)考慮要用或作軸對(duì)稱的基本圖形.
(1)線段或角度存在2倍關(guān)系的，可考慮對(duì)稱.
(2)有互余、互補(bǔ)關(guān)系的圖形，可考慮對(duì)稱.
(3)角度和或差存在特殊角度的，可考慮對(duì)稱.
(4)路徑最短問(wèn)題，基本上運(yùn)用軸對(duì)稱，將分散的線段集中到兩點(diǎn)之間，從而運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短，來(lái)實(shí)現(xiàn)最短路徑的求解.所以最短路徑問(wèn)題，需考慮軸對(duì)稱.幾何最值問(wèn)題的幾種題型及解題作圖方法如下表所示.
問(wèn)題 作法 圖形 原理
在l上找一點(diǎn) P, 使 PA+PB 最小 連接AB PA+PB 最小值為AB,兩點(diǎn)之間，線段最短
在直線l上求一點(diǎn) P，使AP+BP最小 作A 關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn) A',連接A'B,與l的交點(diǎn)即為點(diǎn) P AP+BP=A'B,兩點(diǎn)之 間，線段最短
在直線 l ,l 上分別求點(diǎn) M,N, 使△PMN 周長(zhǎng)最小 分 別 作 P關(guān)于 兩直線的對(duì)稱點(diǎn) P' ,P",連接P'P",與兩直線交點(diǎn)即為M,N PM+MN+PN=P'P',兩點(diǎn)之間，線段最短
在直線l ,l 上分別求點(diǎn)M,N, 使四邊形 PMNQ 周長(zhǎng)最小 分別作 點(diǎn) P，Q關(guān)于兩直 線 l ,l 的 對(duì) 稱點(diǎn) P' ,Q' , 連接 P'Q',與 直線的交點(diǎn) 即為M,N PQ+PM+ MN+NQ=P' Q',兩點(diǎn)之 間，線段最 短
在 直 線 l 上求兩點(diǎn) M， N(M在左), 使得 MN=a, 并 使 AM + MN+NB 最小 將 A 向右平移a個(gè)單位到A',作A'關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A",連接A"B,與l交點(diǎn)即為點(diǎn) N, 將點(diǎn) N向左平移a個(gè)單位即為M AM+MN+NB=a+A"B,兩點(diǎn)之間，線段最短
(續(xù)表)
問(wèn)題 作法 圖形 原理
在直線 l上求點(diǎn) P,使|AP-BP|最大 連 接 BA 并延長(zhǎng)與直 線l的交點(diǎn) 即為點(diǎn) P |AP-BP| =|AB,三角形任意兩邊之差小于第三邊
在直線l上求點(diǎn) P,使|AP-BP|最大 作點(diǎn) B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn) B',作直線 AB'與l的交點(diǎn)即為點(diǎn) P |AP-BP| =AB', 三角形任意兩邊之差小于第三邊
在直線l上求點(diǎn) P,使|PA-PB|最小 連接AB,作 AB中垂線與l的交點(diǎn)即為點(diǎn) P |PA-PB|=|0，垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)距離相等
點(diǎn) P 在 銳 角∠AOB 內(nèi)部 , 在OB邊上求作一點(diǎn)D, 在 OA 邊上求作一點(diǎn) C,使 PD+CD最小 作點(diǎn) P關(guān)于直線 OB的 對(duì) 稱 點(diǎn)P',過(guò)P向直線 OA 作垂線與 OB 的交點(diǎn)為所求點(diǎn) D，垂足即為點(diǎn)C PD +CD 的最小值為 P'C長(zhǎng)度.點(diǎn) P到直線 OA的距離，垂線段最短
四、圓中輔助線構(gòu)造
在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問(wèn)題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見(jiàn)方法，對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是大有幫助的。
1.構(gòu)造等腰三角形
利用半徑相等構(gòu)造等腰三角形(如圖).
2.見(jiàn)弦作弦心距
有關(guān)弦的問(wèn)題，常作其弦心距(有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑)，通過(guò)垂徑平分定理，來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論間的關(guān)系(如圖).
3.見(jiàn)直徑作圓周角
在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”這一特征來(lái)證明問(wèn)題(如圖所示).
4.見(jiàn)切線作半徑
(1)命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用“切線與半徑垂直”這一性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題(如圖所示).
(2)證切線：①有交點(diǎn)：連半徑，證垂直
②無(wú)交點(diǎn)：作垂直，證半徑
5.兩圓相切作公切線
對(duì)兩圓相切的問(wèn)題，一般是經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過(guò)公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系(如圖所示).
6.兩圓相交作公共弦
對(duì)兩圓相交的問(wèn)題，通常是作出公共弦，通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來(lái)(如圖所示).
7.圓心角與圓周角倒角
五、旋轉(zhuǎn)圖形中輔助線的做法
1.旋轉(zhuǎn)中的常見(jiàn)題型，在解這類題目時(shí)，什么時(shí)候需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，怎么構(gòu)造旋轉(zhuǎn).下面，就不同類型的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，給出構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形的解題方法：
遇中點(diǎn)，旋180°，構(gòu)造中心對(duì)稱；
遇90°,旋90°,造垂直;
遇60°,旋60°,造等邊;
遇等腰，旋頂角.
綜上四點(diǎn)得出旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)特征：等線段，共頂點(diǎn)，就可以有旋轉(zhuǎn).
2.圖形旋轉(zhuǎn)后我們需要證明旋轉(zhuǎn)全等，而旋轉(zhuǎn)全等中的難點(diǎn)實(shí)際上是倒角，下面給出旋轉(zhuǎn)常用倒角，只要是旋轉(zhuǎn)，必然存在這兩個(gè)倒角之一.
如圖1,若∠AOB=∠COD,必有∠ ,反之亦然.
如圖2,若∠A=∠D,必有∠B=∠C.
小提示：倒角是在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的名詞，其意思就是通過(guò)角之間的等量關(guān)系，得到我們所需要的角的關(guān)系的過(guò)程.
六、三角形問(wèn)題添加輔助線方法
1.在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明.
例如:已知如圖:D,E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn), 求證:AB+AC>BD+DE+CE.
2.在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：
例如：如圖：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC>∠BAC.
3.有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.
例如：如圖：已知AD為 的中線，且 求證：
4.有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形.
例如：如圖：AD為 的中線，且. 求證：
5.有三角形中線時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形.
例如：如圖：AD為 的中線，求證： 2AD.
6.在證明三角形三邊不等關(guān)系時(shí)，常用截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線.
例如：已知如圖：在 中, P為AD上任一點(diǎn).求證：
7.在證明線段相等或角相等時(shí)，常延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形.利用三角形全等證明線段或角相等.
例如：如圖：已知 于A, 于 B, 求證:
8.連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決.
例如：如圖： 求證：
9.有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng).
例如：如圖：在 中, 的延長(zhǎng)線于 E. 求證： 2CE.
10.連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形.
例如:已知:如圖:AC,BD相交于 O點(diǎn),且. DC,AC=BD, 求證:
11.取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形.
例如：如圖： 求證：
12.特殊角直角三角形.
當(dāng)圖形中出現(xiàn)30°,45°,60°,135°,150°特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用 角直角三角形三邊比為 角直角三角形三邊比為1:2: 進(jìn)行證明.
七、平行四邊形問(wèn)題添加輔助線方法
平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例如下：
1.連對(duì)角線或平移對(duì)角線如圖 1.
2.過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形如圖2.
3.連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作
一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線，如圖3.
4. 連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形，如圖 4.
5.過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等,如圖5.
八、初中幾何常見(jiàn)輔助線口訣
人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。
輔助線，如何添 把握定理和概念。
還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。
三角形
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。
也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。
角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。
角平分線加垂線，三線合一試試看。
線段垂直平分線，常向兩端把線連。
線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。
線段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。
三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。
四邊形
平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。
梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱?。
平移腰，移對(duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。
如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。
上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。
證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。
等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。
直接證明有困難，等量代換少麻煩。
斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。
圓形
半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。
圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。
切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。
要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。
是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。
弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。
圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。
弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。
要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。
還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓
如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。
內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。
若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。
要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。
注意點(diǎn)
輔助線，是虛線，畫(huà)圖注意勿改變。
假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。
基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。
解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。
切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。
分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。
虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。

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