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2024年中考數學復習二次函數與幾何模型專題講解
問題背景：在平面直角坐標系中，二次函數 的圖象與x軸交于A(-3, 0), B(1, 0)兩點, 與y軸交于點C(0, 3).
一、線段和差問題：
(1) 點 M為直線AC上方拋物線上一動點，過M點作 MN∥y軸交直線AC于點N，當點M 的坐標為多少時，線段 MN有最大值，并求出其最大值：
思路點拔：設/ 則N(m, m+3)且-3∵-1<0, ∴開口向下
∴當 時，MN的最大值 此時
(2) 點M 為直線AC上方拋物線上一動點，過 M點作MN∥y軸交直線AC 于點 N，作 于點E，當點M的坐標為多少時，△MEN的周長有最大值，并求出其最大值：
變式：△MEN的面積有最大值，并求出其最大值.
思路點拔：
易證△MEN∽△AOC,
∴△MEN為等腰直角三角形，
∴當MN取最大值時, CAMEN最大
由(1) 得當 時，MN的最大值
∴C△MENE的最大值為：
(3)如圖, 直線y=kx(k<0) 與該拋物線在第二象限的交點為M, 與AC交于點E, 求 的最大值；(斜線段轉橫平豎直線段)
思路點拔：作 軸交AC于 N, 則
∴當MN取最大值時， 最大，
由(1) 得當 時, MN 的最大值為:
的最大值為：
變式：如圖，直線y=kx(k<0)與該拋物線在第二象限的交點為M，與AC交于點E，求 時點直線 y=kx的解析式.
二、面積問題：
(4) 點M 是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點 M，使 的面積最大 若存在，求出點 M的坐標；若不存在，說明理由；(鉛垂法)
思路點拔: 作MN//y軸交AC于 N,
則:
∴開口向下
∴當 時,S△ACM的最大值為：
此時
方法②: (切線法)
作直線AC的平行線l，設其解析式為y=x+b，當直線l與拋物線有唯一公共點時△ACM 的面積最大，其M的位置就是其唯一公共點.
由 得,
∴x +3x+b-3=0 Δ=9-4(b-3) 由△=0得
將 代入. 解得
所以此時
(弊端：計算量較大，如果需要求面積最大值還要進行轉化，因為ME這條垂線段的長度不太好求.)
變式：點M 是直線AC上方的拋物線上一動點，使△ACM 的面積為整數的點M有幾個，并說明理由；(建議結合問題(6) 中的平行轉化面積的方法進行解答)
(5) 點M 是直線AC下方的拋物線上一動點，是否存在點M，使 若存在，求出點M的坐標； 若不存在，說明理由；(鉛垂法)
思路點拔：
作 MN∥y軸交AC于 N,
則:
解得：
(6) 點P 是拋物線的頂點，在拋物線上是否存在異于 P 點的點 Q，使 若存在，求出點Q的坐標； 若不存在，說明理由；(轉化法)
思路點拔: 易求 P(-1, 4)
方法①：求出△PAC的面積為3，所以可以利用問題(4)和問題(5)中的鉛垂法 求出Q點的坐標.
(注意：分點Q在AC 上方和點Q在AC下方兩種情況.)
方法②：平行線轉化法
① 過 P 點作AC的平行線l 交拋物線于點 Q，則 此時直線PQ的解析式: y=x+5由 求出兩組解，其中一組對應P點坐標，應舍去，另一組解即為Q 點的坐標.
② 當Q在AC下方時,由平移可知: 直線l 為y=x+1解 可得 Q 、Q 的坐標.
(7) 點 M是拋物線上一動點，是否存在點M，使 若存在，求出點M 的坐標：若不存在，說明理由：(轉化法或鉛垂法)
思路點拔：
方法①：易求出. 的面積為 由 得 所以可以利用問題(4) 和問題(5)中的鉛垂法求出 時M點的坐標.
(注意：分點 M在AC 上方和點 M在AC下方兩種情況.)
方法②：平行線轉化法
由 得:
∴可在x軸上取點Q(-1, 0) 或(-5, 0), 則
∴只須在拋物線上找到點M，使 即可，
∴可以利用問題(6) 中的平行線法求解，可以過Q作AC的平行線，求出與拋物線的交點坐標即可.
(8) 拋物線上是否存在點 P，使 若存在，求出點 P的坐標，若不存在，說明理由；(同側作平行，異側過中點)
思路點拔：
① 當點A 與點C在直線OP的同側時，可以過O作直線l 平行于AC，直線l 與拋物線的交點即為所求的P 和P .
易求直線l 的解析式為y=x，
由 求出兩組解即為P 和P 的坐標
② 當點A與點C在直線OP的異側時，OP一定過AC的中點M，易得直線OM 的解析式為y=-x
由 求出兩組解即為P 和P 的坐標
變式：
如圖，已知點 H(1，0)，在拋物線上是否存在點 G，使得 若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由.
三、特殊三角形問題：
(9) 點P為直線AC上方的拋物線上一動點，過P 點作 PE垂直于x軸于E，交AC于點F，當△CPF為等腰直角三角形時，求P點的坐標.
思路點拔：
因為∠PFC=45°, 所以分∠FCP=90°和∠FPC=90°兩類考慮.
① 當∠FCP=90°時, 易得直線PC的解析式為: y=-x+3
由 求出兩組解 舍去)
∴P (-1,4)
② 當∠FPC=90°時, 易得∠FCP=45°, 所以CP∥x軸
由對稱性可知：
綜上：P (-1,4), P (-2,3)
變式：點P為直線AC上方的拋物線上一動點，過P 點作 PE垂直于x軸于 E，交AC于點 F，當△CPF為等腰三角形時，求P 點的坐標.
思路點拔：
若 PF=PC,則∠PCF=∠PFC=45°, 所以PC平行于x軸, 由拋物線的對稱性易得 P點的坐標;若 CP=CF, 易得. 所以.
解得: m=0(舍去), m=-1
若QP=FC, 易得
解得: m=0(舍去), 從而求出P點的坐標。
(10) 在拋物線的對稱軸上是否存在點 Q 使 是等腰三角形 若存在，求出點Q的坐標； 若不存在，說明理由；(等腰三角形：兩圓一線)
幾何法：先利用“兩圓一線”畫出Q 點的位置，再利用勾股定理、三線合一或相似三角形求點Q 的坐標.(具體方法可參考等腰三角形模型之單動點平行四邊形存在性問題微課)
解析法：
設點 Q的坐標為 則:
又
① 當 時，有 所以：
解得：
經檢驗, m=6時, Q、 C、B 三個點在同一直線上, 應舍去:
② 當QC=QB時,有( 所以：
解得：
③ 當QB = BC 時,有 所以：
解得：
所以，點Q的坐標為
(11) 在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為直角三角形；若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由；(直角三角形：兩線一圓)
思路點拔：
方法①:
①當∠ACQ=90°時,過C點作AC的垂線交對稱軸于點 Q;
利用等腰直角三角形或三垂直結構易求(
②當∠CAQ=90°時,過A點作AC的垂線交對稱軸于點 Q; 同理可求(
③當∠AQC=90°時，以AC為直徑作一個圓與對稱軸交于兩點，
則這兩點分別為Q 、Q ，利用勾股定理或相似易求Q 、Q 的坐標.
方法②:
設點Q 的坐標為(-1, m), 則:
又
①當∠ACQ=90°時,
②當∠CAQ=90°時,
③ 當∠AQC=90°時,
五、相似與角度問題：
(17)點Q是拋物線上一動點，過點Q作 QE 垂直于x軸，垂足為E. 是否存在點Q，使以點A、Q、E為頂點的三角形與△BOC相似 若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由；
思路點拔：
方法①：(先函數，后幾何)
設 所以有
由相似的分類討論得： 或
所以： 或
(注意：分子可以分解因式，或直接利用交點式y=-(x+3)(x-1)設Q 點的坐標)
方法②：(先幾何，后函數)
由相似的分類討論得： 或 利用直線中k的幾何意義，
從而求出直線AQ 的解析式可以是
再利用直AQ的解析式與二次函數的解析式y=-(x+3)(x-1)，聯立可求對應的Q點的坐標.
AQ的解析式還可以是 或y=3x+9或y=-3x-9
小技巧：
①可利用因式分析簡化計算，用二次函數的交點式；
②還可利用韋達定理求Q點的坐標.
(18) 點P為拋物線的頂點，作 PH⊥AB于H，Q是為x軸上方的拋物線上一動點(點 Q 與點 P不重合),過Q點作QM⊥AP 于 M,當△QMP 與△APH 相似時,求點Q的坐標;
思路點拔：
(a) 當△QMP∽△PHA時, 如圖1, 易得∠MPQ=∠HAP,
延長 PQ交x軸于T, 所以有等腰△ATP,設T的坐標為(t, 0),
利用相似或勾股定理可求T點的坐標為(2，0)，從而求出直線 PQ 的解析式為 再利用 求出Q 點的坐標；可以利用 得 再利用韋達定理可得 從而得
(b) 當△QMP∽△AHP 時, 如圖2,
方法①：可以利用∠QPM=∠APH，構造三垂直相似求 R點的坐標，
從而求出R(-5, 1), 可得 RP的解析式為
再利用 求出Q點的坐標；
方法②: 利用∠QPM=∠APH, 可證 PT垂直于 PQ ,利用相似(或射影定理) 可求T點的坐標，從而可得 PQ的解析式為 再利用 求出Q 點的坐標；
方法③: 利用∠QPM=∠APH, 可證 PT 垂直于 PQ ,利用互相垂直的兩條直線 求 PQ的解析式為 再利用 求出Q點的坐標.
(19) 拋物線上是否存在的點Q，使∠QBC=45°，若存在，求出Q點的坐標； 若不存在，說明理由；思路點拔：
利用45°角的常見思路是構造等腰直角三角形，再利用弦圖去解決問題.
如圖，構造等腰直角三角 MBC，過M和C分別作x軸和y軸的垂線交于點N，易得 從而求出點M的坐標為(-3，2)，再求BM 的解析式為
再利用 求Q點坐標.
注意：①可用前面的小技巧簡化計算；
②若 則α+β=45°,若 則
(20) 拋物線上是否存在的點Q, 使∠QCA+∠OCB=45°,若存在, 求出Q點的坐標; 若不存在, 說明理由；
思路點拔：
將角度和轉化為等角去完成
①先在 AC的下方找∠QCA(如圖), 作B關于x軸的對稱點B', 則
∴∠OCB'=∠OCB,可得
故點 Q 即為直線B'C 與拋物線的另一個交點，直線B'C 的解析式為y=3x+3,
解 可得Q 的坐標；
②將B'C 沿AC對稱可得直線 B"C的解析式為
解 可得Q 的坐標；
小技巧：
求滿足條件的點的坐標時，可以先找出點所在的線，即點的運動范圍，很多時候都是先找到與軸的交點來確定線，然后根據函數圖象求交點的方法去求點的坐標.
(21) 拋物線的對稱軸與x軸交于點E，在對稱軸上是否存在一點Q，使∠AQE=2∠BCO，若存在，求出點Q 的坐標，若不存在，請說明理由：
變式：在對稱軸上是否存在一點P，使∠APB=∠BCO，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；
思路點拔：
方法①: 構造∠AQE的一半
如圖①,在對稱軸上找到一個點 M,使∠AME=∠BCO,易得M(-1, 6), 再在ME上找到點Q, 使AQ=MQ, 則∠AQE=2∠AME=2∠BCO;利用相似或勾股定理易求點Q 的坐標為 沿x軸對稱可以得到Q 坐標為
方法②: 構造∠BCO 的兩倍
如圖②,在CO上找到一個點N, 使 CN=BN, 則. 可以利用相似或勾股定理求 N點坐標 所以只需在對稱軸上找一個點Q，使 即可，利用相似或三角函數可求點 Q 的坐標為 沿x軸對稱可以得到Q 坐標為
(22) M為線段AB上一動點，過點M作MN∥AC交 BC于點N，當點M的坐標為多少時△ACM∽△CMN;
思路點拔：
方法①:由MN∥AC得∠ACM=∠CMN,所以當 時,△ACM∽△CMN,所以( 設M(m,0), 由 得
所以
由Rt△CMO得:
解得： (舍去),
方法②:
由MN∥AC得∠ACM=∠CMN, 所以當∠MCN=∠CAM時, 所以將相似問題轉化成了45°角的問題. 利用等腰直角△CRB 易求R(-2，-1)，從而求出直線 CR的解析式，再求M點的坐標.
變式：M為線段AB 上一動點，過點 M作. 交BC 于點 N, 求 的面積的最大值及此時點 M的坐標，并判斷此時△ACM與 是否相似
(24) 點Q是拋物線上一動點，點M為拋物線對稱軸上一動點，當以A、O、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，求出點 Q的坐標；
思路點拔：
(a)當 時，可得Q的橫坐標為-4，代入二次函數解析式可以求出 Q 點的縱坐標；
(b)當 時，可得Q的橫坐標為2，代入二次函數解析式可以求出 Q 點的縱坐標；
(c) 當MQ為對角線時，取AO的中點I，則I的坐標為 易得Q點的橫坐標為-2，代入二次函數解析式可以求出 Q點的縱坐標.
(25) 點 M 為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形 若存在，求出點Q的坐標； 若不存在，說明理由；
思路點拔：
(a) 當AC為平行四邊形的一邊時，
方法①:
易得 M點的縱坐標分別為3或-3，代入二次函數解析式 可求M點的坐標(舍去點C)，再根據平移法則可求 Q點的坐標；
方法②:
設Q(t,0), 根據平移法則易得M(t+3, 3)或(t-3, -3), 將M點坐標代入 解出t的值，從而得到Q點的坐標；(計算時可以利用整體思想先算出t+3、t-3的值，再求t的值)
(b) 當AC為平行四邊形的對角線時，
方法①: (通法)
設Q(t, 0), 由中點坐標公式得 M點的縱坐標為(-3-t, 3), 代入 解出t的值，從而得到Q點的坐標；
方法②:
當AC為平行四邊形的對角線時,有 CM∥AQ, 所以AQ=CM=2, 所以Q(-1,0)故滿足條件的Q點有4個.(答案略)
(26) P 為拋物線的對稱軸上一動點，點 Q在坐標平面內，若以B、C、P、Q為頂點的四邊形為矩形，求Q點的坐標； 以B、C、P、Q為頂點的四邊形能為正方形嗎 若能，請直接寫出此時Q點和P點的坐標；(矩形存在性問題轉化成直角三角形存在性問題)
思路點拔：
先確定矩形的一半：直角三角形，再利用單動點的平行四邊形存在性問題的套路和方法確定Q點的坐標. 確定直角三角形時采用直角三角形存在性問題的“兩線一圓”去完成，充分利用三垂直相似或構股定理構造方程求解
(a) 作CP垂直于 CB交對稱軸于點 P, 作 CM 垂直于對稱軸于M,易證△CMP∽△COB從而求出 P點的坐標，再利用平移法則或中點坐標公式確定Q點的坐標；
(b)作BP垂直于 BC交對稱軸于點 P,易得△BEP∽△COB,易求P點的坐標,同理求 Q點的坐標;
(c)當∠CPB=90°時, 如圖, 易得△BEP∽△PMC, 設 P(-1, m), 則 解得: m=1或2(可以以BC為直徑畫圓看圓與對稱軸交點的個數)，再求Q點的坐標
綜上，滿足條件的Q點有4個(計算略)
顯然, 當m=1時,△BEP≌△PMC, 易得矩形CPBQ為正方形, 此時P(-1, 1), Q(2, 2)
(27)點P為拋物線上一動點，以AP為邊按順時針方向作如圖所示的正方形APMN，當點M 或N落在y軸上時求P 點的坐標.
思路點拔：
設
(a)當M落在y軸上時,如圖1,△PEA≌△MFP, 可得PE=MF, 所以 (兩個結果根據P 點位置舍去一個正值)
(b) 當N落在y軸上時, 如圖2,△PEA≌△AON, 可得 PE=AO=3, 所以 解得m=-2或0(經驗證兩個結果都滿足題意，m=0如圖3)
(c) 當M落在y軸上時,如圖4,△PEA≌△MFP, 可得 PE=MF, 所以 (兩個結果根據P 點位置舍去一個負值)
注意：(c)中的方程其實和第一個方程完全相同，但根據圖形中線段與坐標之間的關系求解后應舍去負值，所以滿足條件的P點共有4個.
(28) Q為直線AC上一動點，點 P在坐標平面內，若以A、O、P、Q為頂點的四邊形為菱形，求P點的坐標；(菱形存在性問題轉化為等腰三角形存在性問題)
思路點拔：
菱形的存在性問題轉化為等腰三角形的存在性問題，此題屬于單動點的等腰三角形的存在性問題，可以利用“兩圓一線”去找點，利用相似，勾股定理等求出Q點的坐標，再利用平移法則或沿底邊對稱得到點 P.
(a)以A為圓心，AO的長為半徑畫圓，交直線AC于點Q ，Q ，易求Q ，Q 的坐標，再利用平移法則或對稱性得到對應的 P 點坐標；
(b)以O為圓心，OA的長為半徑畫圓，交直線AC于點Q ，顯然Q 與點C 重合，易求對應P點的坐標；
(c)當AC為底邊時，易得QA=AO，所以可以作AO的垂直平分線交AC于點 Q，再對稱求出 P點的坐標.
綜上，滿足條件的Q點和P點各有4 個.
(29) 點P 是拋物線上一動點,點M是y軸上一點, 點Q 是直線AC上一點, 當以C、Q、P、M為頂點的四邊形為菱形時，求點P的坐標；
變式：點 P 是拋物線上一動點，點M 是坐標平面內一點，過P作y軸的平行線交直線AC于點 Q當以C、Q、P、M為頂點的四邊形為菱形時，求點P的坐標；
思路點拔：
菱形的存在性問題轉化為等腰三角形的存在性問題，此題中的等腰三角形屬于雙動點的等腰三角形存在性問題，需要根據P 點位置分三個區域進行分類討論，再根據對底邊和腰長進行分類，動點P、Q的分析往定點 C轉移. 設
(a) 當點P在AC上方時,易得∠PQC=45°(定角)
①若PQ=PC, 則∠PCQ=∠PQC=45°,所以PC平行于x軸,由拋物線的對稱性易得P點的坐標，沿底邊 QC 對稱易得 M 點的位置；
②若QP=QC, 易得 易得
解得: m=0(舍去),
③若CP=CQ, 易得 所以 解得: m=0(舍去), (這種情況中的P點也可根據CP垂直于AC來求，其實這時的P正好是拋物線的頂點)
(b) 當點P在A點左側時，易得 (定角)
所以只有 QP=QC這一種情況，易得
解得： (舍去),
(這種情況可以和第②種情況可歸結為一類，列方程時加絕對值即可)
(c) 當點P在 C 點右側時, 為鈍角，所以只可能 ,而∠PQC=45°≠∠CPQ,所以這種情況不存在. (具體解析可參考)
七、幾何變換問題
(30) D為拋物線的頂點，P為線段AD上一動點，PE垂直于y軸于E，把 沿直線EA折疊，點P 的對應點為P'，當 P'落在坐標軸上時，求此時 P點的坐標；
思路點拔：
(1) 當P'落在y軸上時, 易得∠AEP'=45°,所以OE=OA=3,此時E點與C 點重合
(2)當 落在x軸上時，易得四邊形APEP'為菱形，
方法①: 易求直線AD 的解析式為y=2x+6,可設P(m, 2m+6),則( 由 可得： 所以：
方法②：先用 設 則
解出a，代入P點坐標 求解.
變式：D為拋物線的頂點，P為線段AD上一動點，PE垂直于y軸于E，作 PF垂直于x軸于F，當矩形PEOF的面積取最大值時，連接EF，把 沿直線 EF 折疊, 點 P的對應點為P', 求出 P'的坐標，并判斷P'是否在該拋物線上.
思路點拔：
易求直線AD的解析式為. 可設
易求當 時，矩形的面積最大，此時 P點的坐標為 此時E與 C 重合
可得 利用三垂直相似模型可求 '點的坐標，再代入拋物線解析式檢查是否在此拋物線上.
(31)將該拋物線位于x軸上方的部分沿x軸翻折，其余保持不變，得到一個形如M的新圖象記作M，請你結合新圖象回答，當直線y=x+n與圖象 M有兩個公共點時，求n的取值范圍；
思路點拔：
利用對稱性易求對稱后的拋物線的解析式為
①當直線y=x+n過A 點時,可求n=3, 此時直線y=x+n與圖象M有唯一公共點;當直線y=x+n過B點時, 可求n=-1, 此時直線y=x+n與圖象M有三個公共點;
∴當-1②當直線y=x+n繼續往下運動，運動到與拋物線
有唯一公共點(類似于相切) 時，此時直線y=x+n與圖象 M有三個公共點；
由 得 由△=0解得
∴當 時，直線y=x+n與圖象M有兩個公共點；
綜上所述：當直線y=x+n與圖象 M有兩個公共點時，
有-1(32) 過C的直線l繞著點C 旋轉，在旋轉過程中與拋物線的另一交點為P，當點B到直線l的距離最大時求 P 點的坐標并直接寫出其最大距離：
思路點拔：
此題難度不大，主要考查幾何最值模型中的垂線段最短(斜邊大于直角邊)，如圖，可得BN≤BC，所以當直線l旋轉到使BC垂直于l時，此時點 BN有最大值等于 BC=3，
方法①:
利用兩直線的垂直位置關系，易求直線l的解析式為
解方程組 得 P 點坐標;(舍去x=0)
方法②：設P 點坐標 過 P作 PH垂直于 OC，利用相似三角形可求P 點坐標.

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