資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
數據的集中趨勢與離散程度
【學習內容】
數據的離散程度
【學習目標】
1．了解方差概念的產生和形成過程。
2．理解方差的定義和計算公式，會利用計算方差的方法來比較兩組數據的離散程度。
【學習重點】
【學習重點】
方差形成過程，會利用計算方差的方法來比較兩組數據的離散程度。
會用樣本平均數、樣本方差估計總體的平均數、方差，并進行簡單的分析
【學習難點】
方差意義的理解。
【學習過程】
一、預習課本：
思考：選拔射擊手參加比賽時，我們應該挑選測試成績中曾達到最好成績的選手，還是成績最穩定的選手？
【答案】選擇成績最穩定的選手。
二、學前準備：
某班50名同學進行科普知識競賽，根據50名同學的成績繪成如圖所示的統計圖．
(1)這50名同學競賽成績的眾數為多少（直接寫答案，不必說明理由）？
(2)求這50名同學的平均成績？
解：（1）由圖可知，
∴這50名同學競賽成績的眾數為80；
（2）平均成績為：（分）
答：這50名同學的平均成績為80分；
三、合作探究：
為進一步宣傳防溺水知識，提高學生防溺水的能力，某校組織七、八年級學生進行防溺水知識競賽（滿分100分）．現分別在七、八年級中各隨機抽取10名學生的測試成績：（單位：分）
進行統計、整理如下：
七年級：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87．
八年級：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84．
七、八年級測試成績頻數統計表
七年級 3 4 3
八年級 1 7 a
七、八年級測試成績分析統計表
平均數 中位數 眾數 方差
七年級 84 b 90
八年級 84 84 c
根據以上信息，解答下列問題：
(1)______，______，______；
(2)如果把分數不低于85分記為“優秀”，現七、八年級共有1200名學生，該估計七八年級在本次知識競賽中成績優秀的學生人數；
(3)你認為哪個年級的學生學習提防溺水知識的總體水平較好？請說明理由．
解：（1）解：八年級中隨機抽取10名學生的測試成績有名學生的成績低于分，
，
根據眾數的定義可知，
把七年級10名學生的測試成績排好順序為，
根據中位數的定義得：，
故答案為：，，；
（2）解：七年級10名學生的分數不低于85分所占的比例為，
八年級10名學生的分數不低于85分所占的比例為
七、八年級在本次知識競賽中成績優秀的學生人數，
（3）解：由于七、八年級測試成績的平均數相等，八年級測試成績的方差小于七年級測試成績的方差，
故八年級的學生學提防溺水知識的總體水平較好．
問題6 兩臺機床都生產直徑為(20 +0.2)mm的零件,為了檢驗產品質量,從產品中各抽出10個進行測量,結果如下(單位: mm):
思考：根據以上結果評判哪臺機床生產的零件的精度更穩定。
要比較,首先想到比較兩組數據的平均值:
A=20.0+(0-0.2 +… -0.2) = 20.0,
B = 20.0 +(0 +0+… -0.2) = 20. 0. .
A=B=20.0mm,它們的中位數也都是20.0mm,從數據集中趨勢這個角度很難區分兩臺機床生產的零件的精度的穩定性.這時,就需考察數據的離散程度了.
把每組零件的直徑分別用點來表示,如圖20-6.
圖中過20.0與橫軸平行的直線上的點表示平均數.可見機床A生產出的零件的直徑中偏離這個平均數0.2mm的有6個、0.1 mm的有2個;機床B生產出的零件的直徑中偏離這個平均數0.2 mm的有2個、0.1 mm的有4個,直觀上容易看出機床B比機床A生產的零件的精度更穩定。
下面通過計算方差,來評判問題中機床A和機床B哪臺生產的零件的精度更穩定.
前面已經算得A, B兩組數的平均數,于是
sA2=0.026( mm2 );
sB2= 0.012( mm2 ).
由于0.026 >0.012, 可知機床A生產的10個零件直徑比機床B生產的10個零件直徑波動要大.
探究體會：一組數據方差越大，說明這組數據的離散程度越大。
【自主探究】
閱讀教材P134～135，完成下列問題：
范例1：水稻種植是嘉興的傳統農業．為了比較甲、乙兩種水稻的長勢，農技人員從兩塊試驗田中，分別隨機抽取5棵植株，將測得的苗高數據繪制成下圖：請你根據統計圖所提供的數據，計算平均數和方差，并比較兩種水稻的長勢．
（1）哪個品種平均每公頃的產量較高？
（2）哪個品種的產量較穩定？
分析:現在要通過比較甲,乙兩個新品種在試驗田中的產量和產量的穩定性,來估計甲,乙兩個新品種在這一地區的產量和產量的穩定性,這實際。上就是用樣本的平均數和方差來估計總體的平均數和方差.
解: 甲,乙兩個新品種在試驗田中的產量各組成一個樣本.
甲==12.3（t)
乙==12.3（t)
說明甲、乙兩個新品種平均每公頃的產量一樣高.
下面我們來考察甲、乙兩個新品種的穩定性.
S甲2==[(12.6-12.3)2 +(12 -12.3)2 +(12.3-123)2+(11.7 -12.3)2 + (12.9 -12.3)2]
=0.18,
S乙2=[(12.3-12.3)2 +(12.3-12.3)2 +(12.3-12.3)2 +(11.4 -12.3)2 + (13.2 -12.3)2]
= 0.324.
得出S甲2可知，甲品種每公頃的產量波動比乙品種每公頃的產量波動要小，由此估計甲品種的穩定性好。
四、方差定義：
各數據與它們的平均數的差的平方的平均數，用公式表示為：
S2=[(x1-)2+(x2-)2+…+（xn-)2]
五、學習體會：
1．本節課你有哪些收獲？你還有哪些疑惑？
2．預習時的疑難解決了嗎？
六、自我檢測：
1.某學校舉行黨史知識競賽，甲、乙兩個小組成績的方差分別是、，已知甲組的成績比乙組的成績更穩定，若，則可能是（ ）
A．0.8 B．1 C．1.6 D．3.2
【答案】D
【分析】本題考查了方差的意義，方差是各數據值離差的平方和的平均數，方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，數據越穩定．
【詳解】解：∵，甲組的成績比乙組的成績更穩定，
∴．
故選D．
2．某特警隊為了選拔“神槍手”，甲、乙、丙、丁四人進行射擊比賽，每人10次射擊成績的平均數都是環，方差分別為，則四人中成績最穩定的是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本題考查了方差的意義；根據方差的意義可作出判斷．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．
【詳解】解：∵，
∴四人中成績最穩定的是丙．
故選：C．
3．某同學對數據27，38，38，49，5■，53進行統計分析，發現其中一個兩位數的個位數字被墨水涂污看不到了，則計算結果與被涂污數字無關的是（ ）
A．平均數 B．中位數 C．方差 D．眾數
【答案】B
【分析】本題考查了方差,眾數，利用平均數、眾數、中位數、方差的定義對各選項進行判斷即可．
【詳解】解：這組數據的平均數、眾數、方差都與被涂污數字有關，而這組數據的中位數為38與49的平均數，與被涂污數字無關．
故選：B．
4．某專賣店專營某品牌運動鞋，下表是店主統計的上周不同尺碼的運動鞋銷售量情況：
尺碼 39 40 41 42 43
平均每天銷售量/雙 10 12 20 12 12
如果每雙運動鞋的利潤相同，在下列統計量中，對該店主下次進貨最具參考意義的是（ ）
A．平均數 B．中位數 C．方差 D．眾數
【答案】D
【分析】此題主要考查統計的有關知識，了解平均數、中位數、眾數、方差的意義是解題的關鍵.
【詳解】解：由于眾數是數據中出現次數最多的數，故該店主下次進貨最具參考意義的是眾數．
故選：D．
5.甲、乙、丙、丁四名同學進行跳高測試，每人10次跳高成績的平均數都是1.28m，方差分別是，，，，則這四名同學跳高成績最穩定的是 ．
【答案】丁
【分析】此題主要考查了方差，掌握方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好，是解題關鍵．
利用方差是反映一組數據的波動大小的一個量逐項判斷即可解答．
【詳解】解：∵，，，，
∴，
∴這四名同學跳高成績最穩定的是丁，
故答案為：丁．
6．甲、乙兩名射擊運動員在一次訓練中，每人各打10發子彈，根據命中環數求得方差分別是，，則運動員 的成績比較穩定．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【分析】本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．據此即可得出結論．
【詳解】解：∵，，
∴，
甲的方差小于乙的方差，
∴甲的成績比較穩定．
故答案為：甲．
7．對于1，2，3，4，5這組數據的方差是 ．
【答案】2
【分析】此題考查方差，先根據平均數的定義確定平均數，再根據方差公式進行計算即可求出答案．解題關鍵在于掌握方差的計算公式．
【詳解】這組數據的平均數是：，
則方差．
故答案為：2．
8．一組數據：，2，2，5，5的極差是4，則這組數據的方差為 ．
【答案】2.8
【分析】本題考查了極差、求平均數、求方差，根據這組數據的極差是4，求出的值，再根據平均數的定義和方差的定義進行計算即可，解題的關鍵是根據極差求出的值．
【詳解】解：∵數據：，2，2，5，5的極差是4，
或，
或6，
當時，這組數據的平均數是，
方差，
當時，這組數據的平均數是，
方差，
∴這組數據的方差為，
故答案為：．
9.某校初二開展英語拼寫大賽，愛國班和求知班根據初賽成績，各選出5名選手參加復賽，兩個班各選出的5名選手的復賽成績如圖所示：
(1)根據圖示填寫下表：
班級 中位數（分） 眾數（分） 平均數（分）
愛國班 85
求知班 100 85
(2)結合兩班復賽成績的平均數和中位數，分析哪個班級的復賽成績比較好？
(3)已知愛國班復賽成績的方差是70，請求出求知班復賽成績的方差，并說明哪個班成績比較穩定？
【答案】(1)見解析
(2)愛國班成績好些．因為兩班平均數相等，愛國班的中位數高，所以愛國班成績好些．（回答合理即可）
(3)160；愛國班成績較為穩定
【分析】本題考查了中位數、眾數以及平均數的求法，同時也考查了方差公式，解題的關鍵是牢記定義并能熟練運用公式．
（1）觀察圖分別寫出愛國和求知5名選手的復賽成績，然后根據中位數的定義和平均數的求法以及眾數的定義求解即可；
（2）在平均數相同的情況下，中位數高的成績較好；
（3）根據方差公式計算即可：（可簡單記憶為“等于差方的平均數”）．
【詳解】（1）由條形統計圖可知愛國班5名選手的復賽成績為：75、80、85、85、100，
求知班5名選手的復賽成績為：70、100、100、75、80，
愛國班的眾數為85，
愛國班的平均數為，
求知班的中位數是80；
班級 中位數（分） 眾數（分） 平均數（分）
愛國班 85 85 85
求知班 80 100 85
（2）愛國班成績好些．
因為兩班平均數相等，愛國班的中位數高，所以愛國班成績好些．（回答合理即可）
（3）
∵，
∴愛國班成績較為穩定．
10．省射擊隊為從甲、乙兩名運動員中選拔一人參加全國比賽，對他們進行了六次測試，測試成績如下表（單位：環）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 7 10 10 9 8
(1)根據表格中的數據，計算出甲的平均成績是______環，乙的平均成績是______環；
(2)分別計算甲、乙六次測試成績的方差；
(3)根據（1）、（2）計算的結果，你認為推薦誰參加全國比賽更合適，請說明理由．
【答案】(1)9；9；
(2)=，=
(3)推薦甲參加全國比賽更合適，理由見解析
【分析】本題考查求平均數，方差，利用方差作決策．
（1）數據總和除以數據個數求出平均數即可；
（2）利用方差公式計算方差即可；
（3）利用方差作決策即可．
掌握平均數和方差的計算方法，是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：甲：，
乙：；
故答案為：9；9；
（2）
；
；
推薦甲參加全國比賽更合適，理由如下：兩人的平均成績相等，說明實力相當；但甲的六次測試成績的方差比乙小，說明甲發揮較為穩定，故推薦甲參加比賽更合適．
11.某校為加強學生的消防意識，開展了“消防安全知識”宣傳活動，并分別在七、八年級中各隨機抽取10名學生的消防知識成績進行了統計，整理與分析（成績用x表示，共分為三個等級：合格，良好，優秀），下面給出了部分信息：
10名七年級學生的成績：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98
10名八年級學生中“良好”等級包含的所有數據為：85，90，90，90，94
抽取的八年級10名學生的成績扇形統計圖（如圖）
抽取的七、八年級學生成績統計表
年級 平均數 中位數 眾數 “優秀”等級所占百分比
七年級 90 89 a 40%
八年級 90 b 90 30%
(1)填空：______，______，______；
(2)如該校七年級學生有600人，請估計七年級消防知識成績為“優秀”的學生大約有多少人？
(3)根據以上數據，你認為該校七八年級中，哪個年級學生對消防知識掌握得更好？請說明理由．
【答案】(1)；；；
(2)人
(3)七年級掌握的更好，理由見解析
【分析】（1）根據已知條件可以分別求出“優秀”和“良好”的人數，從而可以求解；根據眾數和中位數的定義即可求解，；
（2）由總人數乘以優秀人數的百分比即可；
（3）結合平均數、眾數、中位數、方差進行分析即可．
【詳解】（1）解：由學生成績統計表可知，八年級10名學生中“優秀”等級所占百分比為，
“優秀”等級人數為：（人），
八年級10名學生中“良好”等級為5人，
八年級10名學生中“合格”等級人數為：（人），
∴，即；
10名七年級學生的成績中，95出現次數最多，
；
由（1）可知，10名八年級學生中“合格”等級人數為2人，
八年級10名學生中，中位數為將10名學生成績從小到大排序后第5、6成績的平均數，
即八年級10名學生中“良好”等級的第3、4成績的平均數，（分）．
∴；
（2）該校七年級學生有600人，估計七年級消防知識成績為“優秀”的學生大約有：
（人）；
（3）解：七年級學生對消防知識掌握得更好，
理由如下：
平均數：七、八年級學生成績的平均數相同；
眾數：七年級學生成績的眾數比八年級學生成績的眾數高；
方差：七年級學生成績的方差比八年級學生成績的方差小，即七年級學生成績比八年級學生成績更穩定．
綜上所述，該校七年級學生對消防知識掌握得更好．
【點睛】本題考查了會從統計圖中獲取信息進行相關計算，眾數、中位數的定義，平均數、眾數、中位數、方差的特征，正確獲取信息，會根據數據的集中趨勢特征數和離散程度的特征數進行分析決策是解題的關鍵．
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數據的集中趨勢與離散程度
【學習內容】
數據的離散程度
【學習目標】
1．了解方差概念的產生和形成過程。
2．理解方差的定義和計算公式，會利用計算方差的方法來比較兩組數據的離散程度。
【學習重點】
【學習重點】
方差形成過程，會利用計算方差的方法來比較兩組數據的離散程度。
會用樣本平均數、樣本方差估計總體的平均數、方差，并進行簡單的分析
【學習難點】
方差意義的理解。
【學習過程】
一、預習課本：
思考：選拔射擊手參加比賽時，我們應該挑選測試成績中曾達到最好成績的選手，還是成績最穩定的選手？
二、學前準備：
某班50名同學進行科普知識競賽，根據50名同學的成績繪成如圖所示的統計圖．
(1)這50名同學競賽成績的眾數為多少（直接寫答案，不必說明理由）？
(2)求這50名同學的平均成績？
三、合作探究：
為進一步宣傳防溺水知識，提高學生防溺水的能力，某校組織七、八年級學生進行防溺水知識競賽（滿分100分）．現分別在七、八年級中各隨機抽取10名學生的測試成績：（單位：分）
進行統計、整理如下：
七年級：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87．
八年級：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84．
七、八年級測試成績頻數統計表
七年級 3 4 3
八年級 1 7 a
七、八年級測試成績分析統計表
平均數 中位數 眾數 方差
七年級 84 b 90
八年級 84 84 c
根據以上信息，解答下列問題：
(1)______，______，______；
(2)如果把分數不低于85分記為“優秀”，現七、八年級共有1200名學生，該估計七八年級在本次知識競賽中成績優秀的學生人數；
(3)你認為哪個年級的學生學習提防溺水知識的總體水平較好？請說明理由．
問題6 兩臺機床都生產直徑為(20 +0.2)mm的零件,為了檢驗產品質量,從產品中各抽出10個進行測量,結果如下(單位: mm):
思考：根據以上結果評判哪臺機床生產的零件的精度更穩定。
【自主探究】
閱讀教材P134～135，完成下列問題：
范例1：水稻種植是嘉興的傳統農業．為了比較甲、乙兩種水稻的長勢，農技人員從兩塊試驗田中，分別隨機抽取5棵植株，將測得的苗高數據繪制成下圖：請你根據統計圖所提供的數據，計算平均數和方差，并比較兩種水稻的長勢．
（1）哪個品種平均每公頃的產量較高？
（2）哪個品種的產量較穩定？
四、方差定義：
各數據與它們的平均數的差的平方的平均數，用公式表示為：
五、學習體會：
1．本節課你有哪些收獲？你還有哪些疑惑？
2．預習時的疑難解決了嗎？
六、自我檢測：
1.某學校舉行黨史知識競賽，甲、乙兩個小組成績的方差分別是、，已知甲組的成績比乙組的成績更穩定，若，則可能是（ ）
A．0.8 B．1 C．1.6 D．3.2
2．某特警隊為了選拔“神槍手”，甲、乙、丙、丁四人進行射擊比賽，每人10次射擊成績的平均數都是環，方差分別為，則四人中成績最穩定的是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．某同學對數據27，38，38，49，5■，53進行統計分析，發現其中一個兩位數的個位數字被墨水涂污看不到了，則計算結果與被涂污數字無關的是（ ）
A．平均數 B．中位數 C．方差 D．眾數
4．某專賣店專營某品牌運動鞋，下表是店主統計的上周不同尺碼的運動鞋銷售量情況：
尺碼 39 40 41 42 43
平均每天銷售量/雙 10 12 20 12 12
如果每雙運動鞋的利潤相同，在下列統計量中，對該店主下次進貨最具參考意義的是（ ）
A．平均數 B．中位數 C．方差 D．眾數
5.甲、乙、丙、丁四名同學進行跳高測試，每人10次跳高成績的平均數都是1.28m，方差分別是，，，，則這四名同學跳高成績最穩定的是 ．
6．甲、乙兩名射擊運動員在一次訓練中，每人各打10發子彈，根據命中環數求得方差分別是，，則運動員 的成績比較穩定．（填“甲”或“乙”）
7．對于1，2，3，4，5這組數據的方差是 ．
8．一組數據：，2，2，5，5的極差是4，則這組數據的方差為 ．
9.某校初二開展英語拼寫大賽，愛國班和求知班根據初賽成績，各選出5名選手參加復賽，兩個班各選出的5名選手的復賽成績如圖所示：
(1)根據圖示填寫下表：
班級 中位數（分） 眾數（分） 平均數（分）
愛國班 85
求知班 100 85
(2)結合兩班復賽成績的平均數和中位數，分析哪個班級的復賽成績比較好？
(3)已知愛國班復賽成績的方差是70，請求出求知班復賽成績的方差，并說明哪個班成績比較穩定？
10．省射擊隊為從甲、乙兩名運動員中選拔一人參加全國比賽，對他們進行了六次測試，測試成績如下表（單位：環）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 7 10 10 9 8
(1)根據表格中的數據，計算出甲的平均成績是______環，乙的平均成績是______環；
(2)分別計算甲、乙六次測試成績的方差；
(3)根據（1）、（2）計算的結果，你認為推薦誰參加全國比賽更合適，請說明理由．
11.某校為加強學生的消防意識，開展了“消防安全知識”宣傳活動，并分別在七、八年級中各隨機抽取10名學生的消防知識成績進行了統計，整理與分析（成績用x表示，共分為三個等級：合格，良好，優秀），下面給出了部分信息：
10名七年級學生的成績：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98
10名八年級學生中“良好”等級包含的所有數據為：85，90，90，90，94
抽取的八年級10名學生的成績扇形統計圖（如圖）
抽取的七、八年級學生成績統計表
年級 平均數 中位數 眾數 “優秀”等級所占百分比
七年級 90 89 a 40%
八年級 90 b 90 30%
(1)填空：______，______，______；
(2)如該校七年級學生有600人，請估計七年級消防知識成績為“優秀”的學生大約有多少人？
(3)根據以上數據，你認為該校七八年級中，哪個年級學生對消防知識掌握得更好？請說明理由．
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