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第六章實數
1．平方根
（1）定義：如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根．
（2）求一個數a的平方根的運算，叫做開平方．
一個正數a的正的平方根表示為“”，負的平方根表示為“”．
正數a的正的平方根，叫做a的算術平方根，記作．零的算術平方根仍舊是零．
平方根和立方根的性質
1．平方根的性質：正數a有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．
2．立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0．
2．算術平方根
（1）算術平方根的概念：一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數x叫做a的算術平方根．記為．
（2）非負數a的算術平方根a有雙重非負性：①被開方數a是非負數；②算術平方根a本身是非負數．
（3）求一個非負數的算術平方根與求一個數的平方互為逆運算，在求一個非負數的算術平方根時，可以借助乘方運算來尋找．
3．非負數的性質：算術平方根
（1）非負數的性質：算術平方根具有非負性．
（2）利用算術平方根的非負性求值的問題，主要是根據被開方數是非負數，開方的結果也是非負數列出不等式求解．非負數之和等于0時，各項都等于0利用此性質列方程解決求值問題．
4．立方根
（1）定義：如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．記作：．
（2）正數的立方根是正數，0的立方根是0，負數的立方根是負數．即任意數都有立方根．
（3）求一個數a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數．
注意：符號中的根指數“3”不能省略；對于立方根，被開方數沒有限制，正數、零、負數都有唯一一個立方根．
【規律方法】平方根和立方根的性質
1．平方根的性質：正數a有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．
2．立方根的性質：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0．
5．無理數
（1）、定義：無限不循環小數叫做無理數．
說明：無理數是實數中不能精確地表示為兩個整數之比的數，即無限不循環小數．如圓周率、2的平方根等．
（2）、無理數與有理數的區別：
　①把有理數和無理數都寫成小數形式時，有理數能寫成有限小數和無限循環小數，
比如4＝4.0，0.33333…而無理數只能寫成無限不循環小數，比如1.414213562．
　②所有的有理數都可以寫成兩個整數之比；而無理數不能．
（3）學習要求：會判斷無理數，了解它的三種形式：①開方開不盡的數，②無限不循環小數，③含有π的數，如分數是無理數，因為π是無理數．
無理數常見的三種類型
（1）開不盡的方根，如等．
（2）特定結構的無限不循環小數，
如0.303 003 000 300 003…（兩個3之間依次多一個0）．
（3）含有π的絕大部分數，如2π．
注意：判斷一個數是否為無理數，不能只看形式，要看化簡結果．如是有理數，而不是無理數．
6．實數與數軸
（1）實數與數軸上的點是一一對應關系．
任意一個實數都可以用數軸上的點表示；反之，數軸上的任意一個點都表示一個實數．數軸上的任一點表示的數，不是有理數，就是無理數．
（2）在數軸上，表示相反數的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數a的絕對值就是在數軸上這個數對應的點與原點的距離．
（3）利用數軸可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而小．
7．實數大小比較
實數大小比較
（1）任意兩個實數都可以比較大小．正實數都大于0，負實數都小于0，正實數大于一切負實數，兩個負實數比大小，絕對值大的反而小．
（2）利用數軸也可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原點左側，絕對值大的反而小．
8．估算無理數的大小
估算無理數大小要用逼近法．
思維方法：用有理數逼近無理數，求無理數的近似值．
9．實數的運算
（1）實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數可以開平方．
（2）在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．
另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．
【規律方法】實數運算的“三個關鍵”
1．運算法則：乘方和開方運算、冪的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根式運算、特殊三角函數值的計算以及絕對值的化簡等．
2．運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．
3．運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度．
一、單選題
1．6的算術平方根是（ ）
A．3 B．± C．36 D．
2．若a為實數，則下列式子中一定是負數的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列說法中，錯誤的是（ ）
A．4的算術平方根是2 B．的平方根是±3
C．121的平方根是±11 D．－1的平方根是±1
4．下面語句的描述中，說法正確的是（ ）
A．的立方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的立方根是
5．實數、、、﹣π、0、0.101001 中，無理數個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．實數在數軸上對應點的位置如圖所示，若，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
7．的算術平方根是（ ）
A． B． C． D．
8．在，0，﹣π，，0.3，﹣中，無理數的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
9．是（ ）
A．無理數 B．負分數 C．負整數 D．整數
10．下列說法：①-3是9的平方根；②125的立方根是±5；③-16的平方根是±4；④0沒有算術平方根．其中，正確的有（）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題
11．任意實數a，可用[a]表示不超過a的最大整數，如[4]＝4，[]＝1，現對72進行如下操作：72→[]＝8→[]＝2→[]＝1，這樣對72只需進行3次操作后變為1．類似地：對數字900進行了n次操作后變為1，那么n的值為 ．
12．如果的立方根是，則的平方根為 ．
13．若，且n是正整數，則 ．
14．如果一個非負數的平方根是和，則這個非負數為 ．
15．把下列各數的序號寫入相應的集合中：①，②，③，④，⑤8，⑥，⑦0，⑧，⑨，⑩（相鄰兩個2之間的1的個數逐次加1）．
整數集合{_______．．．}；無理數集合{_______．．．}．
16．在實數|﹣3.14|，﹣3，﹣，﹣π中，最小的數是 ，最大的數是 ．
三、解答題
17．計算：．
18．計算
（1） （2）
（3） （4）| 1- |+|-|+|-1 |
19．對于有理數a、b，定義運算：a b＝a×b＋|a|﹣b．
（1）計算5 4的值；
（2）填空：3 （﹣2）　 　（﹣2） 3（填“＞”或“＝”或“＜”）
（3）計算（－1） [（﹣2） 3]
20．已知，，求的值.
解：根據算術平方根的定義，
由，得，所以①……第一步
根據立方根的定義，
由，得②……第二步
由①②解得……第三步
把代入中，得……第四步
（1）以上解題過程存在錯誤，請指出錯在哪些步驟，并說明錯誤的原因；
（2）把正確解答過程寫出來.
21．計算：．
22．我們知道是無理數，其整數部分是1，于是小明用－1來表示的小數部分．
請解答下列問題：
（1）的整數部分是　 　，小數部分是　 　．
（2）如果的小數部分為a，的整數部分為b，求a＋b－的值；
（3）已知10＋＝x＋y，其中x是整數，且0＜y＜1，求x－y的相反數．
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】一個正數的平方等于a，那么這個正數就叫做a的算術平方根，用表示，根據算術平方根的定義即可判斷.
【詳解】解：6的算術平方根為.
故選：D
【點睛】本題考查了算術平方根，正確理解算術平方根的定義，掌握算術平方根的求解方法是解題的關鍵.
2．B
【分析】根據任何數的平方、算術平方根、絕對值是非負數，即可作出判斷．
【詳解】解：A、當時，，故選項不符合題意；
B、當a為實數時，，故選項符合題意；
C、當時，，故選項不符合題意；
D、當時，，故選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】本題考查了非負數，初中范圍內的非負數有三個：任何數的平方，絕對值以及算術平方根．
3．D
【分析】根據平方根和算術平方根的定義進行求解即可．
【詳解】解：A、4的算術平方根是2，正確，與要求不符；
B、 =9，9的平方根是±3，正確，與要求不符；
C、121的平方根是±11，正確，與要求不符；
D、負數沒有平方根，故D錯誤，與要求相符．
故選D．
【點睛】本題考查了平方根和算術平方根的定義，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
4．C
【分析】根據立方根的定義的定義，對各選項分析判斷．
【詳解】解：A、的立方根是4，故錯誤；
B、的立方根是2，故錯誤；
C、的立方根是，故正確；
D、的立方根是，故錯誤；
故選：C．
【點睛】本題考查了立方根的定義，注意任何數都有立方根．
5．C
【分析】根據無理數的定義：無限不循環小數叫無理數，逐個數分析即可.
【詳解】解：是有理數、是有理數、是無理數、﹣π是無理數、0是有理數、0.101001 是無理數.
∴有3個無理數，
故選：C.
【點睛】本題考查了無理數的識別，無限不循環小數叫無理數，無理數通常有以下三種形式，①開方開不盡的數，；②圓周率π；③構造的無限不循環小數，如2.01001000100001 2.01001000100001 （0的個數一次多一個）.
6．B
【分析】直接利用數軸判斷出原點的位置和各數的符號，依次進行判斷即可．
【詳解】解：因為，
所以a與b互為相反數，
所以0位于實數a與實數b的正中間，如圖所示；
由絕對值的定義可知，，故A選項錯誤，不符合題意；
由，，所以，故B選項正確，符合題意；
由，所以，故C選項錯誤，不符合題意；
由a與b互為相反數，所以，故D選項錯誤，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了數軸、絕對值、相反數、實數的加法法則等內容，解題的關鍵是牢記相關概念，正確判斷各數的符號．
7．C
【分析】根據算術平方根的定義，即可求解．
【詳解】解：的算術平方根是．
故選：C
【點睛】本題主要考查了求算術平方根，熟練掌握一個正數有兩個平方根，其中正的平方根是這個數正數的算術平方根是解題的關鍵．
8．B
【分析】無理數就是無限不循環小數．理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱．即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環小數是無理數．由此即可判定選擇項．
【詳解】解：是分數，屬于有理數；0是整數，屬于有理數；﹣π是無理數；是開方開不盡的數，屬于無理數；0.3是小數，屬于有理數；是整數，屬于有理數；
無理數有：﹣π，，共2個．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了算術平方根、立方根以及無理數的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數，無限不循環小數為無理數．
9．A
【分析】是開方開不盡的數，根據無理數的定義，可知是無理數．
【詳解】解：∵ 是開方開不盡的數，屬于無理數，
∴是無理數，
故選A．
【點睛】本題考查無理數的判斷，掌握無理數的定義及常見的無理數是解題的關鍵．無理數是指無限不循環小數，常見的無理數包括：含的數，開方開不盡的數等．
10．A
【分析】根據平方根、算術平方根和立方根的定義分別判斷．
【詳解】解：①-3是9的平方根，故正確；
②125的立方根是5，故錯誤；
③-16沒有平方根，故錯誤；
④0的算術平方根為0，故錯誤；
故選A．
【點睛】本題考查了平方根、算術平方根和立方根，解題的關鍵是掌握各自的定義．
11．4．
【分析】根據題意，計算即可判斷n的值.
【詳解】900→第一次[]＝30→第二次[]＝5→第三次[]＝2→第四次[]＝1，
即對數字900進行了4次操作后變為1，即n的值為4．
故答案為4．
【點睛】此題考查的是新定義類問題和算術平方根，掌握新定義類問題的定義和求一個數的算術平方根的整數部分是解決此題的關鍵.
12．±4
【分析】根據3 6x的立方根為 3可求出x的值，繼而可求出代數式2x＋6的值，也可求出2x＋6的平方根．
【詳解】解：由題意得，3 6x＝ 27，
解得：x＝5，
∴2x＋6＝16，
16的平方根為：±4．
故答案為：±4．
【點睛】此題考查了平方根及立方根的知識，屬于基礎題，解答本題的關鍵是根據立方根的知識求出x的值，另外要注意掌握一個正數的平方根有兩個，不要漏解．
13．3
【詳解】∵9<15<16，
∴3，
∴n=3.
故答案為3.
14．9
【分析】根據一個正數的兩個平方根互為相反數求出a，進而求解．
【詳解】因為一個非負數的平方根是2a﹣1和a﹣5，
(2a﹣1)+(a﹣5)＝0，
解得，a＝2，
所以2a﹣1＝3，32＝9，
所以這個非負數是9，
故答案為：9．
【點睛】本題考查平方根，一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根．
15．②⑤⑦；④⑧⑩
【分析】無理數，也稱為無限不循環小數，不能寫作兩整數之比．若將它寫成小數形式，小數點之后的數字有無限多個，并且不會循環．
【詳解】解：
∴整數有： 、、
無理數有：、、
故答案為：②⑤⑦；④⑧⑩
【點睛】本題考查了實數的分類．掌握無理數的定義是解題關鍵．
16． －π
【分析】根據實數比較大小的方法求解即可．
【詳解】解：∵，，，且，
∴，
又∵|﹣3.14|＝3.14＞0，
∴，
∴最小的數是－π，最大的數是，
故答案為：－π，．
【點睛】本題考查了實數的大小比較，熟知正實數都大于零，零大于一切負實數，兩個負實數相比，絕對值大的反而小是解題的關鍵．
17．3
【分析】根據立方根與平方根的意義以及絕對值的意義計算．
【詳解】解：
=
=
【點睛】本題考查了實數的混合運算運算，正確理解平方根與立方根的意義是解題的關鍵．
18．(1) -3;(2) 0;(3); (4)+-2.
【詳解】原式利用二次根式性質，以及絕對值的代數意義化簡，計算即可得到結果．
(1)原式=2+15-20=-3；
(2)原式=2-2=0；
(3)原式=2+2-=；
(4)原式=+-2．
“點睛”本題涉及二次根式化簡、絕對值、開平分、開立方4個考點．在計算時，需要針對每個考點分別進行計算，然后根據運算法則求得計算結果．
19．（1）21；（2）＞；（3）15
【分析】（1）根據 的含義，以及有理數的混合運算的運算方法，求出5 4的值是多少即可；
（2）首先根據 的含義，以及有理數的混合運算的運算方法，求出3 （-2）、（-2） 3的值各是多少，然后比較大小即可；
（3）根據a b=a×b-a-b-2，先求出（﹣2） 3=-7，再求出（-1） （-7）的值即可解答本題．
【詳解】解：（1）5 4
=5×4+|5|-4
=20+5-4
=21；
（2）3 （-2）
=3×（-2）+|3|-（-2）
=-6+3+2
=-1，
（-2） 3
=（-2）×3+|-2|-3
=-6+2-3
=-7
∵-1＞-7，
∴3 （-2）＞（-2） 3．
故答案為：＞；
（3）（－1） [（﹣2） 3]
=（-1） [（﹣2）×3+|-2|-3]
=（-1） （-7）
=（-1）×（-7）+|-1|-(-7)
=15．
【點睛】本題考查有理數的混合運算．解決此題的關鍵是能將題述計算化為一般計算．
20．（1）錯誤在第一步和第四步，理由見解析；（2）當時，無解當時，
【分析】（1）根據算術平方根的定義可知錯誤步驟及原因；
（2）可由算術平方根和立方根的定義求出x,y的值代入求解即可，其中x的值有兩個.
【詳解】解：（1）錯誤在第一步和第四步
第一步錯誤原因：∵1的平方根是，∴
第四步錯誤原因：當時，無解
（2）解：根據算術平方根的定義，由，得，所以，根據立方根的定義，由，得，，解得
，解得
∴當時，無解
當時，
【點睛】本題考查了平方根和立方根，正確理解平方根和立方根的定義和性質是解題的關鍵.
21．
【分析】先計算乘方，并化簡絕對值，再合并，即可求解．
【詳解】解：原式．
【點睛】本題主要考查了實數的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
22．（1）3，；（2）1；（3）
【分析】（1）根據題意即可求解；
（2）估算出的小數部分為a，的整數部分為b，即可確定出a＋b的值；
（3）根據題意確定出x與y的值，求出x－y的相反數即可．
【詳解】（1），
的整數部分為3，小數部分為；
（2），
的整數部分為2，小數部分為，
，
，
的整數部分為3，
，
；
（3），
的整數部分為1，小數部分為，
10＋＝x＋y，其中x是整數，且0＜y＜1，
，
的相反數是：．
【點睛】本題考查了無理數的估算，解題關鍵是確定無理數的整數部分即可解決問題．
答案第1頁，共2頁

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