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期末復(fù)習(xí)之二：數(shù)學(xué)歸納法及極限
第一部分：復(fù)習(xí)目標(biāo)：
（1）理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.
（2）了解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念.
（3）掌握極限的四則運(yùn)算法則，會(huì)求某些數(shù)列與函數(shù)的極限.
（4）了解函數(shù)連續(xù)的意義，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)有最大值和最小值的性質(zhì).
第二部分：內(nèi)容小結(jié)
數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：①證恒等式；②整除性的證明；③探求平面幾何中的問(wèn)題；④探求數(shù)列的通項(xiàng)；⑤不等式的證明.注意：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩步缺一不可（2）證題時(shí)要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)；二湊目標(biāo)
數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：設(shè)數(shù)列｛an｝、｛bn｝，當(dāng)an=a, bn=b時(shí)， （an±bn）=a±b; （an·bn）=a·b; =（b≠0）注意：（1）an、bn的極限都存在時(shí)才能用四則運(yùn)算法則；（2）可推廣到有限多個(gè).（3）求數(shù)列極限時(shí)，如是不定型（,,∞－∞等），應(yīng)先變形，再求極限，一般應(yīng)如何變形？
熟練掌握如下幾個(gè)常用極限：
（1） C=C（C為常數(shù)）;（2） （）p=0（p＞0）;（3） =（k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0）;（4） qn=0（|q|＜1）.
函數(shù)極限的概念（略）. 函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則：
如果f （x）=a, g（x）=b,那么
[f（x）±g（x）]=a±b; [f（x）·g（x）]=a·b; =（b≠0）.
注意：（1）上述法則對(duì)x→∞的情況仍成立；（2）[Cf（x）]=Cf（x）（C為常數(shù)）；（3）[f（x）]n=[f（x）]n（n∈N *）
f（x）=Af（x）= f（x）=A,
f（x）=Af（x）=f（x）=A.
函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)滿足三個(gè)條件：
（1）函數(shù)f（x）在x=x0處及其附近有定義；（2）f（x）存在；
（3） f（x）=f（x0）.
如果f（x）是閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，那么f（x）在閉區(qū)間［a,b］上有最大值和最小值.
若f（x）、g（x）都在點(diǎn)x0處連續(xù),則f（x）±g（x）,f（x）·g（x）,（g（x）≠0）也在點(diǎn)x0處連續(xù).若u（x）在點(diǎn)x0處連續(xù),且f（u）在u0=u（x0）處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)f［u（x）］在點(diǎn)x0處也連續(xù).
注意：（1）連續(xù)必有極限,有極限未必連續(xù)；（2）從運(yùn)算的角度來(lái)分析,連續(xù)函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限運(yùn)算與函數(shù)關(guān)系“f”是可以交換順序的
函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)反映到函數(shù)f（x）的圖象上是在點(diǎn)x=x0處是不間斷的.一般地,函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處不連續(xù)（間斷）大致有以下幾種情況（如下圖所示）.
圖甲表示的是f（x）在點(diǎn)x0處的左、右極限存在但不相等,即f（x）不存在.
圖乙表示的是f（x）在點(diǎn)x0處的左極限存在,而右極限不存在,也屬于f（x）不存在的情況.
圖丙表示的是f（x）存在,但函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處沒有定義.
圖丁表示的是f（x）存在,但它不等于函數(shù)在這一點(diǎn)處的函數(shù)值f（x0）.
函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)與f（x）在點(diǎn)x 0處有極限的聯(lián)系與區(qū)別:
其聯(lián)系是:f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)是依據(jù)f（x）在點(diǎn)x0處的極限來(lái)定義的,它要求f（x）存在.
其區(qū)別是:函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)比在此點(diǎn)處有極限所具備的條件更強(qiáng).首先,f（x）在點(diǎn)x0處有極限,對(duì)于點(diǎn)x0而言,x0可以屬于f（x）的定義域,也可以不屬于f（x）的定義域,即與f（x0）是否有意義無(wú)關(guān),而f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù),要求f（x）在點(diǎn)x0及其附近都有定義;其次,f（x）在點(diǎn)x0處的極限（值）與f（x）在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f（x0）可以無(wú)關(guān),而f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù),要求f（x）在點(diǎn)x0處的極限（值）等于它在這一點(diǎn)的函數(shù)值f（x0）.我們通常說(shuō)“連續(xù)必有極限,有極限未必連續(xù)”,正是針對(duì)上述事實(shí)而言的.
函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)必須具備以下三個(gè)條件:
函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處有定義;函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處有極限;函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處的極限值等于在這一點(diǎn)x0處的函數(shù)值,即f（x）=f（x0）.
這三個(gè)條件缺一不可,是我們判斷函數(shù)在一點(diǎn)處是否連續(xù)的重要工具.
第三部分：例題：
【例1】 是否存在常數(shù)a、b、c使等式1·（n2－12）+2（n2－22）+…+n（n2－n2）=an4+bn2+c對(duì)一切正整數(shù)n成立?證明你的結(jié)論.
剖析：先取n=1，2，3探求a、b、c的值，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)一切n∈N*，a、b、c所確定的等式都成立.
解：分別用n=1，2，3代入解方程組
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.
（1）當(dāng)n=1時(shí)，由上可知等式成立;
（2）假設(shè)當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=1·［（k+1）2－12］+2［（k+1）2－22］+…+k［（k+1）2－k2］+（k+1）［（k+1）2－（k+1）2］=1·（k2－12）+2（k2－22）+…+k（k2－k2）+1·（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=k4+（－）k2+（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）=（k+1）4－（k+1）2.
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立.
由（1）（2）得等式對(duì)一切的n∈N*均成立.
評(píng)述：本題是探索性命題，它通過(guò)觀察——?dú)w納——猜想——證明這一完整的思路過(guò)程去探索和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并證明所得結(jié)論的正確性，這是非常重要的一種思維能力.
【例2】（2003年全國(guó)）設(shè)a0為常數(shù)，且an=3n－1－2an－1（n∈N*）.證明：n≥1時(shí)，an=[3n+（－1）n－1·2n］+（－1）n·2n·a0.
剖析：給出了遞推公式，證通項(xiàng)公式，可用數(shù)學(xué)歸納法證.
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，［3+2］－2a0=1－2a0，而a1=30－2a0=1－2a0.
∴當(dāng)n=1時(shí)，通項(xiàng)公式正確.
（2）假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)正確，即ak=［3k+（－1）k－1·2k］+（－1）k·2k·a0，
那么ak+1=3k－2ak=3k－×3k+（－1）k·2k+（－1）k+1·2k+1a0
=·3k+（－1）k·2k+1+（－1）k+1·2k+1·a0
=［3k+1+（－1）k·2k+1］+（－1）k+1·2k+1·a0.∴當(dāng)n=k+1時(shí)，通項(xiàng)公式正確.
由（1）（2）可知，對(duì)n∈N*，an=［3n+（－1）n－1·2n］+（－1）n·2n·a0.
評(píng)述：由n=k正確n=k+1時(shí)也正確是證明的關(guān)鍵.
本題也可用構(gòu)造數(shù)列的方法求an.
解：∵a0為常數(shù)，∴a1=3－2a0.
由an=3n－1－2an－1，
得=－+1，
即=－·+.
∴－=－（－）.
∴{－}是公比為－，首項(xiàng)為的等比數(shù)列.
∴－=（－a0）·（－）n－1.
∴an=（－a0）·（－2）n－1×3+×3n
=［3n+（－1）n－1·2n］+（－1）n·2n·a0.
注：本題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成an+1=can+d型
【例3】 如下圖，設(shè)P1，P2，P3，…，Pn，…是曲線y=上的點(diǎn)列，Q1，Q2，Q3， …，Qn，…是x軸正半軸上的點(diǎn)列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn－1QnPn，…都是正三角形，設(shè)它們的邊長(zhǎng)為a1，a2，…，an，…，求證：a1+a2+…+an=n（n+1）.
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，點(diǎn)P1是直線y=x與曲線y=的交點(diǎn)，
∴可求出P1（，）.
∴a1=|OP1|=.而×1×2=，命題成立.
（2）假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)命題成立，即a1+a2+…+ak=k（k+1），則點(diǎn)Qk的坐標(biāo)為（k（k+1），0），
∴直線QkPk+1的方程為y=[x－k（k+1）].代入y=，解得Pk+1點(diǎn)的坐標(biāo)為
∴ak+1=|QkPk+1|=（k+1）·=（k+1）.
∴a1+a2+…+ak+a k+1=k（k+1）+（k+1）=（k+1）（k+2）.
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立.
由（1）（2）可知，命題對(duì)所有正整數(shù)都成立.
評(píng)述：本題的關(guān)鍵是求出Pk+1的縱坐標(biāo)，再根據(jù)正三角形高與邊的關(guān)系求出|QkP k+1|.
【例4】 求下列極限：
（1）;（2） （－n）;
（3）（++…+）.
剖析:（1）因?yàn)榉肿臃帜付紵o(wú)極限，故不能直接運(yùn)用商的極限運(yùn)算法則，可通過(guò)變形分子分母同除以n2后再求極限；（2）因與n都沒有極限，可先分子有理化再求極限；（3）因?yàn)闃O限的運(yùn)算法則只適用于有限個(gè)數(shù)列，需先求和再求極限.
解:（1）==.
（2） （－n）= ==.
（3）原式===（1+）=1.
評(píng)述:對(duì)于（1）要避免下面兩種錯(cuò)誤：①原式===1,②∵（2n 2+n+7）, （5n2+7）不存在，∴原式無(wú)極限.對(duì)于（2）要避免出現(xiàn)下面兩種錯(cuò)誤： ①（－n）= －n=∞－∞=0;②原式=－n=∞－∞不存在.對(duì)于（3）要避免出現(xiàn)原式=++…+=0+0+…+0=0這樣的錯(cuò)誤.
【例5】 已知數(shù)列｛an｝是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，a1＝3，且滿足lgan＝lgan－1＋lgc，其中n是大于1的整數(shù)，c是正數(shù)．
（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式及前n和Sn；
（2）求的值．
解:（1）由已知得an＝ｃ·an－1,
∴｛an｝是以a1＝3，公比為c的等比數(shù)列，則an＝3·ｃn－1.
∴Sn＝
（2） ＝.
①當(dāng)c=2時(shí)，原式＝－;
②當(dāng)ｃ＞2時(shí)，原式＝＝－;
③當(dāng)0＜ｃ＜2時(shí)，原式=＝.
評(píng)述:求數(shù)列極限時(shí)要注意分類討論思想的應(yīng)用.
【例6】 已知直線l:x－ny=0（n∈N *）,圓M:（x+1）2+（y+1）2=1,拋物線:y=（x－1）2,又l與M交于點(diǎn)A、B，l與交于點(diǎn)C、D，求.
剖析:要求的值，必須先求它與n的關(guān)系.
解:設(shè)圓心M（－1,－1）到直線l的距離為d,則d2=.
又r=1,∴|AB|2=4（1－d2）=.
設(shè)點(diǎn)C（x1,y1）, D（x2,y2），
由nx2－（2n+1）x+n=0,
∴x1+x2=, x1·x2=1.
∵（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=,（y1－y2）2=（－）2=,
∴|CD|2=（x1－x2）2+（y1－y2）2
=（4n+1）（n2+1）.
∴===2.
評(píng)述:本題屬于解析幾何與數(shù)列極限的綜合題.要求極限，需先求,這就要求掌握求弦長(zhǎng)的方法.
【例7】 若數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=1,且對(duì)任意n∈N*,an與an+1恰為方程x2－bnx+cn=0的兩根,其中0＜|c|＜1,當(dāng) （b1+b2+…+bn）≤3,求c的取值范圍.
解:首先,由題意對(duì)任意n∈N*,an·an+1=cn恒成立.
∴===c.又a1·a2=a2=c.
∴a1,a3,a5,…,a2n－1,…是首項(xiàng)為1,公比為c的等比數(shù)列,a2,a4,a6,…,a2n,…是首項(xiàng)為c,公比為c的等比數(shù)列.其次,由于對(duì)任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立.
∴==c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,
∴b1,b3,b5,…,b2n－1,…是首項(xiàng)為1+c,公比為c的等比數(shù)列,b2,b4,b6,…,b2n,…是首項(xiàng)為2c,公比為c的等比數(shù)列,
∴ （b1+b2+b3+…+bn）= （b1+b3+b5+…）+ （b2+b4+…）=+≤3.
解得c≤或c＞1.∵0＜|c|＜1,∴0＜c≤或－1＜c＜0.
故c的取值范圍是（－1,0）∪（0,］.
評(píng)述:本題的關(guān)鍵在于將題設(shè)中的極限不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的不等式,即將{bn}的各項(xiàng)和表示為關(guān)于c的解析式,顯然“橋梁”應(yīng)是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,故以根與系數(shù)的關(guān)系為突破口.
【例8】求下列各極限：
（1） （；
（2）（－x）；
（3） ；
（4）
剖析:若f （x）在x0處連續(xù)，則應(yīng)有f （x）=f （x0）,故求f （x）在連續(xù)點(diǎn)x0處的極限時(shí)，只需求f （x0）即可；若f （x）在x0處不連續(xù)，可通過(guò)變形，消去x－x0因式，轉(zhuǎn)化成可直接求f（x0）的式子.
解:（1）原式＝＝=－.
（2）原式==a+b.
（3）因?yàn)?1,而==－1，
≠,
所以不存在．
（4）原式=＝（cos+sin）＝.
思考討論
數(shù)列極限與函數(shù)極限的區(qū)別與聯(lián)系是什么？
【例9】 （1）設(shè)f（x）=;
（2）f （x）為多項(xiàng)式,且=1,=5,求f（x）的表達(dá)式.
解:（1） f （x）= （2x+b）=b,f（x）= （1+2x）=2,
當(dāng)且僅當(dāng)b=2時(shí), f （x）= f （x）,
故b=2時(shí),原極限存在.
（2）由于f（x）是多項(xiàng)式,且=1,
∴可設(shè)f （x）=4x3+x2+ax+b（a、b為待定系數(shù)）.
又∵=5,
即（4x2+x+a+）=5,
∴a=5,b=0,即f （x）=4x3+x2+5x.
評(píng)述:（1）函數(shù)在某點(diǎn)處有極限,與其在該點(diǎn)處是否連續(xù)不同.
（2）初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每點(diǎn)的極限值就等于這一點(diǎn)的函數(shù)值,也就是對(duì)初等函數(shù)而言,求極限就是求函數(shù)值,使極限運(yùn)算大大簡(jiǎn)化.
【例10】 討論函數(shù)f （x）= ·x （0≤x＜+∞）的連續(xù)性，并作出函數(shù)圖象.
部析:應(yīng)先求出f （x）的解析式，再判斷連續(xù)性.
解:當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f （x）= x=x;
當(dāng)x＞1時(shí)，f （x）= ·x=·x=－x;
當(dāng)x=1時(shí)，f （x）=0.
∴f （x）=
∵f（x）=（－x）=－1,f（x）= x=1,
∴f（x）不存在.
∴f （x）在x=1處不連續(xù)，f （x）在定義域內(nèi)的其余點(diǎn)都連續(xù).
圖象如下圖所示.
評(píng)述:分段函數(shù)討論連續(xù)性，一定要討論在“分界點(diǎn)”的左、右極限，進(jìn)而判斷連續(xù)性.
【例11】 （1）討論函數(shù)f（x）=
（2）討論函數(shù)f（x）=在區(qū)間［0,3］上的連續(xù)性.
剖析：（1）需判斷f（x）=f（x）=f（0）.
（2）需判斷f（x）在（0,3）上的連續(xù)性及在x=0處右連續(xù),在x=3處左連續(xù).
解:（1）∵f（x）=－1, f（x）=1,
f（x）≠f（x）,
∴f（x）不存在.∴f（x）在x=0處不連續(xù).
（2）∵f（x）在x=3處無(wú)定義,
∴f（x）在x=3處不連續(xù).
∴f（x）在區(qū)間［0,3］上不連續(xù).
【例12】 設(shè)f（x）=當(dāng)a為何值時(shí),函數(shù)f（x）是連續(xù)的.
解:f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故當(dāng)a=1時(shí), f（x）=f（0）,
即說(shuō)明函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù),而在x≠0時(shí),f（x）顯然連續(xù),于是我們可判斷當(dāng)a=1時(shí),
f（x）在（－∞,+∞）內(nèi)是連續(xù)的.
評(píng)述：分段函數(shù)討論連續(xù)性,一定要討論在“分界點(diǎn)”的左、右極限,進(jìn)而斷定連續(xù)性.
【例13】 如右圖,在大沙漠上進(jìn)行勘測(cè)工作時(shí),先選定一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn),然后采用如下方法進(jìn)行:從原點(diǎn)出發(fā),在x軸上向正方向前進(jìn)a（a＞0）個(gè)單位后,向左轉(zhuǎn)90°,前進(jìn)a r（0＜r＜1＝個(gè)單位,再向左轉(zhuǎn)90°,又前進(jìn)a r2個(gè)單位,…,如此連續(xù)下去.
（1）若有一小分隊(duì)出發(fā)后與設(shè)在原點(diǎn)處的大本營(yíng)失去聯(lián)系,且可以斷定此小分隊(duì)的行動(dòng)與原定方案相同,則大本營(yíng)在何處尋找小分隊(duì)?
（2）若其中的r為變量,且0＜r＜1,則行動(dòng)的最終目的地在怎樣的一條曲線上?
剖析：（1）小分隊(duì)按原方案走,小分隊(duì)最終應(yīng)在運(yùn)動(dòng)的極限位置.
（2）可先求最終目的地關(guān)于r的參數(shù)形式的方程.
解:（1）由已知可知即求這樣運(yùn)動(dòng)的極限點(diǎn),設(shè)運(yùn)動(dòng)的極限位置為Q（x,y）,則
x=a－ar2+ar4－…==,
y=ar－ar3+ar5－…=,
∴大本營(yíng)應(yīng)在點(diǎn)（,）附近去尋找小分隊(duì).
（2）由消去r得（x－）2+y2=（其中x＞,y＞0）,
即行動(dòng)的最終目的地在以（,0）為圓心,為半徑的圓上.
【例14】 一彈性小球自h0=5 m高處自由下落,當(dāng)它與水平地面每碰撞一次后速度減少到碰前的,不計(jì)每次碰撞時(shí)間,計(jì)算小球從開始下落到停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程和時(shí)間.
解：設(shè)小球第一次落地時(shí)速度為v0,則有v0==10（m/s）,那么第二,第三,…,第n+1次落地速度分別為v1=v0,v2=（）2v0,…,vn=（）nv0,小球開始下落到第一次與地相碰經(jīng)過(guò)的路程為h0=5 m,小球第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過(guò)的路程是L1=2×=10×（.
小球第二次與地相碰到第三次與地相碰經(jīng)過(guò)的路程為L(zhǎng)2,則L2=2×=10×（）4.
由數(shù)學(xué)歸納法可知,小球第n次到第n+1次與地面碰撞經(jīng)過(guò)路程為L(zhǎng)n=10×（）2n.
故從第一次到第n+1次所經(jīng)過(guò)的路程為
Sn+1=h0+L1+L2+…+Ln,則整個(gè)過(guò)程總路程為
S=Sn+1=5+10×=5+10=20.3（m）,小球從開始下落到第一次與地面相碰經(jīng)過(guò)時(shí)間t0==1（s）.
小球從第一次與地相碰到第二次與地相碰經(jīng)過(guò)的時(shí)間t1=2×=2×,同理可得
tn=2×（）n,tn+1=t0+t1+t2+…+tn,則t=tn+1=1+2×=8（s）.
上例是借助數(shù)學(xué)工具來(lái)解決物理問(wèn)題,這樣有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的進(jìn)一步理解,增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.
第四部分：強(qiáng)化訓(xùn)練：
若把正整數(shù)按下圖所示的規(guī)律排序，則從2002到2004年的箭頭方向依次為
解析：2002=4×500+2，而an=4n是每一個(gè)下邊不封閉的正方形左、上頂點(diǎn)的數(shù).
答案：D
凸n邊形有f（n）條對(duì)角線，則凸n+1邊形有對(duì)角線條數(shù)f（n+1）為
A.f（n）+n+1 B.f（n）+n C.f（n）+n－1 D.f（n）+n－2
解析：由n邊形到n+1邊形，增加的對(duì)角線是增加的一個(gè)頂點(diǎn)與原n－2個(gè)頂點(diǎn)連成的 n－2條對(duì)角線，及原先的一條邊成了對(duì)角線.
答案：C
根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，試猜測(cè)第n個(gè)圖形中有_________個(gè)點(diǎn).
解析：觀察圖形點(diǎn)分布的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第一個(gè)圖形只有一個(gè)中心點(diǎn);第二個(gè)圖形中除中心外還有兩邊，每邊一個(gè)點(diǎn);第三個(gè)圖形中除中心點(diǎn)外還有三個(gè)邊，每邊兩個(gè)點(diǎn);…;依次類推，第n個(gè)圖形中除中心外有n條邊，每邊n－1個(gè)點(diǎn)，故第n個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n（n－1）+1.
答案：n2－n+1
如果命題P（n）對(duì)n=k成立，則它對(duì)n=k+1也成立，現(xiàn)已知P（n）對(duì)n=4不成立，則下列結(jié)論正確的是
A.P（n）對(duì)n∈N*成立
B.P（n）對(duì)n＞4且n∈N*成立
C.P（n）對(duì)n＜4且n∈N*成立
D.P（n）對(duì)n≤4且n∈N*不成立
解析：由題意可知，P（n）對(duì)n=3不成立（否則n=4也成立）.同理可推得P（n）對(duì)n=2，n=1也不成立.
答案：D
用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”時(shí)，由n=k（k＞1）不等式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)是
A.2k－1 B.2k－1 C.2k D.2k+1
解析：左邊的特點(diǎn)：分母逐漸增加1，末項(xiàng)為;由n=k，末項(xiàng)為到n=k+1，末項(xiàng)為=，∴應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為2k.
答案：C
觀察下表：
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……
設(shè)第n行的各數(shù)之和為Sn，則=__________.
解析：第一行1=12，
第二行2+3+4=9=33，
第三行3+4+5+6+7=25=52，
第四行4+5+6+7+8+9+10=49=72.
歸納：第n項(xiàng)的各數(shù)之和Sn=（2n－1）2，
=（）2=4.
答案：4
如圖，第n個(gè)圖形是由正n+2邊形“擴(kuò)展”而來(lái)（n=1，2，3，…），則第n－2個(gè)圖形中共有____________個(gè)頂點(diǎn).
解析：觀察規(guī)律：第一個(gè)圖形有32+3=（1+2）2+（1+2）;
第二個(gè)圖形有（2+2）2+（2+2）=42+4;
第三個(gè)圖形有（3+2）2+（3+2）=52+5;
…
第n－2個(gè)圖形有（n+2－2）2+（n+2－2）=n2+n個(gè)頂點(diǎn).
答案：n2+n
已知y=f（x）滿足f（n－1）=f（n）－lgan－1（n≥2，n∈N）且f（1）=－lga，是否存在實(shí)數(shù)α、β使f（n）=（αn2+βn－1）lga對(duì)任何n∈N *都成立，證明你的結(jié)論.
解：∵f（n）=f（n－1）+lgan－1，令n=2，則f（2）=f（1）+f（a）=－lga+lga=0.
又f（1）=－lga，
∴
∴
∴f（n）=（n2－n－1）lga.
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立.
（2）假設(shè)n=k時(shí)成立，即f（k）=（k2－k－1）lga，
則n=k+1時(shí)，f（k+1）=f（k）+lgak=f（k）+klga=（k2－k－1+k）lga=［（k+1）2－（k+1）－1］lga.
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立.
綜合（1）（2）可知，存在實(shí)數(shù)α、β且α=，β=－，使f（n）=（αn2+βn－1）lga對(duì)任意n∈N*都成立.
已知數(shù)列｛ｂn｝是等差數(shù)列，ｂ1＝1，ｂ1＋ｂ2＋…＋ｂ10＝100．
（1）求數(shù)列｛ｂn｝的通項(xiàng)公式ｂn；
（2）設(shè)數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an＝lg（1＋），記Sn為｛an｝的前n項(xiàng)和，試比較Sn與
lgｂn＋1的大小，并證明你的結(jié)論．
解：（1）容易得ｂn＝2n－1.
（2）由ｂn＝2n－1，
知Sn＝lg（1＋1）＋1g（1＋）＋…＋lg（１＋）＝lg（１＋１）（１＋）·…·（１＋）.
又1gbn＋１＝1g，
因此要比較Sn與1gbn＋１的大小，可先比較（1＋１）（１＋）·…·（１＋）與的大小.
取n=1，2，3可以發(fā)現(xiàn)：前者大于后者，由此推測(cè)
（1+1）（1+）· …· （１＋）＞. ①
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上面猜想：
當(dāng)n=1時(shí)，不等式①成立.
假設(shè)n=k時(shí)，不等式①成立，即
（1＋1）（1＋）·…·（１＋）＞.
那么n=k+1時(shí)，
（１＋１）（１＋）·…·（１＋）（１＋）＞（１＋）
＝.
又［］2－（）2＝＞０，
∴＞=
∴當(dāng)n=k+1時(shí)①成立.
綜上所述，n∈N*時(shí)①成立．
由函數(shù)單調(diào)性可判定Sn＞1gbn＋１.
平面內(nèi)有n條直線，其中無(wú)任何兩條平行，也無(wú)任何三條共點(diǎn)，求證：這n條直線把平面分割成（n2+n+2）塊.
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，1條直線把平面分成2塊，又（12+1+2）=2，命題成立.
（2）假設(shè)n=k時(shí)，k≥1命題成立，即k條滿足題設(shè)的直線把平面分成（k2+k+2）塊，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1條直線被k條直線分成k+1段，每段把它們所在的平面塊又分成了2塊，因此，增加了k+1個(gè)平面塊.所以k+1條直線把平面分成了（k2+k+2）+k+1= ［（k+1） 2+（k+1）+2］塊，這說(shuō)明當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.由（1）（2）知，對(duì)一切n∈N*，命題都成立.
設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an+ （n=1，2，…）.
（1）證明an＞對(duì)一切正整數(shù)n都成立；
（2）令bn= （n=1，2，…），判定bn與bn+1的大小，并說(shuō)明理由.
（1）證法一：當(dāng)n=1時(shí)，a1=2＞，不等式成立.
假設(shè)n=k時(shí)，ak＞成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+12=ak2++2＞2k+3+＞2（k+1）+1，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1＞成立.
綜上，由數(shù)學(xué)歸納法可知，an＞對(duì)一切正整數(shù)成立.
證法二：當(dāng)n=1時(shí)，a1=2＞=結(jié)論成立.
假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即ak＞，
當(dāng)n=k+1時(shí)，由函數(shù)f（x）=x+（x＞1）的單調(diào)遞增性和歸納假設(shè)有
ak+1=ak+＞+ ===＞=.
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.
因此，an＞對(duì)一切正整數(shù)n均成立.
（2）解：==（1+）＜（1+） = = =＜1.
故bn+1＜bn.
已知a、b、c是實(shí)常數(shù)，且=2, =3,則的值是
A.2 B.3 C. D.6
解析:由=2,得a=2b.
由=3,得b=3c,∴c=b.
∴=6.
∴== =6.
答案:D
若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,n=1,2,…,則 （a1+a2+…+an）等于
A. B. C. D.
解析:an=
即an=
∴a1+a2+…+an=（2－1+2－3+2－5+…）+（3－2+3－4+3－6+…）.
∴（a1+a2+…+an）=+=
答案:C
在數(shù)列{an}中，a1=3，且對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,點(diǎn)（,）在直線x－y－=0上，則=__________________.
解析:由題意得－= （n≥2）.
∴{}是公差為的等差數(shù)列，=.
∴=+（n－1）·=n.
∴an=3n2.
∴=
==3.
答案:3
設(shè)等比數(shù)列{an}（n∈N）的公比q=－,且（a1+a3+a5+…+a2n－1）=,則a1=_________________.
解析:∵q=－,∴ （a1+a3+a5+…+a2n－1）==.∴a1=2.
答案:2
數(shù)列{an}中,a1=,an+an+1=,n∈N*,則（a1+a2+…+an）等于
A. B. C. D.
解析:2（a1+a2+…+an）=a1+［（a1+a2）+（a2+a3）+（a3+a4）+…+（an－1+an）］+an=+[++…+]+an.
∴原式=［++an］=（++an）.
∵an+an+1=,∴an+an+1=0.
∴an=0.
答案:C
已知數(shù)列｛an｝滿足（n－1）an+1=（n+1）（an－1）且a2=6,設(shè)bn=an+n（n∈N*）.
（1）求{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）求（+++…+）的值.
解:（1）n=1時(shí)，由（n－1）an+1=（n+1）（an－1）,得a1=1.
n=2時(shí)，a2=6代入得a3=15.同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2.
要證bn=2n2,只需證an=2n2－n.
①當(dāng)n=1時(shí)，a1=2×12－1=1成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak=2k2－k成立.
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，由（k－1）ak+1=（k+1）（ak－1）,得a k+1=（ak－1）
=（2k2－k－1）=（2k+1）（k－1）=（k+1）（2k+1）=2（k+1）2－（k+1）.
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，an=2n2－n正確，從而bn=2n2.
（2）（++…+）=（++…+）
=［++…+］
=［1－+－+…+－］
=［1+－－］=.
已知數(shù)列{an}、{bn}都是無(wú)窮等差數(shù)列,其中a1=3,b1=2,b2是a2與a3的等差中項(xiàng),且
=,求極限 （++…+）的值.
解:{an}、{bn}的公差分別為d1、d2.
∵2b2=a2+a3,即2（2+d2）=（3+d1）+（3+2d1）,
∴2d2－3d1=2.
又===,即d2=2d1,
∴d1=2,d2=4.
∴an=a1+（n－1）d1=2n+1,bn=b1+（n－1）d2=4n－2.
∴==（－）.
∴原式=（1－）=.
已知數(shù)列｛an｝、{bn}都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p、q,其中p＞q且p≠1,q≠1,設(shè)cn=an+bn,Sn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求.
解:Sn=+,
當(dāng)p＞1時(shí)，p＞q＞0,得0＜＜1,上式分子、分母同除以pn－1，得
∴=p.
當(dāng)p＜1時(shí)，0＜q＜p＜1, ==1.
已知數(shù)列{an}滿足a1=0,a2=1,an=,求an.
解:由an=,得
2an+an－1=2an－1+an－2,∴{2an+an－1}是常數(shù)列.
∵2a2+a1=2,∴2an+an－1=2.
∴an－=－（an－1－）.
∴{an－}是公比為－,首項(xiàng)為－的等比數(shù)列.
∴an－=－×（－）n－1.
∴an=－×（－）n－1.
∴an=.
已知函數(shù)f （x）是偶函數(shù),且f （x）=a,則下列結(jié)論一定正確的是
A. f (x)=－a B. f （x）=a
C. f (x)=|a| D. f（x）=|a|
解析：∵f （x）是偶函數(shù),∴f （－x）=f（x）.
又f （x）=a,
f（－x）=a,f （x）=f （－x）,
∴f（－x）= f （x）=a.
答案：B
等于
A. B.1 C. D.
解析:∵=.
答案:A
已知函數(shù)y=f （x）在點(diǎn)x=x0處存在極限,且f （x）=a2－2,f （x）=2a+1,則函數(shù)y=f （x）在點(diǎn)x=x0處的極限是____________.
解析:∵y=f（x）在x=x0處存在極限,
∴f（x）=f（x）,即a2－2=2a+1.∴a=－1或a=3.
∴f （x）=2a+1=－1或7.
答案:－1或7
若f （x）=在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則f （0）=__________________.
解析:∵f（x）在點(diǎn)x=0處連續(xù)，
∴f （0）=f （x）,
f （x）=
= =.
答案:
已知函數(shù)f （x）=，試求:
（1）f （x）的定義域，并畫出圖象；
（2）求f （x）、f （x）,并指出f （x）是否存在.
解:（1）當(dāng)|x|＞2時(shí)，
==－1;
當(dāng)|x|＜2時(shí)，==1;
當(dāng)x=2時(shí)，=0;
當(dāng)x=－2時(shí)，不存在.
∴f （x）=
∴f （x）的定義域?yàn)閧x|x＜－2或x=2或x＞2}.
如下圖:
（2）∵f （x）=－1,f （x）=1.∴f （x）不存在.
設(shè)函數(shù)f （x）=ax2+bx+c是一個(gè)偶函數(shù),且f （x）=0,f （x）=－3,求出這一函數(shù)最大值.
解:∵f （x）=ax2+bx+c是一偶函數(shù),
∴f （－x）=f （x）,
即ax2+bx+c=ax2－bx+c.
∴b=0.∴f （x）=ax2+c.
又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）=ax2+c=4a+c=－3,
∴a=－1,c=1.
∴f （x）=－x2+1.
∴f （x）max=f（0）=1.
∴f （x）的最大值為1.
在一個(gè)以AB為弦的弓形中,C為的中點(diǎn),自A、B分別作弧AB的切線,交于D點(diǎn),設(shè)x為弦AB所對(duì)的圓心角,求.
解：設(shè)所在圓圓心為O,則C、D、O都在AB的中垂線上,
∴∠AOD=∠BOD=.設(shè)OA=r.
S△ABC=S四邊形AOBC－S△AOB=r2sin－r2sinx=r2sin（1－cos）,
S△ABD=S四邊形AOBD－S△AOB=r2tan－r2sinx=r2.
∴===.
當(dāng)a＞0時(shí),求.
解:原式=
=
==
=
設(shè)f（x）是x的三次多項(xiàng)式，已知
===1.
試求的值（a為非零常數(shù)）.
解:由于=1,可知f（2a）=0. ①
同理f（4a）=0. ②
由①②，可知f（x）必含有（x－2a）與（x－4a）的因式，由于f（x）是x的三次多項(xiàng)式，故可設(shè)f（x）=A（x－2a）（x－4a）（x－C）.
這里A、C均為待定的常數(shù).
由=1,即
=A（x－4a）（x－C）=1,
得A（2a－4a）（2a－C）=1,
即4a2A－2aCA=－1. ③
同理，由于=1,
得A（4a－2a）（4a－C）=1,
即8a2A－2aCA=1. ④
由③④得C=3a,A=,
因而f（x）=（x－2a）（x－4a）（x－3a）.
∴=（x－2a）（x－4a）
=·a·（－a）=－.
設(shè)f（x）=問(wèn)k為何值時(shí)，有f（x）存在？
解: f（x）=2k, f（x）=1,
∴要使f（x）存在，應(yīng)有2k=1.∴k=.
a為常數(shù)，若（－ax）=0,求a的值.
解:∵（－ax）= ==0,
∴1－a2=0.
∴a=±1.但a=－1時(shí)，分母→0,
∴a=1.
函數(shù)f（x）=則有
A.f（x）在x=1處不連續(xù)
B.f（x）在x=2處不連續(xù)
C.f（x）在x=1和x=2處不連續(xù)
D.f（x）處處連續(xù)
解析：f（x）=0, f（x）=1,
∴f（x）在x=1處不連續(xù).
答案：A
若f（x）在定義域［a,b］上有定義,則在該區(qū)間上
A.一定連續(xù)
B.一定不連續(xù)
C.可能連續(xù)也可能不連續(xù)
D.以上均不正確
解析：有定義不一定連續(xù).
答案：C
已知函數(shù)f（x）=函數(shù)f（x）在哪點(diǎn)連續(xù)
A.處處連續(xù) B.x=1
C.x=0 D.x=
解析：f（x）= f（x）=f（）.
答案：D
有以下四個(gè)命題:
①f（x）=在［0,1］上連續(xù);
②若f（x）是（a,b）內(nèi)的連續(xù)函數(shù),則f（x）在（a,b）內(nèi)有最大值和最小值;
③=4;
④若f（x）=則f（x）=0.
其中正確命題的序號(hào)是____________.（請(qǐng)把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）
答案：③
拋物線y=b（）2、x軸及直線AB:x=a圍成了如圖（1）的陰影部分,AB與x軸交于點(diǎn)A,把線段OA分成n等份,作以為底的內(nèi)接矩形如圖（2）,陰影部分的面積為S等于這些內(nèi)接矩形面積之和當(dāng)n→∞時(shí)的極限值,求S.
解：S=［b·（）2+b·（）2+b·（）2+…+b·（）2］2·
=·ab
=·ab=ab.
求y=f（x）=的不連續(xù)點(diǎn).
解：易求f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠－1,0,1},所以f（x）的不連續(xù)點(diǎn)為x=－1,x=0和x=1.
某公司全年的純利潤(rùn)為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工,獎(jiǎng)金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(jī)（工作業(yè)績(jī)均不相同）從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金元，然后將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方案將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.
（1）設(shè)ak（1≤k≤n）為第k位職工所得獎(jiǎng)金額，試求a2、a３，并用k、n和b表示ak（不必證明）;
（2）證明：ak＞ak＋1（k＝1，2，…，n－1），并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；
（3）發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為Pn（b）．對(duì)常數(shù)b，當(dāng)n變化時(shí)，求Pn（b）（可用公式 （1－）n=）.
（1）解：a1＝，a2＝（1－）·b，a3＝（1－）2·b，…，ak＝（1－）k－1·b.
（2）證明:ak－ak＋1＝（1－）k－1·b＞０，此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了按勞分配的原則.
（3）解:設(shè)fk（b）表示發(fā)給第k位職工后所剩余額，則f1（b）＝（1－）·b，f2（b）＝（1－）2·b，…，f k（b）＝（1－）k·b，
得Ｐn（b）＝fn（b）＝（1－）n·b,
故Ｐn（b）＝.
如圖，在邊長(zhǎng)為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB、BC相切,…,圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去,記圓On的面積為an（n∈N*）.
（1）證明{an}是等比數(shù)列；
（2）求（a1+a2+…+an）的值.
（1）證明:記rn為圓On的半徑，
則r1=tan30°=l.
=sin30°=,∴rn=rn－1（n≥2）.
于是a1=πr12=,=（）2=,
∴{an}成等比數(shù)列.
（2）解：因?yàn)閍n=（）n－1·a1（n∈N*）,
所以（a1+a2+…+an）==.

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