資源簡介

專題4 平面向量的數量積及其應用
知識點一．平面向量的數量積
（1）平面向量數量積的定義
已知兩個非零向量與，我們把數量叫做與的數量積（或內積），記作，即=，規定：零向量與任一向量的數量積為0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量數量積的幾何意義
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數量，當為銳角時，它是正數；當為鈍角時，它是負數；當為直角時，它是0．
②的幾何意義：數量積等于的長度與在方向上射影的乘積．
③設，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
知識點二．數量積的運算律
已知向量、、和實數，則：
①；②；③．
知識點三．數量積的性質
設、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則
①．②．
③當與同向時，；當與反向時，．
特別地，或．④．⑤．
知識點四．數量積的坐標運算
已知非零向量，，為向量、的夾角．
結論 幾何表示 坐標表示
模
數量積
夾角
的充要 條件
的充要 條件
與 的關系 （當且僅當時等號成立）
題型一：平面向量的數量積運算
例1．（2024·陜西咸陽·統考模擬預測）已知向量，，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根據數量積得運算律計算即可.
【詳解】由，
所以，則.
故選：C
例2．（2024上·河南周口·高三項城市第一級中學校聯考期末）已知向量在向量上的投影向量，且，則 .
【答案】
【分析】由題意設，結合，求出，再根據投影向量的定義，列式計算，即可求得答案.
【詳解】由題意知向量在向量上的投影向量為，
設，由，得，
故，即，
故，
故答案為：
變式1．（2024上·山東青島·高三統考期末）在四邊形中，四個頂點A，B，C，D的坐標分別是，，，，E，F分別為的中點，則（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】A
【分析】利用中點坐標公式以及向量的坐標表示進行數量積運算.
【詳解】由題意，
則，，
.
故選：A
變式2．（2022·全國·模擬預測）已知，則夾角的余弦值為 .
【答案】
【分析】直接運用向量的坐標運算公式即可.
【詳解】由題意得，，
.
故答案為：
題型二：夾角
例3．（2023·全國·重慶市育才中學校聯考模擬預測）已知向量，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，求得，得到，即可求解.
【詳解】由向量，可得，所以，
所以與的夾角為.
故選：C.
例4．（2024·全國·模擬預測）已知平面向量，，則向量與夾角的余弦值為 ．
【答案】/
【分析】由向量加法以及向量夾角余弦的坐標公式運算即可得解.
【詳解】由題意得，則向量與夾角的余弦值.
故答案為：.
變式3．（2023下·新疆喀什·高一統考期中）已知向量，，則與的夾角為 .
【答案】
【分析】利用向量夾角的公式，代入計算，即可求解.
【詳解】由題意設與的夾角為，，
所以，解得.
故答案為：.
變式24．（2023·四川成都·統考一模）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量的夾角公式即可求解.
【詳解】因為，
所以.
故選：C.
題型三：模長
例5．（2024上·全國·高三校聯考競賽）平面向量，則（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
【答案】B
【分析】根據平面向量數量積的坐標表示及模的坐標表示即可求解.
【詳解】因為，所以，
所以.
故選：B
例6．（2022下·廣東廣州·高一廣州市第八十六中學校考期末）已知向量，，若，則（ ）
A．5 B． C． D．10
【答案】B
【分析】根據向量垂直、向量減法、向量的模的坐標運算公式計算.
【詳解】因為向量，，若，
所以，得，
所以，，
所以，
所以.
故選：B
變式5．（2024上·廣東·高三統考期末）已知向量，，且，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【分析】由求出，從而可求解.
【詳解】由，，所以，
因為，所以，得，
所以，故A正確.
故選：A.
變式6．（2023下·山東淄博·高一統考期末）已知向量，，則在上的投影向量的模為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】利用投影向量的定義求出該向量，再求出模作答.
【詳解】向量，，則是單位向量，且，
因此在上的投影向量為，其模為1.
故選：C
題型四：投影與投影向量
例7．（2023上·山西呂梁·高三校聯考階段練習）已知，，則在上的投影向量的坐標為 ．
【答案】
【分析】根據射影向量的定義及向量的數量積、模運算即可.
【詳解】在方向上的投影向量為．
故答案為：
例8．（2024上·江蘇揚州·高三統考期末）已知平面向量，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】結合向量的數量積的坐標運算，根據投影向量的定義，即可求得答案.
【詳解】由題意知平面向量，
故在上的投影向量為，
故選：B
變式7．（2024上·山東青島·高三青島二中校考期末）已知平面向量，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據向量在向量上的投影向量公式：計算即得.
【詳解】根據平面向量的投影向量的規定可得: 向量在向量上的投影向量為：，即，
因，則，，則向量在向量上的投影向量為：.
故選：D.
變式8．（2023上·安徽安慶·高三安慶市第九中學校考階段練習）已知向量，則在上的投影向量的坐標為 ．
【答案】
【分析】根據向量的坐標運算可得，進而結合投影向量的定義運算求解.
【詳解】由題意可得：，
所以在上的投影向量的坐標為.
故答案為：.
題型五：平行與垂直
例9．（2023下·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學校考階段練習）已知向量，且，則實數的值為 ．
【答案】
【分析】借助向量垂直，則數量積為計算即可得.
【詳解】，由，可得，
即有，解得.
故答案為：.
例10．（2016·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學校考期末）已知向量，，若與平行，則m的值是 ．
【答案】/
【分析】根據平面向量的坐標運算與向量平行的坐標表示列出方程求出m的值．
【詳解】∵向量，，∴，
又與平行，
∴，解得.
故答案為：．
變式9．（2022上·河南·高三專題練習）已知向量，且，則 ．
【答案】
【分析】根據向量的坐標運算求出向量的坐標，根據向量垂直的坐標表示，列式計算，即可求得答案.
【詳解】由題意知，
得，
因為，所以，解得，
故答案為：
變式10．（2023下·四川綿陽·高一校考階段練習）已知向量，，且，則實數m的值為 .
【答案】
【分析】根據向量平行的坐標公式，即可求解.
【詳解】因為，所以，得.
故答案為：
題型六：平面向量的綜合應用
例11．（2023上·江蘇南京·高二統考期中）已知向量,，，則向量最大夾角的余弦值為 ．
【答案】
【分析】設，根據得到滿足關系式，然后利用向量夾角公式算出夾角余弦的表達式，利用一元二次方程的判別式算出的取值范圍，進而算出向量最大夾角的余弦值.
【詳解】根據題意設，可得，
所以，
設向量夾角為，
則，
設，得，代入，
整理得，
由，得，
即，
解得，
則當時，有最大值，
此時有最小值，
由于，可知最小時角最大，所以最大夾角的余弦值為.
故答案為:.
例12．（2024·全國·模擬預測）已知向量，滿足，，則的最小值為（ ）
A． B． C．8 D．2
【答案】A
【分析】設且，建立直角坐標系，得到，求得，得到，結合基本不等式和函數上的單調性，即可求解.
【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標系，設且，
因為，可得，
則，
所以，
又因為向量滿足，可得，解得，
所以，
，
則，
設，因為，當且僅當，
所以，
又因為在上為單調遞增函數，
所以，即的最小值為.
故選：A.
變式11．（2023下·江蘇蘇州·高一江蘇省昆山中學校考期末）向量，且，則 ．
【答案】/0.8
【分析】根據給定條件，結合數量積的運算律可得，再建立平面直角坐標系，利用坐標求解夾角的余弦作答.
【詳解】由，得，即，而，則，即，
以的方向分別為軸正方向，建立平面直角坐標系，如圖，
則，于是，有，
所以.
故答案為：
變式2．（2022下·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學校考階段練習）在2022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國，各地區代表團的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形ABCDEF（如圖②）．已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，若點P是線段EC上的動點（包括端點），則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據正六邊形的對稱性，考慮以其中心為原點建系，求得相關點坐標，設出點坐標，利用表示出，通過向量坐標運算推得，運用二次函數的值域即可求得的取值范圍.
【詳解】
如圖，以正六邊形ABCDEF的中心為坐標原點，方向為軸正方向，建立直角坐標系.
因正六邊形邊長為2，故得：,
設點，, 則得：，故，
于是， ，
則：，
因，故得：，即：.
故選：A.
1．（2024上·青海西寧·高三統考期末）已知向量，，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】根據向量運算的坐標表示求得正確答案.
【詳解】.
故選：A
2．（2024上·云南·高三校聯考階段練習）已知向量，則與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量夾角的坐標表示計算．
【詳解】因為，則，
所以.
故選：D．
3．（2022·全國·校聯考模擬預測）已知，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意求得，結合，列出方程，即可求解.
【詳解】由向量，，可得，
因為，可得，解得，所以.
故選：C.
4．（2023上·云南·高三校聯考階段練習）設，向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用投影向量的概念求得的表達式，再利用二次函數的性質求解最小值.
【詳解】向量在向量上的投影向量為，
則，當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：A.
5．（2023上·海南省直轄縣級單位·高二校考期末）（多選題）已知，則（ ）
A．若，則
B．若，則
C．的最小值為
D．若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為
【答案】ABC
【分析】根據向量平行的坐標公式即可判斷A；根據向量垂直的坐標公式即可判斷B；根據向量的模的坐標公式結合二次函數的性質即可判斷C；由向量與向量的夾角為鈍角，可得且不共線，進而可判斷D.
【詳解】對于A，若，則，解得，故A正確；
對于B，若，則，解得，故B正確；
對于C，，
則，
當時，，故C正確；
對于D，因為向量與向量的夾角為鈍角，
所以且不共線，
由，得，
由得，
所以的取值范圍為，故D錯誤.
故選：ABC.
7．（2024上·陜西漢中·高二統考期末）已知正方體的棱長為與相交于點，則的值為 ．
【答案】
【分析】建立空間直角坐標系，用空間向量坐標公式求解.
【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，，
因為易知O為中點，所以，
所以，，
所以
故答案為：
8．（2023下·高一課時練習）若，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由已知得且與不共線，列出不等式組，求解即可．
【詳解】因為與的夾角為銳角，
所以且與不共線，即，解得且，
所以的取值范圍是，
故答案為：．
9．（2022上·江蘇連云港·高三江蘇省贛榆高級中學校考階段練習）已知向量，，若，則 ．
【答案】
【分析】由向量平行的坐標表示可得，再應用向量模長的坐標計算求.
【詳解】由得：，可得，
所以，則.
故答案為：
10．（2024上·遼寧·高三校聯考期末）向量，，若，則 .
【答案】6
【分析】由已知，可得，根據向量的坐標運算求解即可.
【詳解】由已知，所以，
可得，解得.
故答案為：6.專題4 平面向量的數量積及其應用
知識點一．平面向量的數量積
（1）平面向量數量積的定義
已知兩個非零向量與，我們把數量叫做與的數量積（或內積），記作，即=，規定：零向量與任一向量的數量積為0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量數量積的幾何意義
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數量，當為銳角時，它是正數；當為鈍角時，它是負數；當為直角時，它是0．
②的幾何意義：數量積等于的長度與在方向上射影的乘積．
③設，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
知識點二．數量積的運算律
已知向量、、和實數，則：
①；②；③．
知識點三．數量積的性質
設、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則
①．②．
③當與同向時，；當與反向時，．
特別地，或．④．⑤．
知識點四．數量積的坐標運算
已知非零向量，，為向量、的夾角．
結論 幾何表示 坐標表示
模
數量積
夾角
的充要 條件
的充要 條件
與 的關系 （當且僅當時等號成立）
題型一：平面向量的數量積運算
例1．（2024·陜西咸陽·統考模擬預測）已知向量，，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
例2．（2024上·河南周口·高三項城市第一級中學校聯考期末）已知向量在向量上的投影向量，且，則 .
變式1．（2024上·山東青島·高三統考期末）在四邊形中，四個頂點A，B，C，D的坐標分別是，，，，E，F分別為的中點，則（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
變式2．（2022·全國·模擬預測）已知，則夾角的余弦值為 .
題型二：夾角
例3．（2023·全國·重慶市育才中學校聯考模擬預測）已知向量，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
例4．（2024·全國·模擬預測）已知平面向量，，則向量與夾角的余弦值為 ．
變式3．（2023下·新疆喀什·高一統考期中）已知向量，，則與的夾角為 .
變式24．（2023·四川成都·統考一模）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
題型三：模長
例5．（2024上·全國·高三校聯考競賽）平面向量，則（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
例6．（2022下·廣東廣州·高一廣州市第八十六中學校考期末）已知向量，，若，則（ ）
A．5 B． C． D．10
變式5．（2024上·廣東·高三統考期末）已知向量，，且，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
變式6．（2023下·山東淄博·高一統考期末）已知向量，，則在上的投影向量的模為（ ）
A．2 B． C．1 D．
題型四：投影與投影向量
例7．（2023上·山西呂梁·高三校聯考階段練習）已知，，則在上的投影向量的坐標為 ．
例8．（2024上·江蘇揚州·高三統考期末）已知平面向量，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
變式7．（2024上·山東青島·高三青島二中校考期末）已知平面向量，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
變式8．（2023上·安徽安慶·高三安慶市第九中學校考階段練習）已知向量，則在上的投影向量的坐標為 ．
題型五：平行與垂直
例9．（2023下·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學校考階段練習）已知向量，且，則實數的值為 ．
例10．（2016·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學校考期末）已知向量，，若與平行，則m的值是 ．
變式9．（2022上·河南·高三專題練習）已知向量，且，則 ．
變式10．（2023下·四川綿陽·高一校考階段練習）已知向量，，且，則實數m的值為 .
題型六：平面向量的綜合應用
例11．（2023上·江蘇南京·高二統考期中）已知向量,，，則向量最大夾角的余弦值為 ．
例12．（2024·全國·模擬預測）已知向量，滿足，，則的最小值為（ ）
A． B． C．8 D．2
變式11．（2023下·江蘇蘇州·高一江蘇省昆山中學校考期末）向量，且，則 ．
變式2．（2022下·陜西咸陽·高一咸陽市實驗中學校考階段練習）在2022年2月4日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國，各地區代表團的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點可近似得到正六邊形ABCDEF（如圖②）．已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，若點P是線段EC上的動點（包括端點），則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024上·青海西寧·高三統考期末）已知向量，，則（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2024上·云南·高三校聯考階段練習）已知向量，則與夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國·校聯考模擬預測）已知，，且，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·云南·高三校聯考階段練習）設，向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·海南省直轄縣級單位·高二校考期末）（多選題）已知，則（ ）
A．若，則
B．若，則
C．的最小值為
D．若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為
7．（2024上·陜西漢中·高二統考期末）已知正方體的棱長為與相交于點，則的值為 ．
8．（2023下·高一課時練習）若，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是 ．
9．（2022上·江蘇連云港·高三江蘇省贛榆高級中學校考階段練習）已知向量，，若，則 ．
10．（2024上·遼寧·高三校聯考期末）向量，，若，則 .

展開更多......

收起↑