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專題3 平面向量的概念、線性運算與坐標表示
知識點一．向量的有關概念
（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）特殊向量：
①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
②單位向量：長度等于1個單位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規定：與任一向量平行．
④相等向量：長度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．
知識點二．向量的線性運算和向量共線定理
（1）向量的線性運算
運算 定義 法則（或幾何意義） 運算律
加法 求兩個向量和的運算 三角形法則平行四邊形法則 ①交換律 ②結合律
減法 求與的相反向量的和的運算叫做與的差 三角形法則
數乘 求實數與向量的積的運算 （1） （2）當時，與的方向相同；當時，與的方向相同； 當時，
知識點三．平面向量基本定理和性質
1、共線向量基本定理
如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數，使．（口訣：數乘即得平行，平行必有數乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一個平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內的任一向量，都存在唯一的一對實數，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內所有向量的一組基底，記為，叫做向量關于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據，也是向量的坐標表示的基礎．
推論1：若，則．
推論2：若，則．
3、三點共線定理
平面內三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數，使，其中，為平面內一點．此定理在向量問題中經常用到，應熟練掌握．
A、B、C三點共線
存在唯一的實數，使得；
存在唯一的實數，使得；
存在唯一的實數，使得；
存在，使得．
知識點四．平面向量的坐標表示及坐標運算
（1）平面向量的坐標表示．
在平面直角坐標中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內的一個向量，有且只有一對實數使，我們把有序實數對叫做向量的坐標，記作．
（2）向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即有
向量向量點．
（3）設，，則，，即兩個向量的和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差．
若，為實數，則，即實數與向量的積的坐標，等于用該實數乘原來向量的相應坐標．
（4）設，，則=，即一個向量的坐標等于該向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標．
知識點五．平面向量的直角坐標運算
①已知點，，則，
②已知，，則，，
，．
，
重難點題型突破1 平面向量的基本概念
例1．（2023上·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中）下列命題正確的是（ ）
A．零向量沒有方向 B．若，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】C
【分析】A選項，由零向量的定義進行判斷；B選項，根據向量的模及相等向量判斷；
C選項，根據向量的性質判斷，D選項，根據共線向量的定義判斷；
【詳解】對于A項：零向量的方向是任意的并不是沒有方向，故A項錯誤；
對于B項：因為向量的模相等，但向量不一定相等，故B項錯誤；
對于C項：因為，，所以可得：，故C項正確；
對于D項：若，則不共線的，也有，，故D項錯誤.
故選：C.
例2．（2023下·甘肅蘭州·高二統考期末）關于空間向量的命題：
①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；
②長度相等，方向相同的向量是相等向量；
③平行且模相等的兩個向量是相等向量；
④若，則．
其中所有真命題的序號有 ．
【答案】②
【分析】根據平面向量的相關概念逐項分析判斷.
【詳解】對于①：由共線向量的定義可知：方向相反的兩個向量也是共線向量，故①錯誤；
對于②：長度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；
對于③：平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③錯誤；
對于④：若，可能只是方向不相同，但模長相等，故④錯誤.
故答案為：②.
變式向訓練1．（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移動 B．是單位向量，則
C． D．若，則
【答案】D
【分析】根據題意，由向量的定義以及相關概念對選項逐一判斷，即可得到結果.
【詳解】因為非零向量是自由向量，可以自由平移移動，故A正確；
由單位向量對于可知，，故B正確；
因為，所以，故C正確；
因為兩個向量不能比較大小，故D錯誤；
故選：D
變式向訓練2．（2024·全國·高一專題練習）（多選題）下列結論中，錯誤的是（ ）
A．表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同；
B．若，則，不是共線向量；
C．若，則四邊形是平行四邊形；
D．有向線段就是向量，向量就是有向線段.
【答案】BCD
【詳解】對于A，表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同，故A正確；
對于B，若也有可能，長度不等，但方向相同或相反，即共線，故B錯誤；
對于C，若，則，可以方向不同，所以四邊形不一定是平行四邊形，故C錯誤；
對于D，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，故D錯誤.故選：BCD.
重難點題型突破2 平面向量的線性表示
例3．（2024下·全國·高一專題練習）如圖，已知是的邊上的中線，若，，則等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】結合圖形，用、表示出、和即可.
【詳解】因為是的中點，所以.
故選：C
例4．（2024下·全國·高一專題練習）已知四邊形為菱形，則下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據菱形的性質，結合平面向量加法的運算性質進行判斷即可.
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，因為，所以，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，因為，所以，故D錯誤.
故選：C
變式向訓練3．（2024·陜西西安·西安中學校考一模）已知點是的重心，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形重心的性質，結合平面向量的線性運算，即可求得答案.
【詳解】設的中點為D，連接，點是的重心，則P在上，
且
，
由此可知A，B，C錯誤，D正確，
故選：D
變式向訓練4．（2023上·黑龍江·高三統考期中）（多選題）如圖所示，四邊形為梯形，其中，，，分別為，的中點，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根據向量的線性運算分別判斷各選項.
【詳解】A選項：，A選項正確；
B選項：，B選項錯誤；
C選項：，C選項正確；
D選項：，D選項錯誤；
故選：AC.
重難點題型突破3 平行向量與共線向量
例5．（2023下·陜西榆林·高一校考期中）（多選題）如圖，在正六邊形中，點為其中心，則下列判斷正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用平行向量和相等向量的定義求解．
【詳解】由正六邊形的結構特征可知，
與方向相同，長度相等，，故選項A正確，
與方向相反，，故選項B正確，
由正六邊形的性質可知，，故選項C正確，
與不共線，所以不會相等，故選項D錯誤，
故選：ABC．
例6．（2023下·新疆·高一兵團第三師第一中學校考階段練習）關于向量，，下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，，則
【答案】B
【分析】根據向量相等的定義、共線向量的定義和性質依次判斷各個選項即可.
【詳解】對于A，當時，方向可能不同，未必成立，A錯誤；
對于B，若，則反向，，B正確；
對于C，只能說明長度的大小關系，但還有方向，無法比較大小，C錯誤；
對于D，當時，，，此時未必共線，D錯誤.
故選：B.
變式向訓練5．（2024下·全國·高一專題練習）已知是兩個不共線的向量，，，若與是共線向量，則實數 .
【答案】
【分析】由向量共線可得，由此構造方程組求得結果.
【詳解】與是共線向量，
，即，
，解得：，
.
故答案為：.
變式向訓練6．（2011上·陜西·高一統考期末）如圖，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據正六邊形的性質逐項判斷后可得正確的選項.
【詳解】對于A，由正六邊形的性質可得四邊形為平行四邊形，故，故A正確.
對于B，因為，故，故B正確.
對于C，由正六邊形的性質可得，故，故C正確.
對于D，因為交于，故不成立，故D錯誤，故選：D.
重難點題型突破4 平行向量的基本定理及其應用
例7．（2023下·河南·高一校聯考期中）設、是不共線的兩個非零向量，則下列四組向量不能作為基底的是（ ）
A．和 B．與
C．與 D．與
【答案】C
【分析】判斷出哪個選項的兩個向量共線即可.
【詳解】對于C，共線，不能作為基底，
對于ABD，兩組向量都不共線，
故選：C.
例8．（2024下·全國·高一專題練習）（多選題）若是平面內的一個基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根據平面向量共線定理逐一判斷即可.
【詳解】對于A，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；
對于B，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；
對于C，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；
對于D，明顯不存在實數使，則不共線，可以作為平面向量的基底.
故選：ABC.
變式向訓練7．（2024上·湖南長沙·高一長沙一中校考期末）（多選題）下列各組向量中，不能作為基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ACD
【分析】分別判斷四個選項中的兩個向量是否共線得到答案.
【詳解】對于A，，，由零向量與任意向量共線，可知兩個向量不能作為基底；
對于B，因為，，所以，所以兩個向量不共線，可以作為基底；
對于C，因為，，所以，可知兩個向量共線，故不可以作為基底；
對于D，由，，得：，可知兩個向量共線，故不能作為基底；
故選：ACD
變式向訓練8．（2023下·湖南·高二開學考試）（多選題）如圖，在平行四邊形中，為的中點，為的中點，與相交于點，，則下列選項正確的是（ ）

A．
B．
C．
D．若，則
【答案】BCD
【分析】根據給定條件，利用平面向量的線性運算結合給定圖形計算判斷ABC；利用數量積的定義及運算律計算判斷D作答.
【詳解】在中，為的中點，為的中點，，
對于A，，A錯誤；
對于B，，B正確；
對于C，由，有，C正確；
對于D，依題意，，于是
，D正確.
故選：BCD
重難點題型突破5 平行向量的坐標運算
例9．（2024下·全國·高一專題練習）已知P，Q分別為的邊，的中點，若，，則點C的坐標為 ．
【答案】
【分析】由向量求出的坐標，進而求出點C的坐標.
【詳解】由P，Q分別為的邊，的中點，
，得，
點為坐標原點，，
因此，所以點C的坐標為
故答案為：.
例10．（2024下·全國·高一專題練習）已知向量，，則等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據向量坐標的加減可得.
【詳解】
故選：A
變式向訓練9．（2023·陜西西安·統考一模）已知向量，，若，則 .
【答案】
【分析】利用向量垂直的坐標表示求出，再利用模的坐標表示計算即得.
【詳解】向量，，由，得，解得，
即，，
所以.
故答案為：
變式訓練10．（2024上·青海西寧·高三統考期末）已知向量，，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】根據向量運算的坐標表示求得正確答案.
【詳解】.
故選：A
重難點題型突破6 共線的坐標表示
例11．（2024上·廣東湛江·高三統考期末）已知向量，，若，則（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】由平面向量平行的充要條件即可得解.
【詳解】因為，所以，所以.
故選：B.
例12．（2023上·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學校考開學考試）設向量，若，則實數m的值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用向量線性運算的坐標表示，再結合向量共線的坐標表示求解即得.
【詳解】向量，則，
由，得，解得，
所以實數m的值為.
故選：D
變式訓練11．（2024下·云南紅河·高一開遠市第一中學校校考開學考試）（多選題）已知向量，則下列結論正確的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用向量平行與垂直的坐標表示，對選項逐一分析判斷即可得解.
【詳解】因為，
對于AB，，則，故A正確，B錯誤；
對于C，，，
則，則，故C正確；
對于D，，顯然，
則，故不成立，故D錯誤.
故選：AC.
變式訓練12．（2024·陜西西安·統考一模）已知平面向量，若與共線，則實數 ．
【答案】2
【分析】利用向量共線的坐標表示可得答案.
【詳解】，
若與共線，則，
解得.
故答案為：.
1．（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）下列命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根據平面向量的相關概念，逐項判斷，即可得到本題答案.
【詳解】對于①，由共線向量的定義可知：方向相反的兩個向量也是共線向量，故①錯誤；
對于②，長度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；
對于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③錯誤；
對于④，若，可能只是方向不相同，但模長相等，故④錯誤.
故選：A
2．（2023下·北京·高一東直門中學校考期中）下列命題正確的是（ ）
A．單位向量都相等 B．任一向量與它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共線向量 D．模為的向量與任意非零向量共線
【答案】D
【分析】根據單位向量、零向量、共線向量的定義判斷即可.
【詳解】對于A：單位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故單位向量不一定相等，故A錯誤；
對于B：零向量與它的相反向量相等，故B錯誤．
對于C：平行向量一定是共線向量，故C錯誤；
對于D：模為的向量為零向量，零向量與任非零意向量共線，故D正確；
故選：D．
3．（2024上·湖北襄陽·高三棗陽一中校聯考期末）已知是兩個不共線的向量，向量共線，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根據給定條件，利用平面向量基本定理求解即得.
【詳解】向量不共線，則，由共線，得，，
于是，則且，解得，
所以實數的值為.
故選：C
4．（2024下·全國·高一專題練習）已知向量，，則等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量線性運算的坐標運算可得結果.
【詳解】因為，故.
故選：D.
5．（2023·全國·高三專題練習）（多選）下列命題正確的是（　　）
A．若都是單位向量，則.
B．“”是“”的必要不充分條件
C．若都為非零向量，則使＋＝成立的條件是與反向共線
D．若，則
【答案】BCD
【分析】根據平面向量的定義以及向量共線的概念一一判斷.
【詳解】對A，都是單位向量，則模長相等，但方向不一定相同，
所以得不到，A錯誤；
對B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”，
所以“”是“”的必要不充分條件，B正確；
對C，因為與反向共線，
且，都為單位向量，則＋＝，C正確；
對D，若，則，D正確，
故選:BCD.
6．（2021·高一課時練習）如圖所示，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點A，B，C，D，E，F，O中的任意一點為起點，與起點不同的另一點為終點的所有向量中，與向量共線的向量共有 個.
【答案】9
【分析】根據正六邊形的特點，以及向量共線的定義可求答案.
【詳解】由正六邊形的性質可知，與向量共線的向量有，共9個.
故答案為：9.專題3 平面向量的概念、線性運算與坐標表示
知識點一．向量的有關概念
（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）特殊向量：
①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
②單位向量：長度等于1個單位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規定：與任一向量平行．
④相等向量：長度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．
知識點二．向量的線性運算和向量共線定理
（1）向量的線性運算
運算 定義 法則（或幾何意義） 運算律
加法 求兩個向量和的運算 三角形法則平行四邊形法則 ①交換律 ②結合律
減法 求與的相反向量的和的運算叫做與的差 三角形法則
數乘 求實數與向量的積的運算 （1） （2）當時，與的方向相同；當時，與的方向相同； 當時，
知識點三．平面向量基本定理和性質
1、共線向量基本定理
如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數，使．（口訣：數乘即得平行，平行必有數乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一個平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內的任一向量，都存在唯一的一對實數，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內所有向量的一組基底，記為，叫做向量關于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據，也是向量的坐標表示的基礎．
推論1：若，則．
推論2：若，則．
3、三點共線定理
平面內三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數，使，其中，為平面內一點．此定理在向量問題中經常用到，應熟練掌握．
A、B、C三點共線
存在唯一的實數，使得；
存在唯一的實數，使得；
存在唯一的實數，使得；
存在，使得．
知識點四．平面向量的坐標表示及坐標運算
（1）平面向量的坐標表示．
在平面直角坐標中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內的一個向量，有且只有一對實數使，我們把有序實數對叫做向量的坐標，記作．
（2）向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即有
向量向量點．
（3）設，，則，，即兩個向量的和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差．
若，為實數，則，即實數與向量的積的坐標，等于用該實數乘原來向量的相應坐標．
（4）設，，則=，即一個向量的坐標等于該向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標．
知識點五．平面向量的直角坐標運算
①已知點，，則，
②已知，，則，，
，．
，
重難點題型突破1 平面向量的基本概念
例1．（2023上·廣東湛江·高二湛江二十一中校考期中）下列命題正確的是（ ）
A．零向量沒有方向 B．若，則
C．若，，則 D．若，，則
例2．（2023下·甘肅蘭州·高二統考期末）關于空間向量的命題：
①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；
②長度相等，方向相同的向量是相等向量；
③平行且模相等的兩個向量是相等向量；
④若，則．
其中所有真命題的序號有 ．
變式向訓練1．（2023下·山東菏澤·高一山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移動 B．是單位向量，則
C． D．若，則
變式向訓練2．（2024·全國·高一專題練習）（多選題）下列結論中，錯誤的是（ ）
A．表示兩個相等向量的有向線段，若它們的起點相同，則終點也相同；
B．若，則，不是共線向量；
C．若，則四邊形是平行四邊形；
D．有向線段就是向量，向量就是有向線段.
重難點題型突破2 平面向量的線性表示
例3．（2024下·全國·高一專題練習）如圖，已知是的邊上的中線，若，，則等于（　　）
A． B．
C． D．
例4．（2024下·全國·高一專題練習）已知四邊形為菱形，則下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
變式向訓練3．（2024·陜西西安·西安中學校考一模）已知點是的重心，則（ ）
A． B．
C． D．
變式向訓練4．（2023上·黑龍江·高三統考期中）（多選題）如圖所示，四邊形為梯形，其中，，，分別為，的中點，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
重難點題型突破3 平行向量與共線向量
例5．（2023下·陜西榆林·高一校考期中）（多選題）如圖，在正六邊形中，點為其中心，則下列判斷正確的是（ ）

A． B．
C． D．
例6．（2023下·新疆·高一兵團第三師第一中學校考階段練習）關于向量，，下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，，則
變式向訓練5．（2024下·全國·高一專題練習）已知是兩個不共線的向量，，，若與是共線向量，則實數 .
變式向訓練6．（2011上·陜西·高一統考期末）如圖，在正六邊形中，點為其中點，則下列判斷錯誤的是（ ）

A． B．
C． D．
重難點題型突破4 平行向量的基本定理及其應用
例7．（2023下·河南·高一校聯考期中）設、是不共線的兩個非零向量，則下列四組向量不能作為基底的是（ ）
A．和 B．與
C．與 D．與
例8．（2024下·全國·高一專題練習）（多選題）若是平面內的一個基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
變式向訓練7．（2024上·湖南長沙·高一長沙一中校考期末）（多選題）下列各組向量中，不能作為基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
變式向訓練8．（2023下·湖南·高二開學考試）（多選題）如圖，在平行四邊形中，為的中點，為的中點，與相交于點，，則下列選項正確的是（ ）

A．
B．
C．
D．若，則
重難點題型突破5 平行向量的坐標運算
例9．（2024下·全國·高一專題練習）已知P，Q分別為的邊，的中點，若，，則點C的坐標為 ．
例10．（2024下·全國·高一專題練習）已知向量，，則等于（　　）
A． B．
C． D．
變式向訓練9．（2023·陜西西安·統考一模）已知向量，，若，則 .
變式訓練10．（2024上·青海西寧·高三統考期末）已知向量，，則（ ）
A． B．1 C． D．2
重難點題型突破6 共線的坐標表示
例11．（2024上·廣東湛江·高三統考期末）已知向量，，若，則（ ）
A．8 B． C． D．
例12．（2023上·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學校考開學考試）設向量，若，則實數m的值為（ ）
A． B．2 C． D．
變式訓練11．（2024下·云南紅河·高一開遠市第一中學校校考開學考試）（多選題）已知向量，則下列結論正確的是（ ）.
A． B．
C． D．
變式訓練12．（2024·陜西西安·統考一模）已知平面向量，若與共線，則實數 ．
1．（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）下列命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023下·北京·高一東直門中學校考期中）下列命題正確的是（ ）
A．單位向量都相等 B．任一向量與它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共線向量 D．模為的向量與任意非零向量共線
3．（2024上·湖北襄陽·高三棗陽一中校聯考期末）已知是兩個不共線的向量，向量共線，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．2
4．（2024下·全國·高一專題練習）已知向量，，則等于（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023·全國·高三專題練習）（多選）下列命題正確的是（　　）
A．若都是單位向量，則.
B．“”是“”的必要不充分條件
C．若都為非零向量，則使＋＝成立的條件是與反向共線
D．若，則
6．（2021·高一課時練習）如圖所示，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點A，B，C，D，E，F，O中的任意一點為起點，與起點不同的另一點為終點的所有向量中，與向量共線的向量共有 個.

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