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期末復(fù)習(xí)之四: 復(fù) 數(shù)
知識(shí)小結(jié):
⑴復(fù)數(shù)的單位為i，它的平方等于－1，即.
⑵復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念：
復(fù)數(shù)—形如a + bi的數(shù)（其中）；
實(shí)數(shù)—當(dāng)b = 0時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即a；
虛數(shù)—當(dāng)時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi；
純虛數(shù)—當(dāng)a = 0且時(shí)的復(fù)數(shù)a + bi，即bi.
復(fù)數(shù)a + bi的實(shí)部與虛部—a叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做虛部（注意a，b都是實(shí)數(shù)）
復(fù)數(shù)集C—全體復(fù)數(shù)的集合，一般用字母C表示.
⑶兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：
.
⑷兩個(gè)復(fù)數(shù)，如果不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大小.
注：①若為復(fù)數(shù)，則若，則.（×）[為復(fù)數(shù)，而不是實(shí)數(shù)]
若，則.（√）
②若，則是的必要不充分條件.（當(dāng)，
時(shí)，上式成立）
⑴復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：.
其中是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，間的距離.
由上可得：復(fù)平面內(nèi)以為圓心，為半徑的圓的復(fù)數(shù)方程：.
⑵曲線方程的復(fù)數(shù)形式：
①為圓心，r為半徑的圓的方程.
②表示線段的垂直平分線的方程.
③為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a的橢圓的方程（若，此方程表示線段）.
④表示以為焦點(diǎn)，實(shí)半軸長(zhǎng)為a的雙曲線方程（若，此方程表示兩條射線）.
⑶絕對(duì)值不等式：
設(shè)是不等于零的復(fù)數(shù)，則
①.
左邊取等號(hào)的條件是，右邊取等號(hào)的條件是.
②.
左邊取等號(hào)的條件是，右邊取等號(hào)的條件是.
注：.
共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：
，（a + bi） （） 注：兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)之差是純虛數(shù). （×）[之差可能為零，此時(shí)兩個(gè)復(fù)數(shù)是相等的]
⑴①?gòu)?fù)數(shù)的乘方：②對(duì)任何，及有
③ 注：①以上結(jié)論不能拓展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，否則會(huì)得到荒謬的結(jié)果，如若由就會(huì)得到的錯(cuò)誤結(jié)論.
②在實(shí)數(shù)集成立的. 當(dāng)為虛數(shù)時(shí)，，所以復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程不能采用兩邊平方法.
⑵常用的結(jié)論：
若是1的立方虛數(shù)根，即，則 .
⑴復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)及純虛數(shù)的充要條件：
①.②若，是純虛數(shù).
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點(diǎn)在哪里，都認(rèn)為是相等的，而相等的向量表示同一復(fù)數(shù). 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.注：.
復(fù)數(shù)集中解一元二次方程：在復(fù)數(shù)集內(nèi)解關(guān)于的一元二次方程時(shí)，應(yīng)注意下述問題：①當(dāng)時(shí)，若＞0，則有二不等實(shí)數(shù)根；若=0，則有二相等實(shí)數(shù)根；若＜0，則有二相等復(fù)數(shù)根（為共軛復(fù)數(shù)）.②當(dāng)不全為實(shí)數(shù)時(shí)，不能用方程根的情況.③不論為何復(fù)數(shù)，都可用求根公式求根，并且韋達(dá)定理也成立.
范例分析
①實(shí)數(shù)？②虛數(shù)？③純虛數(shù)？
①?gòu)?fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是：
∴當(dāng)m＝2時(shí)復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)．
②復(fù)數(shù)z是虛數(shù)的充要條件：
∴當(dāng)m≠3且m≠2時(shí)復(fù)數(shù)z為虛數(shù)
③復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是：
∴當(dāng)m＝1時(shí)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)．
【說明】要注意復(fù)數(shù)z實(shí)部的定義域是m≠3，它是考慮復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)，虛數(shù)純虛數(shù)的必要條件．
要特別注意復(fù)數(shù)z＝a+bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a＝0且b≠0．
[ ]
，所以，代入①得，故選．
解法3：選擇支中的復(fù)數(shù)的模均為，又，而方程右邊為2+i，它的實(shí)部，虛部均為正數(shù)，因此復(fù)數(shù)z的實(shí)部，虛部也必須為正，故選擇B．
【說明】解法1利用復(fù)數(shù)相等的條件；解法2利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)；解法3考慮選擇題的特點(diǎn)．
求：z
【分析】確定一個(gè)復(fù)數(shù)要且僅要兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，而題目恰給了兩個(gè)獨(dú)立條件采用待定系數(shù)法可求出a、b確定z．
運(yùn)算簡(jiǎn)化．
解：設(shè)z=x+yi(x，y∈R)
將z=x+yi代入|z4|＝|z4i|可得x＝y(tǒng)，∴z=x+xi
(2)當(dāng)|z1|＝13時(shí)，即有xx6=0則有x=3或x=2
綜上所述故z＝0或z=3+3i或z=-22i
【說明】注意熟練地運(yùn)用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)．其性質(zhì)有：
(3)1+2i+3+…+1000
【說明】計(jì)算時(shí)要注意提取公因式，要注意利用i的冪的周期性，
要記住常用的數(shù)據(jù)：，，。
（2）原式
(3)解法1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+…+(997+998i9991000i)
=250(22i)=500500i
解法2：設(shè)S＝1+2i+3+…+1000，則iS＝i+2+3+…+999+1000，
∴(1i)S＝1+i++…+1000
【說明】充分利用i的冪的周期性進(jìn)行組合，注意利用等比數(shù)列求和的方法．
【例5】若，求：
解：
【例6】設(shè)z1=1-cosθ+isinθ，z2=a2+ai(a∈R)，若z1z2≠0，z1z2+=0，問在（0，2π）內(nèi)是否存在θ使(z1-z2)2為實(shí)數(shù)？若存在，求出θ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】這是一道探索性問題．可根據(jù)復(fù)數(shù)的概念與純虛數(shù)的性質(zhì)及復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件，直接進(jìn)行解答．
【解】假設(shè)滿足條件的θ存在．
因z1z2≠0，z1z2+=0，故z1z2為純虛數(shù)．
又z1z2=(1-cosθ+isinθ)(a2+ai)
=[a2(1-cosθ)-asinθ]+[a(1-cosθ)+a2sinθ]i，
于是，
由②知a≠0．
因θ∈(0，2π)，故cosθ≠1．于是，由①得a=．
另一方面，因(z1-z2)2∈R，故z1-z2為實(shí)數(shù)或?yàn)榧兲摂?shù)．又z1-z2=1-cosθ-a2+(sinθ-a)i，于是sinθ-a=0，或1-cosθ-a2=0．
若sinθ-a=0，則由方程組
得=sinθ，故cosθ=0，于是θ=或θ=．
若1-cosθ-a2=0，則由方程組
得()2=1-cosθ．
由于sin2θ=1-cos2θ=(1+cosθ)(1-cosθ)，故1+cosθ=(1-cosθ)2．
解得cosθ=0，從而θ=或θ=．
綜上所知，在(0，2π)內(nèi)，存在θ=或θ=，使(z1-z2)2為實(shí)數(shù)．
【說明】①解題技巧：解題中充分使用了復(fù)數(shù)的性質(zhì)：z≠0，z+=0(z∈{純虛數(shù)}(以及z2∈R(z∈R或z∈{純虛數(shù)}．（注：Re(z)，Im(z)分別表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部）
②解題規(guī)律：對(duì)于“是否型存在題型”，一般處理方法是首先假設(shè)結(jié)論成立，再進(jìn)行正確的推理，若無矛盾，則結(jié)論成立；否則結(jié)論不成立．
【例7】設(shè)a為實(shí)數(shù)，在復(fù)數(shù)集C中解方程： z2+2|z|=a．
【分析】由于z2=a-2|z|為實(shí)數(shù)，故z為純虛數(shù)或?qū)崝?shù)，因而需分情況進(jìn)行討論．
【解】設(shè)|z|=r．若a＜0，則z2=a-2|z|＜0，于是z為純虛數(shù)，從而r2=2r–a．
解得　r=(r=＜0，不合，舍去)．故　z=±()i．
若a≥0，對(duì)r作如下討論：
（1）若r≤a，則z2=a-2|z|≥0，于是z為實(shí)數(shù)．
解方程r2=a-2r，得r=(r=＜0，不合，舍去)．
故　z=±()．
（2）若r＞a，則z2=a-2|z|＜0，于是z為純虛數(shù)．
解方程r2=2r-a，得r=或r=(a≤1)．
故　z=±()i(a≤1)．
綜上所述，原方程的解的情況如下：
當(dāng)a＜0時(shí)，解為：z=±()i；
當(dāng)0≤a≤1時(shí)，解為：z=±()，z=±()i；
當(dāng)a＞1時(shí)，解為：z=±()．
【說明】解題技巧：本題還可以令z=x+yi(x、y∈R)代入原方程后，由復(fù)數(shù)相等的條件將復(fù)數(shù)方程化歸為關(guān)于x，y的實(shí)系數(shù)的二元方程組來求解．
【例8】已知實(shí)數(shù)滿足不等式，試判斷方程有無實(shí)根，并給出證明.
【解】由，解得，.方程的判別式.
，，，由此得方程無實(shí)根.
基礎(chǔ)訓(xùn)練：
下列說法正確的是 [ C ]
A．0i是純虛數(shù)B．原點(diǎn)是復(fù)平面內(nèi)直角坐標(biāo)系的實(shí)軸與虛軸的公共點(diǎn)
C．實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)一定是實(shí)數(shù)，虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)一定是虛數(shù)D．是虛數(shù)
下列命題中，假命題是 [ A ]
A．兩個(gè)復(fù)數(shù)不可以比較大小B．兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小
C．兩個(gè)虛數(shù)不可以比較大小D．一虛數(shù)和一實(shí)數(shù)不可以比較大小
已知對(duì)于x的方程+（12i）x+3mi=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)m滿足[ D ]
復(fù)數(shù)1+i++…+等于 [ ]A
A．i B． i C．2i D．2i
求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)z：
(1)z+是實(shí)數(shù)，且1＜z+≤6；(2)z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)．
∵1＜t≤6∴Δ=t2-40＜0，解方程得
又∵z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)，∴t=2或t=6
故z=1±3i或z=3±i
已知復(fù)數(shù)z1=3+4i, z2=t+i, 且是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t=( )
A． B． C．( D．(
當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
滿足條件的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是( C )
A．一條直線 B．兩條直線 C．圓 D．橢圓
已知z=2i，求z3z＋z+5z＋2的值。
【分析】如果直接代入，顯然比較困難，將z用三角式表示也有一定的難度。從整體角度思考，可將條件轉(zhuǎn)化為（z2）=（i）=1，即z4z+4=1，即z4z+5=0，再將結(jié)論轉(zhuǎn)化為z3z＋z+5z＋2=（z4z＋5）（z＋z）+2，然后代入就不困難了。
【解】∵z=2i，∴（z2）=（i）=1
即z4z+5=0
∴z3z＋z+5z＋2=（z4z+5）（z＋z）+2=2。
設(shè)z∈c，a≥0，解方程z|z|＋az＋i=0。
邊取模，得
下列命題中正確的是 [ D ]
A．方程|z+5||z5i|=8的圖形是雙曲線
B．方程|z+5|=8的圖形是雙曲線
C．方程|z+5i||z5i|=8的圖形是雙曲線的兩支
D．方程|z+5i||z5i|=8的圖形是雙曲線靠近焦點(diǎn)F(0，5)的一支
設(shè)復(fù)數(shù)ω＝－＋i，則1＋ω＝
A.–ω　　　　　　　B.ω2　　　　　　　C.　　　　　　　D.
設(shè)復(fù)數(shù)=（ ）
A．–3 B．3 C．－3i D．3i
已知復(fù)數(shù)z與 (z +2)2-8i 均是純虛數(shù),則 z = .

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