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專題5 解三角形
知識點一：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ； ； ．
常見變形 （1），，； （2），，； ； ； ．
（2）面積公式：
（r是三角形內切圓的半徑，并可由此計算R，r．）
知識點二：相關應用
（1）正弦定理的應用
①邊化角，角化邊
②大邊對大角 大角對大邊
③合分比：
（2）內角和定理：
①
同理有：，．
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，內角成等差數列．
重難點題型一：正弦定理的應用
例1．（2024·江西贛州·一模）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根據正弦定理可求的值．
【詳解】∵，
∴由余弦定理可得：,
∴解得：，或（舍去），
∴由正弦定理可得：．
故選:B
例2．（2024高一·全國·專題練習）在中，若，則等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理求解即可.
【詳解】∵，∴，
∵，∴.
故選：B.
例3．（2024·遼寧·一模）在中，，，則外接圓半徑為 .
【答案】
【分析】根據面積公式和數量積的定義可求，根據同角的三角函數基本關系式和正弦定理可求外接圓的半徑.
【詳解】因為，故,
故，故為銳角，故，
故外接圓的半徑為，
故答案為：.
變式訓練1．（23-24高三下·四川雅安·開學考試）的內角，，的對邊分別為，，．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，由正弦定理代入計算，即可得到結果.
【詳解】由正弦定理知，，則．因為，所以．
故選：A
變式訓練2．（2024高二·全國·競賽）在銳角三角形中，邊，，則邊的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】利用二倍角的正弦公式和正弦定理可求的取值范圍.
【詳解】因為，故，
所以，
而三角形為銳角三角形，故，故，
故即，
故答案為：.
變式訓練3．（22-23高二上·河南·階段練習）在中，內角的對邊分別為，有，，，則 .
【答案】
【分析】根據題意，利用余弦定理求得，再由正弦定理，列出方程，即可求解.
【詳解】因為，可得，
又因為，可得，
因為，，由正弦定理，可得，解得.
故答案為：.
重難點題型二：余弦定理的應用
例4．（2024·北京平谷·模擬預測）若的面積為，且為鈍角，則 ；的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由三角形面積公式可得，可求出；再根據為鈍角限定出，利用正弦定理可得，可得其范圍是.
【詳解】根據題意可得面積，
可得，即，
又易知為銳角，可得；
由正弦定理可得，
因為為鈍角，可得，所以；
可得，因此；
故答案為：；；
例5．（23-24高三下·山東·開學考試）已知在中，，則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據余弦定理運算求解.
【詳解】由余弦定理得，
所以．
故選：D．
例6．（2022高三·全國·專題練習）在中，內角的對邊分別為，且．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據給定條件，利用余弦定理求出角A，再利用正弦定理求出角B即可得解.
【詳解】在中，由及余弦定理得，
而，則，又，
由正弦定理得，而，
解得，又，因此，所以.
故選：D
變式訓練4．（2024高三·全國·專題練習）在中，三內角對應的邊分別為，且，則面積的最大值為 ．
【答案】
【分析】利用余弦定理和基本不等式可得的范圍，再由三角形面積公式得解.
【詳解】根據題意由余弦定理可得： ，
即，
所以（當且僅當時等號成立）
∴，（當且僅當時等號成立），
即面積最大值．
故答案為：
變式訓練5．（2024高三·全國·專題練習）在中，角、、對的邊分別為、、．若，，，則角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，由余弦定理代入計算，即可得到結果.
【詳解】由余弦定理可得，，故.
故選：A.
變式訓練6．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）(多選題)已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，滿足，則下列說法正確的有（ ）
A．
B．
C．存在使得
D．存在使得
【答案】ACD
【分析】根據正弦定理的面積公式可得，因式分解即可得出A、B答案；通過假設法即可判斷出C、D選項.
【詳解】因為，則，
即，因為且，所以，，A正確，B錯誤；
假設存在使得，則，即，與題意不沖突，假設成立，C正確；
當時，，即存在使得，D正確.
故選：ACD.
重難點題型三：判斷三角形的形狀
例7．（2024·四川成都·模擬預測）已知的內角A，，所對的邊分別為，，，面積為，若，，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用正弦定理的邊角變換，結合誘導公式與倍角公式求得B；利用面積公式與向量數量積的定義求得A，從而得解
【詳解】因為，所以，
因為，所以，所以，所以；
因為，所以，所以，所以，
所以，所以，
因為，所以，
所以，因為，所以，
所以，則是直角三角形，
故選：B
例8．（2022高三·全國·專題練習）在中，內角所對的邊分別是，，則該三角形的形狀是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根據特殊角的三角函數值求出B，再利用正弦定理邊化角化簡，可得，即可判斷出答案.
【詳解】在中，，由于,
故，
又，故，而，
則，而，則，（舍），
故，即為等邊三角形，
故選：C
變式訓練7．（14-15高一下·福建·階段練習）在中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，若，則此三角形的形狀一定是（ ）
A．等腰直角 B．等腰或直角 C．等腰 D．直角
【答案】B
【分析】利用余弦定理化簡為，根據或判斷三角形形狀即可.
【詳解】因為，所以由余弦定理得，
化簡得，即，
所以或，
即此三角形為等腰三角形或直角三角形.
故選：B
變式訓練8．（2023高一·全國·專題練習）對于，（角所對的邊分別為中的余弦定理是），則下列說法正確的是（ ）
A．若，則一定為等腰三角形
B．若，則一定為等腰三角形
C．若，則
D．若，則一定為銳角三角形
【答案】BD
【分析】根據正弦定理和誘導公式計算即可判斷A；由正弦定理化簡即可判斷B；由余弦定理和基本不等式計算化簡即可判斷C；根據誘導公式和兩角和的正切公式化簡計算即可判斷D.
【詳解】對于A，在中，若，
因為，
則或，所以或，
所以為等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；
對于B，若，
由正弦定理得，所以一定為等腰三角形，故B正確；
對于C，由余弦定理，
得，又，
所以，
即，
即，
又，當且僅當，即時，取等號，
所以的最小值為，所以，所以，
又因，所以，故C錯誤；
對于D，，
所以，
所以，
所以三個數有個或個為負數，
又因為最多一個鈍角，
所以，即都是銳角，
所以一定為銳角三角形，故D正確.
故選：BD.
重難點題型四：正、余弦定理與的綜合
例9．（23-24高三下·重慶·開學考試）在中，內角的對邊分別為，則的值為（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】由題意首先通過三角恒等變換變換得，進一步結合正弦定理即可得解.
【詳解】因為，，
所以，，為外接圓的半徑，
所以.
故選：C.
例10．（2022·全國·模擬預測）在中，角所對的邊分別為.若，，則的最大值為 .
【答案】
【分析】由正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式化簡計算可得.
【詳解】，則，
，
的最大值為.
故答案為：.
變式訓練9．（23-24高二上·河南省直轄縣級單位·階段練習）已知內角A，B，C的對邊為a，b，c，若，，則的形狀是（ ）
A．鈍角三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由余弦定理求得，根據題意和正弦定理可得，即可求解.
【詳解】由，得，
而，又，
所以.
，由正弦定理得，
即，得，
所以或，得或（舍去），
所以，即為等邊三角形.
故選：B
變式訓練10．（2023高三上·全國·專題練習）（多選題）對于，有如下判斷，其中正確的是（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．若，則
C．若，則符合條件的有兩個
D．若，則是鈍角三角形
【答案】ABD
【分析】利用余弦函數單調性判斷A；利用正弦定理推理判斷B；利用余弦定理計算判斷C；利用正余弦定理計算判斷D.
【詳解】對于A，在中，由，得，為等腰三角形，A正確；
對于B，在中，，得，由正弦定理得，B正確；
對于C，在中，由余弦定理得，只有一解，C錯誤；
對于D，在中，由及正弦定理得，
由余弦定理得，則C為鈍角，是鈍角三角形，D正確．
故選：ABD
重難點題型五：解三角形的實際應用
例11．（2024·內蒙古赤峰·模擬預測）為了測量西藏被譽稱為“阿里之巔”岡仁波齊山峰的高度，通常采用人工攀登的方式進行，測量人員從山腳開始，直到到達山頂分段測量過程中，已知豎立在點處的測量覘標高米，攀登者們在處測得，到覘標底點和頂點的仰角分別為，則的高度差約為（ ）
A．7.32米 B．7.07米 C．27.32米 D．30米
【答案】A
【分析】畫出示意圖，結合三角函數的定義和正切展開式求解即可.
【詳解】
模型可簡化為如上圖，在中，，
所以，而，
代入上式并化簡可得米，
故選：A.
例12．（2024高三下·全國·專題練習）鄂州十景之一“二寶塔”中的文星塔位于文星路與南浦路交匯處，至今已有四百六十多年的歷史，該塔為八角五層樓閣式磚木混合結構塔.現在在塔底共線三點、、處分別測塔頂的仰角為、、，且m，則文星塔高為 m.

【答案】
【分析】設建筑物的高為，用表示、、，利用結合余弦定理求出的值，即可得解.
【詳解】如圖所示，設建筑物的高為，

則，，，
由余弦定理可得，
，
因為，故，
即，可得.
故答案為：.
變式訓練11．（2024·湖南·模擬預測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時常在境內停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護單位.為測量來雁塔的高度，因地理條件的限制，分別選擇C點和一建筑物DE的樓頂E為測量觀測點，已知點A為塔底，在水平地面上，來雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測得，在C點處測得E點的仰角為30°，在E點處測得B點的仰角為60°，則來雁塔AB的高度約為（ ）（，精確到）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】現從四棱錐中提取兩個直角三角形和的邊角關系，進而分別解出兩個三角形邊的長，求出來雁塔AB的高度即可.
【詳解】過點作，交于點，
在直角三角形中，因為，
所以，
在直角三角形中，因為，
所以，
則.
故選：B.
變式訓練12．（23-24高一下·山東濱州·開學考試）瀑布是大自然的奇觀，唐代詩人李白曾在《望廬山瀑布》中寫到“日照香爐生紫煙，遙看瀑布掛前川.飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”.某學校高一數學活動小組為了測量瀑布的實際高度，設計了如下測量方案：沿一段水平山道步行至與瀑布底端在同一水平面時，在此位置測得瀑布頂端的仰角正切值為，沿著山道繼續走m，測得瀑布頂端仰角為已知該同學沿山道行進方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成的角為根據該同學的測量數據，可知該瀑布的高度為 ．
【答案】60m
【分析】根據題意畫出圖象，結合題中條件求得，在中，由余弦定理建立方程，解出即可.
【詳解】如圖，設瀑布頂端為，底端為，高為，
該同學第一次測量的位置為,第二次測量的位置為,
則,，
,
所以，
在中，由余弦定理可知：
,
即，
解得，
故答案為：60m.
重難點題型六：三角形中的面積與周長問題
例13．（22-23高二上·全國·期中）已知，，，則的面積是 .
【答案】
【分析】分別求出的三邊長，判斷出是等邊三角形，即可求出面積.
【詳解】由題意得，，，，
則，
是邊長為的等邊三角形，
的面積.
故答案為：.
例14．（2024·全國·一模）在中，，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據余弦定理可求解，由面積公式即可求解.
【詳解】在中，，，，
由余弦定理可得，解得，
所以，
故選：A
例15．（2022高三上·河南·專題練習）已知在中，內角，，所對的邊分別是，若，且，則的面積為（　?。?br/>A．5 B．6 C．10 D．12
【答案】B
【分析】先根據已知條件，把、都用表示出來，利用余弦定理可求出三邊長，判斷得三角形正好是直角三角形，再求三角形得面積.
【詳解】因為，所以，，所以由余弦定理得
，解得（舍去）或，
所以，，所以，所以，
所以的面積為．
故選：B
變式訓練13．（2024·湖北武漢·模擬預測）在中，其內角，，所對的邊分別為，，，若，，，則的面積為 ．
【答案】3
【分析】根據，，，利用余弦定理求得，再利用三角形面積公式求解.
【詳解】解：在中，，，，
由余弦定理得：，
，
解得，
所以，
故答案為：3
變式訓練14．（21-22高二上·遼寧撫順·期末）（多選題）在中，若，，，則的面積可能為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根據余弦定理計算或，再計算面積得到答案.
【詳解】根據余弦定理：，即，解得或，
，故或.
故選：AB
變式訓練15．（2024·福建福州·模擬預測）在中，，則的面積為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根據題意，由余弦定理可得，再由三角形的面積公式即可得到結果.
【詳解】由余弦定理得，
且，所以，
所以．
故選：B
重難點題型七：綜合應用
例16．（23-24高三上·安徽亳州·期末）設的內角的對邊分別為，已知.
(1)求；
(2)若，點在邊上，，且，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理將角化邊，即可得到，再由余弦定理計算可得；
（2）首先由等面積法求出，再由，代入、的值，即可求出，再檢驗即可.
【詳解】（1）因為，
由余弦定理得，
整理得，
所以，
因為，所以.
（2）由題意知，所以，
由（1）的過程可得，
代入的值整理得，解得或.
當時，，此時為鈍角，不符合條件，
當時，，符合條件，所以.
例17．（23-24高三下·廣東佛山·開學考試）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.
(1)求角A；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理邊角關系，結合三角形內角性質得，進而得解；
（2）由余弦定理求得，再利用三角形面積公式即可得解．
【詳解】（1）因為，
由正弦定理，又，
，即，由，得.
（2）由余弦定理知，
即，則，解得（負值舍去），
.
例18．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠A的平分線交BC于點D，且．
(1)求A：
(2)若，的周長為15，求AD的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）正弦定理邊化角結合兩角和的正弦公式求解即可；
（2）由余弦定理得，再利用等面積結合角分線性質得.
【詳解】（1）因為，利用正弦定理可得：
，
即．
因為，所以，即，
又，可得．
（2）因為，，所以．
在中，由余弦定理可得：，所以．
又因為為角A的平分線，所以，
所以，
即，所以．
變式訓練16．（2024·寧夏銀川·一模）在中，角的對邊分別為，且.
(1)求角：
(2)若，角的平分線交于點，且滿足，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意結合正弦定理、三角恒等變換分析求解；
（2）由角平分線性質可得，利用余弦定理解得，，結合面積公式運算求解.
【詳解】（1）因為，整理得，
由正弦定理可得：，
且，則，可得，
即，且，可得.
（2）因為為角的角平分線，則，即，
由余弦定理可得，即，
解得或（舍去），則，
所以的面積.
變式訓練17．（23-24高三下·北京海淀·開學考試）如圖，在平面四邊形中，，，，.

(1)求線段的長度；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據三角形面積公式求出，再利用余弦定理求出線段的長度.
（2）在中，中利用正弦定理，通過，可以求出的值.
【詳解】（1）因為，
得，在中，由余弦定理可得：
，
.
故線段的長度.
（2）由（1）知，，
在中，由正弦定理可得：,
即， 得，
又，所以,
在中，由正弦定理可得：,
即， .
所以的值為.
變式訓練18．（2024·浙江·一模）在中，內角所對的邊分別是，已知．
(1)求角；
(2)設邊的中點為，若，且的面積為，求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據正弦定理和題中所給式子化簡計算得到，再結合余弦定理即可求出角；
（2）根據三角形面積公式得到和，再結合中線向量公式計算即可.
【詳解】（1）在中，由正弦定理得，，
因為，所以，
化簡得，，
在中，由余弦定理得，，
又因為，所以
（2）由，得，
由，得，所以．
又因為邊的中點為，所以，
所以
1．（2024高一·全國·專題練習）在中，角的對邊分別為，且，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由，求出三個角，進而可得各角正弦值，再由正弦定理，即可得出結果.
【詳解】在中，,所以，
由正弦定理可得：，
故選:D.
2．（23-24高三下·江蘇南通·開學考試）記的內角A，B的對邊分別為a，b，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】結合充要條件的性質、正弦定理、二倍角的正弦公式計算即可得.
【詳解】當時，由正弦定理可得，
又，在中，，
故，
即，故“”是“”的充分條件；
當時，例如，，，，
有，符合題意，但，
故“”不是“”的必要條件；
故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
3．（23-24高一下·河北石家莊·開學考試）已知角A，B，C是三角形ABC的三個內角，下列結論一定成立的有（ ）
A． B．
C．若，則 D．若，則
【答案】ACD
【分析】根據三角形內角和定理、誘導公式、正弦定理等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，，選項A正確；
B選項，，選項B錯誤；
在中，由正弦定理得，故C和D正確.
故選：ACD
4．（23-24高三上·安徽合肥·階段練習）已知中，其內角的對邊分別為，下列命題正確的有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則為等腰三角形
D．若，則為等腰三角形
【答案】ABD
【分析】A用三角函數單調性來判斷，B用正弦定理結合大邊對大角小邊對小角來判斷，C用正弦曲線內角和定理結合誘導公式來判斷，D用內角和定理結合余弦曲線判斷.
【詳解】對于A.因在上單調遞減，且，故A正確；
對于B.由正弦定理以及三角形中大邊對大角，
所以若，則，則，故B正確；
對于C.，且為三角形內角，所以或者，
所以為等腰三角形或者直角三角形，故C錯誤；
對于D.，則，即，所以為等腰三角形，故D正確.
故選：ABD.
5．（2024高一下·全國·專題練習）的內角A，B，C的對邊分別為，已知，，，則 ．
【答案】
【分析】根據余弦定理求得，進而求得．
【詳解】由余弦定理，，
因為，所以，
即，解得（舍），
所以，．
故答案為：
6．（2024高三·江蘇·專題練習）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則角B= ；若，D為的中點，求線段長度的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】第一空：由正弦定理邊化角以及輔助角公式即可得解；第二空：由余弦定理得，結合向量可得，由基本不等式即可得解.
【詳解】因為，
所以，則，
即，所以，
又，則，所以，即，
由，得，所以，所以；
因為，所以，
因為D為AC的中點，所以，則，
由基本不等式得，等號成立當且僅當，
所以，.
故答案為：；.
7．（23-24高三上·浙江寧波·期末）在中，內角所對的邊分別為．已知．
(1)求A的大小；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出；
（2）由同角三角函數關系得到，由正弦定理得到，求出，利用三角形面積公式求出答案.
【詳解】（1）由，結合正弦定理，
得，
即，
即，
即，
因為，所以，即．
（2）因為，所以．
利用正弦定理得．
而，
故的面積為．專題5 解三角形
知識點一：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ； ； ．
常見變形 （1），，； （2），，； ； ； ．
（2）面積公式：
（r是三角形內切圓的半徑，并可由此計算R，r．）
知識點二：相關應用
（1）正弦定理的應用
①邊化角，角化邊
②大邊對大角 大角對大邊
③合分比：
（2）內角和定理：
①
同理有：，．
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，內角成等差數列．
重難點題型一：正弦定理的應用
例1．（2024·江西贛州·一模）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024高一·全國·專題練習）在中，若，則等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
例3．（2024·遼寧·一模）在中，，，則外接圓半徑為 .
變式訓練1．（23-24高三下·四川雅安·開學考試）的內角，，的對邊分別為，，．已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
變式訓練2．（2024高二·全國·競賽）在銳角三角形中，邊，，則邊的取值范圍是 ．
變式訓練3．（22-23高二上·河南·階段練習）在中，內角的對邊分別為，有，，，則 .
重難點題型二：余弦定理的應用
例4．（2024·北京平谷·模擬預測）若的面積為，且為鈍角，則 ；的取值范圍是 ．
例5．（23-24高三下·山東·開學考試）已知在中，，則（ ）
A．1 B． C． D．
例6．（2022高三·全國·專題練習）在中，內角的對邊分別為，且．若，則（ ）
A． B． C． D．
變式訓練4．（2024高三·全國·專題練習）在中，三內角對應的邊分別為，且，則面積的最大值為 ．
變式訓練5．（2024高三·全國·專題練習）在中，角、、對的邊分別為、、．若，，，則角等于（ ）
A． B． C． D．
變式訓練6．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）(多選題)已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，滿足，則下列說法正確的有（ ）
A．
B．
C．存在使得
D．存在使得
重難點題型三：判斷三角形的形狀
例7．（2024·四川成都·模擬預測）已知的內角A，，所對的邊分別為，，，面積為，若，，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
例8．（2022高三·全國·專題練習）在中，內角所對的邊分別是，，則該三角形的形狀是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
變式訓練7．（14-15高一下·福建·階段練習）在中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，若，則此三角形的形狀一定是（ ）
A．等腰直角 B．等腰或直角 C．等腰 D．直角
變式訓練8．（2023高一·全國·專題練習）對于，（角所對的邊分別為中的余弦定理是），則下列說法正確的是（ ）
A．若，則一定為等腰三角形
B．若，則一定為等腰三角形
C．若，則
D．若，則一定為銳角三角形
重難點題型四：正、余弦定理與的綜合
例9．（23-24高三下·重慶·開學考試）在中，內角的對邊分別為，則的值為（ ）
A． B． C． D．3
例10．（2022·全國·模擬預測）在中，角所對的邊分別為.若，，則的最大值為 .
變式訓練9．（23-24高二上·河南省直轄縣級單位·階段練習）已知內角A，B，C的對邊為a，b，c，若，，則的形狀是（ ）
A．鈍角三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
變式訓練10．（2023高三上·全國·專題練習）（多選題）對于，有如下判斷，其中正確的是（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．若，則
C．若，則符合條件的有兩個
D．若，則是鈍角三角形
重難點題型五：解三角形的實際應用
例11．（2024·內蒙古赤峰·模擬預測）為了測量西藏被譽稱為“阿里之巔”岡仁波齊山峰的高度，通常采用人工攀登的方式進行，測量人員從山腳開始，直到到達山頂分段測量過程中，已知豎立在點處的測量覘標高米，攀登者們在處測得，到覘標底點和頂點的仰角分別為，則的高度差約為（ ）
A．7.32米 B．7.07米 C．27.32米 D．30米
例12．（2024高三下·全國·專題練習）鄂州十景之一“二寶塔”中的文星塔位于文星路與南浦路交匯處，至今已有四百六十多年的歷史，該塔為八角五層樓閣式磚木混合結構塔.現在在塔底共線三點、、處分別測塔頂的仰角為、、，且m，則文星塔高為 m.

變式訓練11．（2024·湖南·模擬預測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時常在境內停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護單位.為測量來雁塔的高度，因地理條件的限制，分別選擇C點和一建筑物DE的樓頂E為測量觀測點，已知點A為塔底，在水平地面上，來雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測得，在C點處測得E點的仰角為30°，在E點處測得B點的仰角為60°，則來雁塔AB的高度約為（ ）（，精確到）
A． B． C． D．
變式訓練12．（23-24高一下·山東濱州·開學考試）瀑布是大自然的奇觀，唐代詩人李白曾在《望廬山瀑布》中寫到“日照香爐生紫煙，遙看瀑布掛前川.飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”.某學校高一數學活動小組為了測量瀑布的實際高度，設計了如下測量方案：沿一段水平山道步行至與瀑布底端在同一水平面時，在此位置測得瀑布頂端的仰角正切值為，沿著山道繼續走m，測得瀑布頂端仰角為已知該同學沿山道行進方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成的角為根據該同學的測量數據，可知該瀑布的高度為 ．
重難點題型六：三角形中的面積與周長問題
例13．（22-23高二上·全國·期中）已知，，，則的面積是 .
例14．（2024·全國·一模）在中，，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
例15．（2022高三上·河南·專題練習）已知在中，內角，，所對的邊分別是，若，且，則的面積為（　　）
A．5 B．6 C．10 D．12
變式訓練13．（2024·湖北武漢·模擬預測）在中，其內角，，所對的邊分別為，，，若，，，則的面積為 ．
變式訓練14．（21-22高二上·遼寧撫順·期末）（多選題）在中，若，，，則的面積可能為（ ）.
A． B． C． D．
變式訓練15．（2024·福建福州·模擬預測）在中，，則的面積為（ ）
A．2 B． C．4 D．
重難點題型七：綜合應用
例16．（23-24高三上·安徽亳州·期末）設的內角的對邊分別為，已知.
(1)求；
(2)若，點在邊上，，且，求.
例17．（23-24高三下·廣東佛山·開學考試）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.
(1)求角A；
(2)若，求的面積．
例18．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠A的平分線交BC于點D，且．
(1)求A：
(2)若，的周長為15，求AD的長．
變式訓練16．（2024·寧夏銀川·一模）在中，角的對邊分別為，且.
(1)求角：
(2)若，角的平分線交于點，且滿足，求的面積.
變式訓練17．（23-24高三下·北京海淀·開學考試）如圖，在平面四邊形中，，，，.

(1)求線段的長度；
(2)求的值.
變式訓練18．（2024·浙江·一模）在中，內角所對的邊分別是，已知．
(1)求角；
(2)設邊的中點為，若，且的面積為，求的長．
1．（2024高一·全國·專題練習）在中，角的對邊分別為，且，則等于（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三下·江蘇南通·開學考試）記的內角A，B的對邊分別為a，b，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（23-24高一下·河北石家莊·開學考試）已知角A，B，C是三角形ABC的三個內角，下列結論一定成立的有（ ）
A． B．
C．若，則 D．若，則
4．（23-24高三上·安徽合肥·階段練習）已知中，其內角的對邊分別為，下列命題正確的有（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則為等腰三角形
D．若，則為等腰三角形
5．（2024高一下·全國·專題練習）的內角A，B，C的對邊分別為，已知，，，則 ．
6．（2024高三·江蘇·專題練習）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則角B= ；若，D為的中點，求線段長度的取值范圍為 ．
7．（23-24高三上·浙江寧波·期末）在中，內角所對的邊分別為．已知．
(1)求A的大?。?br/>(2)若，求的面積．

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