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專題6 復數
知識點一、復數的概念
（1）叫虛數單位，滿足，當時，．
（2）形如的數叫復數，記作．
①復數與復平面上的點一一對應，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數；且，z叫純虛數，純虛數對應點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數的復數互為共軛復數．
②兩個復數相等（兩復數對應同一點）
③復數的模：復數的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．
知識點二、復數的加、減、乘、除的運算法則
1、復數運算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共軛復數．
（3）．
實數的全部運算律（加法和乘法的交換律、結合律、分配律及整數指數冪運算法則）都適用于復數．
注意：復數加、減法的幾何意義
以復數分別對應的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是復數所對應的向量．對應的向量是．
2、復數的幾何意義
（1）復數對應平面內的點；
（2）復數對應平面向量；
（3）復平面內實軸上的點表示實數，除原點外虛軸上的點表示虛數，各象限內的點都表示復數．
（4）復數的模表示復平面內的點到原點的距離．
3、復數的三角形式
（1）復數的三角表示式
一般地，任何一個復數都可以表示成形式，其中是復數的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角．叫做復數的三角表示式，簡稱三角形式．
（2）輻角的主值
任何一個不為零的復數的輻角有無限多個值，且這些值相差的整數倍．規定在范圍內的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復數的代數形式可以轉化為三角形式，三角形式也可以轉化為代數形式．
（3）三角形式下的兩個復數相等
兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等．
（4）復數三角形式的乘法運算
①兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和，即
．
②復數乘法運算的三角表示的幾何意義
復數對應的向量為，把向量繞點按逆時針方向旋轉角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉角），再把它的模變為原來的倍，得到向量，表示的復數就是積．
（5）復數三角形式的除法運算
兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差，即．
重難點題型一：復數的概念
例1．（2024上·云南大理·高二統考期末）已知復數，則的虛部為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由復數虛部的概念即可得解.
【詳解】由題意復數的虛部為.
故選：C.
例2．（2024·陜西咸陽·校考模擬預測）已知復數是純虛數，則實數的值為（ ）
A． B．1或6 C． D．1
【答案】D
【分析】根據實部為零，虛部不為零列式計算.
【詳解】由題意可得：且，則.
故選：D.
例3．（2023·上海崇明·統考一模）若復數（為虛數單位）是純虛數，則實數m的值為 ．
【答案】2
【分析】由復數的概念列方程組求解即可.
【詳解】由于復數（為虛數單位）是純虛數，所以，
解得，
故答案為：2.
例4．（2023上·北京海淀·高三中央民族大學附屬中學校考階段練習）復數的虛部是（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】根據復數的虛部的定義即可得解.
【詳解】復數的虛部是.
故選：D.
重難點題型二：復數的加法與減法
例5．（2024上·內蒙古錫林郭勒盟·高三統考期末）復數，，其中，為實數，若為實數，為純虛數，則（ ）
A． B． C．6 D．7
【答案】A
【分析】由復數運算和分類可解.
【詳解】由題意，，
因為為實數，為純虛數，
所以，得，
所以.
故選：A.
例6.（2023下·西藏林芝·高二校考期末）若復數，則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據復數加法的運算法則，準確計算，即可求解.
【詳解】由復數，則.
故選：A.
例7.（2023下·四川成都·高二校聯考期中） .
【答案】#
【分析】由復數的減法運算可得答案.
【詳解】.
故答案為：．
例8.（2023·北京·高三統考學業考試）已知復數，，則 ．
【答案】/
【分析】利用復數的加法法則即可求解.
【詳解】因為，，
所以.
故答案為：.
重難點題型三：復數的乘法與除法
例9．（2024下·河北張家口·高三河北省尚義縣第一中學校聯考開學考試）已知復數，則為（ ）
A．i B． C．7 D．1
【答案】B
【分析】根據復數的乘法和除法法則，求得，以及其共軛復數，進而作差求解即可.
【詳解】，，．
故選：B．
例10．（2024下·陜西安康·高三統考開學考試）已知復數，則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由復數除法運算法則結合共軛復數概念可得答案.
【詳解】，則.
故選：B
例11．（2024上·天津·高三校聯考期末）設，則的共軛復數為 ．
【答案】
【分析】由復數的運算化簡z,再求共軛復數.
【詳解】因為
故.
故答案為：.
例12．（2024·浙江臺州·統考一模）若（為虛數單位），則 ．
【答案】/
【分析】根據復數模的計算公式計算可得.
【詳解】因為，所以.
故答案為：
重難點題型四：復數的幾何意義
例13．（2023下·湖南邵陽·高一統考期末）實數時，復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先將復數化為一般形式，結合的范圍判斷出實部和虛部的符號，從而得到答案.
【詳解】
又，故
故該復數在復平面內對應的點位于第一象限.
故選：
例14．（2024下·安徽·高三校聯考階段練習）復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根據復數的除法運算求得得答案.
【詳解】，所以復數在復平面內對應的點位于第二象限.
故選：B
例15．（2022下·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）若復數z滿足，則復數z在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡，從而得到的坐標，由此得解.
【詳解】因為，
所以，
則復數的在復平面內對應的點的坐標為，位于第四象限.
故選：D.
例16．（2023下·天津濱海新·高一大港一中校考階段練習）若復數z滿足，則z的虛部是
【答案】
【分析】應用復數的減法運算求復數，即可確定其虛部.
【詳解】由題設，故虛部為.
故答案為：
重難點題型五：復數的共軛復數
例17．（2022上·河南·高三專題練習）設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用復數的除法運算，先求復數，再求它的共軛復數.
【詳解】因為，所以．
故選：D
例18．16．（2024上·浙江寧波·高三統考期末）設為虛數單位，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據復數的除法運算求，進而可得共軛復數.
【詳解】由題意可得：，
所以.
故選：D.
例19．（2024上·云南·高三校聯考階段練習）（多選題）若復數，則（ ）
A．的共軛復數 B．
C．復數的虛部為 D．復數在復平面內對應的點在第四象限
【答案】ABD
【分析】首先化簡復數，再根據復數的相關概念，即可判斷選項.
【詳解】，則，故正確；
，故正確；復數的虛部為，故錯誤；
復數在復平面內對應的點為，在第四象限，故正確.
故選：ABD
例20．（2023·全國·模擬預測）若復數，則（ ）
A．5 B． C．25 D．
【答案】A
【分析】由共軛復數的定義和復數的減法，先求出，再利用模長公式計算.
【詳解】由，有，則，
所以，
故選：A．
重難點題型六：復數的模
例21．（2023下·甘肅臨夏·高一統考期末）已知復數，則 ．
【答案】
【分析】根據復數的加法、復數的模計算即可.
【詳解】，
，
.
故答案為：
例22．（2021下·陜西渭南·高二校考階段練習）設復數，滿足，則 .
【答案】2
【分析】設，，，根據復數模的計算公式計算可得．
【詳解】設，，，由已知得：
，，，
則，
，
則
故答案為：．
例23．（2024上·河南南陽·高三方城第一高級中學校聯考期末）若復數，則
【答案】
【分析】先求出復數，再求出求從而可求解.
【詳解】因為，所以．
故答案為：.
例24．（2023下·上海閔行·高一統考期末）若復數，則 .
【答案】
【分析】先求，再根據復數的模長的定義直接進行計算即可.
【詳解】∵復數，則，∴.
故答案為：.
重難點題型七：復數的三角形式
例25．（2022下·上海閔行·高一上海市七寶中學校考期末）將復數化為三角形式： ．
【答案】
【分析】根據復數的三角表示的定義計算即可.
【詳解】解：復數中，，設為復數的輻角主值，
又
所以.
故答案為：.
例26．（2023下·廣東廣州·高一校考期中）歐拉公式（其中為虛數單位，）將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論中占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋.依據歐拉公式，則（ ）
A． B．為實數
C． D．復數對應的點位于第三象限
【答案】C
【分析】利用復數的歐拉公式可判斷AB選項；利用歐拉公式以及復數的除法化簡復數，結合復數的模長公式可判斷C選項；利用歐拉公式以及復數的幾何意義可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，，A錯；
對于B選項，為純虛數，B錯；
對于C選項，因為，
因此，，C對；
對于D選項，，則，，
所以，復數在復平面內對應的點位于第二象限，D錯.
故選：C.
重難點題型八：復數的綜合問題
例27．（2024上·江西宜春·高三上高二中校考階段練習）（多選題）設為復數，則下列命題中正確的是（ ）
A． B．若，則復平面內對應的點位于第二象限
C． D．若，則的最大值為2
【答案】ABD
【分析】利用復數的四則運算，復數模的性質逐個選項分析即可.
【詳解】對于A，設，故，則，，故成立，故A正確，
對于B，，，顯然復平面內對應的點位于第二象限，故B正確，
對于C，易知，，當時，，故C錯誤，
對于D，若，則，而，易得當時，最大，此時，故D正確.
故選：ABD
例28．（2022上·湖南長沙·高一周南中學校考期末）（多選題）已知i為虛數單位， ， .則下列選項中正確的有（　　）
A．
B．
C．
D．在復數范圍內為方程的根
【答案】ABD
【分析】對于A，結合復數模公式即可判斷；對于B，結合共軛復數的定義即可判斷；對于C，結合虛數不能比較大小即可判斷；對于D，求解方程的根即可判斷．
【詳解】對于A：∵ ， .
∴，故A正確.
對于B： ，故B正確.
對于C：虛數不能比較大小，故C錯誤.
對于D：由求根公式可知的兩個根為 ， ，D正確．
故選：ABD．
重難點題型九：復數的最值問題
例29．（2023下·河南鄭州·高一校聯考期中）已知復數z滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】設復數在復平面內對應的點為，由復數的幾何意義可知點的軌跡為，則問題轉化為上的動點到定點距離的最小值，從而即可求解．
【詳解】設復數在復平面內對應的點為，
因為復數滿足，
所以由復數的幾何意義可知，點到點和的距離相等，
所以在復平面內點的軌跡為，
又表示點到點的距離，
所以問題轉化為上的動點到定點距離的最小值，
當為時，到定點的距離最小，最小值為1，
所以的最小值為1，
故選：A．
例30．（2017·北京·高三強基計劃）已知復數z滿足是實數，則的最小值等于（ ）
A． B． C．1 D．前三個答案都不對
【答案】D
【分析】利用復數的三角形式可求復數的模為或幅角為0，故可求的最小值.
【詳解】設z的模為r，輻角為，則，
因此或．
情形一 當時，z所表示的點在實軸上運動，；
情形二 當時，z所表示的點在圓上運動，進而的模的最小值為．
故所求的最小值是．
故選：D
例31．（2022下·福建三明·高一三明一中校考階段練習）已知設，則，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】先求得復數實部與虛部的關系，再去求的最小值即可解決.
【詳解】由，可得，可令，
則
（為銳角，且）
由，可得
則的最小值為3.
故選：A
例32．（2022·高一課時練習）在復平面內，為原點，若點對應的復數滿足，則點的集合構成的圖形是（ ）
A．直線 B．線段 C．圓 D．單位圓以及圓的內部
【答案】D
【分析】根據復數的幾何意義確定點的軌跡即可.
【詳解】設點的坐標為，則點對應的復數為，
因為，由復數的幾何意義可知，，
所以點的軌跡為以原點為圓心，為半徑的圓及其內部，
即點的軌跡為單位圓以及圓的內部.
故選：D
1．（2024上·內蒙古錫林郭勒盟·高三統考期末）復數，，其中，為實數，若為實數，為純虛數，則（ ）
A． B． C．6 D．7
【答案】A
【分析】由復數運算和分類可解.
【詳解】由題意，，
因為為實數，為純虛數，
所以，得，
所以.
故選：A.
2．（2023·全國·模擬預測）已知復數的共軛復數是，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設，然后代入化簡，再結合復數相等的條件可求出，從而可求出復數.
【詳解】設，則，
所以，即，
所以， 解得，
因此，
故選：C．
3．（2023下·陜西商洛·高一統考期末）若復數，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據復數的減法運算，即可得答案.
【詳解】因為 ，，所以，
故選：A
4．（2024上·河北邢臺·高三統考期末）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由復數四則運算以及共軛復數的概念即可得解.
【詳解】因為，所以.
故選：C.
5．（2024上·山東日照·高二統考期末）已知復數滿足（其中是虛數單位），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用復數的除法化簡可化簡復數.
【詳解】因為，則.
故選：B.
6．（2023上·遼寧·高三遼寧實驗中學校考期中）歐拉公式（其中為虛數單位，），是由瑞士著名數學家歐拉創立的，公式將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數的數的關聯，在復變函數論里面占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋.依據歐拉公式，的共軛復數為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接計算得到，再計算共軛復數得到答案.
【詳解】，故.
故選：A.
7．（2024上·云南德宏·高三統考期末）（多選題）已知是復數的共軛復數，則下列說法正確的是（ ）
A． B．若，則
C． D．若，則的最小值為1
【答案】CD
【分析】結合復數的四則運算，共軛復數的定義及復數模長的公式可判斷A；結合特殊值法可判斷B；結合復數模長的性質可判斷C；結合復數的幾何意義可判斷D.
【詳解】對于A，設，則，但，故A錯誤；
對于B，令，滿足，故B錯誤；
對于C，設，則所以，則，所以，故C正確；
對于D，設，則，
即，表示以為圓心，半徑為1的圓，
表示圓上的點到的距離，故的最小值為，故D正確.
故選：CD
8．（2023下·河北張家口·高一河北省尚義縣第一中學校考階段練習）已知復數滿足，則 .
【答案】
【分析】根據的兩個方程，消去即可.
【詳解】由題意得，所以.
故答案為：
9．（2023下·河北唐山·高一校聯考期中）若復數，，，其中，為實數，則 .
【答案】
【分析】先根據，其中，為實數，利用復數相等求得x，y求解.
【詳解】解：因為數，，，其中，為實數，
所以，解得 ，
則，，
所以，
故答案為：
10．（2022·全國·高三專題練習）若復數滿足，則 ．
【答案】
【分析】利用復數的除法運算即可得解.
【詳解】因為，
所以.
故答案為：.
11．（2024上·全國·高三統考競賽）設，則 ．
【答案】10
【分析】由復數四則運算以及模的運算公式即可求解.
【詳解】由題意，所以.
故答案為：10.
12．（2024上·天津南開·高三南開中學校考階段練習）已知是虛數單位，復數 ．
【答案】
【分析】根據復數的除法運算法則化簡求解即可.
【詳解】.
故答案為：.
13．（2024上·天津和平·高三統考期末）為虛數單位，復數滿足，則的虛部為 ．
【答案】
【分析】根據復數的乘除法運算法則進行運算，繼而可得到答案.
【詳解】因為，
所以，
所以復數的虛部為，
故答案為：.
14．（2023·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）若復數z滿足（i為虛數單位），則 ．
【答案】
【分析】根據復數除法運算結合復數模的公式即可得到答案.
【詳解】由題意得，
則，
故答案為：.
15．（2023上·福建莆田·高二莆田第五中學校考階段練習）已知復數(為虛數單位)，則的模等于 .
【答案】
【分析】根據的運算性質以及復數的乘法運算法則求解出，然后根據模長公式求解出結果.
【詳解】因為，
所以，
故答案為：.
16．（2021·高一課時練習）復數的三角形式是 ．
【答案】
【分析】直接利用輔助角公式計算得到答案.
【詳解】.
故答案為：.
17．（2022下·上海虹口·高一校考期末）在復平面中，已知點，復數對應的點分別為，且滿足，則的最大值為 .
【答案】
【分析】根據復數的幾何意義，由，分析得關于原點對稱，所以確定，再利用平面向量的三角形法則與數量積的運算性質，將所求問題轉化為平面向量數量積的最值問題.
【詳解】解：因為復數對應的點為
且則可確定點在以O為圓心，2為半徑的圓上
又，所以為圓的直徑，即關于原點對稱
所以
因為
所以
又，，
則
所以
即的最大值為，所以的最大值為.
故答案為：.專題6 復數
知識點一、復數的概念
（1）叫虛數單位，滿足，當時，．
（2）形如的數叫復數，記作．
①復數與復平面上的點一一對應，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數；且，z叫純虛數，純虛數對應點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數的復數互為共軛復數．
②兩個復數相等（兩復數對應同一點）
③復數的模：復數的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．
知識點二、復數的加、減、乘、除的運算法則
1、復數運算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共軛復數．
（3）．
實數的全部運算律（加法和乘法的交換律、結合律、分配律及整數指數冪運算法則）都適用于復數．
注意：復數加、減法的幾何意義
以復數分別對應的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是復數所對應的向量．對應的向量是．
2、復數的幾何意義
（1）復數對應平面內的點；
（2）復數對應平面向量；
（3）復平面內實軸上的點表示實數，除原點外虛軸上的點表示虛數，各象限內的點都表示復數．
（4）復數的模表示復平面內的點到原點的距離．
3、復數的三角形式
（1）復數的三角表示式
一般地，任何一個復數都可以表示成形式，其中是復數的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角．叫做復數的三角表示式，簡稱三角形式．
（2）輻角的主值
任何一個不為零的復數的輻角有無限多個值，且這些值相差的整數倍．規定在范圍內的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復數的代數形式可以轉化為三角形式，三角形式也可以轉化為代數形式．
（3）三角形式下的兩個復數相等
兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等．
（4）復數三角形式的乘法運算
①兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和，即
．
②復數乘法運算的三角表示的幾何意義
復數對應的向量為，把向量繞點按逆時針方向旋轉角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉角），再把它的模變為原來的倍，得到向量，表示的復數就是積．
（5）復數三角形式的除法運算
兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差，即．
重難點題型一：復數的概念
例1．（2024上·云南大理·高二統考期末）已知復數，則的虛部為（ ）
A．1 B． C． D．
、
例2．（2024·陜西咸陽·校考模擬預測）已知復數是純虛數，則實數的值為（ ）
A． B．1或6 C． D．1
例3．（2023·上海崇明·統考一模）若復數（為虛數單位）是純虛數，則實數m的值為 ．
例4．（2023上·北京海淀·高三中央民族大學附屬中學校考階段練習）復數的虛部是（ ）
A．1 B． C．3 D．
重難點題型二：復數的加法與減法
例5．（2024上·內蒙古錫林郭勒盟·高三統考期末）復數，，其中，為實數，若為實數，為純虛數，則（ ）
A． B． C．6 D．7
例6.（2023下·西藏林芝·高二校考期末）若復數，則 （ ）
A． B． C． D．
例7.（2023下·四川成都·高二校聯考期中） .
例8.（2023·北京·高三統考學業考試）已知復數，，則 ．
重難點題型三：復數的乘法與除法
例9．（2024下·河北張家口·高三河北省尚義縣第一中學校聯考開學考試）已知復數，則為（ ）
A．i B． C．7 D．1
例10．（2024下·陜西安康·高三統考開學考試）已知復數，則 （ ）
A． B． C． D．
例11．（2024上·天津·高三校聯考期末）設，則的共軛復數為 ．
例12．（2024·浙江臺州·統考一模）若（為虛數單位），則 ．
重難點題型四：復數的幾何意義
例13．（2023下·湖南邵陽·高一統考期末）實數時，復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例14．（2024下·安徽·高三校聯考階段練習）復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例15．（2022下·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）若復數z滿足，則復數z在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例16．（2023下·天津濱海新·高一大港一中校考階段練習）若復數z滿足，則z的虛部是
重難點題型五：復數的共軛復數
例17．（2022上·河南·高三專題練習）設，則（ ）
A． B． C． D．
例18．16．（2024上·浙江寧波·高三統考期末）設為虛數單位，且，則（ ）
A． B． C． D．
例19．（2024上·云南·高三校聯考階段練習）（多選題）若復數，則（ ）
A．的共軛復數 B．
C．復數的虛部為 D．復數在復平面內對應的點在第四象限
例20．（2023·全國·模擬預測）若復數，則（ ）
A．5 B． C．25 D．
重難點題型六：復數的模
例21．（2023下·甘肅臨夏·高一統考期末）已知復數，則 ．
例22．（2021下·陜西渭南·高二校考階段練習）設復數，滿足，則 .
例23．（2024上·河南南陽·高三方城第一高級中學校聯考期末）若復數，則
例24．（2023下·上海閔行·高一統考期末）若復數，則 .
重難點題型七：復數的三角形式
例25．（2022下·上海閔行·高一上海市七寶中學校考期末）將復數化為三角形式： ．
例26．（2023下·廣東廣州·高一校考期中）歐拉公式（其中為虛數單位，）將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數函數的關聯，在復變函數論中占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋.依據歐拉公式，則（ ）
A． B．為實數
C． D．復數對應的點位于第三象限
重難點題型八：復數的綜合問題
例27．（2024上·江西宜春·高三上高二中校考階段練習）（多選題）設為復數，則下列命題中正確的是（ ）
A． B．若，則復平面內對應的點位于第二象限
C． D．若，則的最大值為2
例28．（2022上·湖南長沙·高一周南中學校考期末）（多選題）已知i為虛數單位， ， .則下列選項中正確的有（　　）
A．
B．
C．
D．在復數范圍內為方程的根
重難點題型九：復數的最值問題
例29．（2023下·河南鄭州·高一校聯考期中）已知復數z滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B．3 C． D．
例30．（2017·北京·高三強基計劃）已知復數z滿足是實數，則的最小值等于（ ）
A． B． C．1 D．前三個答案都不對
例31．（2022下·福建三明·高一三明一中校考階段練習）已知設，則，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例32．（2022·高一課時練習）在復平面內，為原點，若點對應的復數滿足，則點的集合構成的圖形是（ ）
A．直線 B．線段 C．圓 D．單位圓以及圓的內部
1．（2024上·內蒙古錫林郭勒盟·高三統考期末）復數，，其中，為實數，若為實數，為純虛數，則（ ）
A． B． C．6 D．7
2．（2023·全國·模擬預測）已知復數的共軛復數是，若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·陜西商洛·高一統考期末）若復數，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2024上·河北邢臺·高三統考期末）若，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·山東日照·高二統考期末）已知復數滿足（其中是虛數單位），則（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·遼寧·高三遼寧實驗中學校考期中）歐拉公式（其中為虛數單位，），是由瑞士著名數學家歐拉創立的，公式將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數與指數的數的關聯，在復變函數論里面占有非常重要的地位，被譽為數學中的天橋.依據歐拉公式，的共軛復數為（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024上·云南德宏·高三統考期末）（多選題）已知是復數的共軛復數，則下列說法正確的是（ ）
A． B．若，則
C． D．若，則的最小值為1
8．（2023下·河北張家口·高一河北省尚義縣第一中學校考階段練習）已知復數滿足，則 .
9．（2023下·河北唐山·高一校聯考期中）若復數，，，其中，為實數，則 .
10．（2022·全國·高三專題練習）若復數滿足，則 ．
11．（2024上·全國·高三統考競賽）設，則 ．
12．（2024上·天津南開·高三南開中學校考階段練習）已知是虛數單位，復數 ．
13．（2024上·天津和平·高三統考期末）為虛數單位，復數滿足，則的虛部為 ．
14．（2023·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測）若復數z滿足（i為虛數單位），則 ．
15．（2023上·福建莆田·高二莆田第五中學校考階段練習）已知復數(為虛數單位)，則的模等于 .
16．（2021·高一課時練習）復數的三角形式是 ．
17．（2022下·上海虹口·高一校考期末）在復平面中，已知點，復數對應的點分別為，且滿足，則的最大值為 .

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