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專題8 空間點、直線與平面之間的位置關系
知識點一．四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．
注意：（1）此公理是判定直線在平面內的依據；（2）此公理是判定點在面內的方法
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
注意：（1）此公理是確定一個平面的依據；（2）此公理是判定若干點共面的依據
推論①：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；
注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據
（2）此推論是判定若干平面重合的依據
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據
推論②：經過兩條相交直線，有且只有一個平面；
推論③：經過兩條平行直線，有且只有一個平面；
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據
（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據（比如證明三點共線、三線共點）
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
知識點二．直線與直線的位置關系
位置關系 相交（共面） 平行（共面） 異面
圖形
符號 a∥b
公共點個數 1 0 0
特征 兩條相交直線確定一個平面 兩條平行直線確定一個平面 兩條異面直線不同在如何一個平面內
知識點三．直線與平面的位置關系：有直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況．
位置關系 包含（面內線） 相交（面外線） 平行（面外線）
圖形
符號 ∥
公共點個數 無數個 1 0
知識點四．平面與平面的位置關系：有平行、相交兩種情況．
位置關系 平行 相交（但不垂直） 垂直
圖形
符號 ∥ ，
公共點個數 0 無數個公共點且都在唯一的一條直線上 無數個公共點且都在唯一的一條直線上
重難點題型一：直線與直線的位置關系
例1．（2021·高一課時練習）以下四個結論：
①若，則為異面直線；
②若，則為異面直線；
③沒有公共點的兩條直線是平行直線；
④兩條不平行的直線就一定相交．
其中正確答案的個數是（　　）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】A
【分析】分別根據題設條件結合空間兩直線的位置關系的判定方法，以及異面直線的定義，逐項判定，即可求解．
【詳解】對于①中，若滿足的直線可能是異面直線，可能是平行直線也可能是相交直線，所以①錯誤．
對于②中，根據直線和平面的位置關系可知，平面內的直線和平面外的直線，可能是異面直線，可能是平行直線，也可能相交直線，所以②錯誤．
對于③中，在空間中，沒有公共點的兩條直線是平行直線或者是異面直線，所以③錯誤．
對于④中，在空間中，兩條不平行的直線可能是異面直線，所以④錯誤．
故選：A．
例2．（2023·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉軸作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB=2，E是弧BC的中點，F是AB的中點，則（ ）
A．AE=CF，AC與EF是共面直線
B．，AC與EF是共面直線
C．AE=CF，AC與EF是異面直線
D．，AC與EF是異面直線
【答案】D
【解析】如圖，在底面半徑為1的圓柱中，母線，，是的中點，則，
因為是的中點，又，則，
，，
，
在中，是的中點，是的中點，，
與是共面直線，
若AC與EF是共面直線，則在同一平面，顯然矛盾，故AC與EF是異面直線
故選：D．
例3．（23-24高三上·陜西西安·期末）如圖，在長方體中，，異面直線與所成的的余弦值為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把異面直線所成的角，轉化為平面角，再用解三角形的方法求解.
【詳解】連接，交于點，取的中點，連接.
因為，所以與所成的角為（或其補角）.
令，在中，由，得.
又，，
由余弦定理得，即，解得，
所以.
故選：C
變式訓練1．（2023·全國·高三對口高考）兩條直線分別和異面直線都相交，則直線的位置關系是（ ）
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．可能是平行直線 D．可能是異面直線，也可能是相交直線
【答案】D
【解析】已知直線與是異面直線，直線與直線分別與兩條直線與直線相交于點，

根據題意可得當點與點重合時，兩條直線相交，當點與點不重合時，兩條直線異面，
所以直線的位置關系是異面或相交.
故選:D．
變式訓練2．（23-24高二上·云南玉溪·期末）（多選題）在正方體中，E，F分別是線段BC，的中點，則（ ）
A．
B．
C．異面直線，EF所成角的正切值為
D．異面直線，EF所成角的正切值為
【答案】ABC
【分析】首先做出圖形，結合題目進行分析，F是線段的中點，故，故A正確.進而可得B正確. 由正方體的性質知，可知C正確.再進行分析則異面直線，EF所成角即為直線BC，EF所成角，故D錯誤.
【詳解】如圖所示，F是線段的中點，連接交于F，F是線段的中點，故，故A正確；
又，故，故B正確；
由正方體的性質知，則異面直線，EF所成角即為直線，EF所成角，
故是異面直線EF與所成角，故，故C正確：
由正方體的性質知，則異面直線，EF所成角即為直線BC，EF所成角，
故是異面直線EF與所成角，故，故D錯誤，
故選：ABC．
變式訓練3．（20-21高一下·湖南張家界·期中）（多選題）如圖，在正方體中，、、、、、分別是棱、、、、、的中點，則下列結論錯誤的是（ ）

A．直線和平行，和相交
B．直線和平行，和相交
C．直線和相交，和異面
D．直線和異面，和異面
【答案】ACD
【分析】利用平行線的傳遞性可判斷出直線和平行，利用三角形全等可證得和相交，由異面直線的定義可判斷出和異面，即可得出合適的選項.
【詳解】如下圖所示：

因為、分別為、的中點，則，同理可證，
在正方體中，且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，所以，，
延長交直線于點，
因為，則，
又因為，，所以，，所以，，
延長交的延長線于點，同理可證，
因為，所以，，即點、重合，
所以，、相交，
由異面直線的定義結合圖形可知，、異面，故B對，ACD均錯.
故選：ACD.
重難點題型二：直線與平面的位置關系
例4．（23-24高三上·河南周口·期末）已知是兩條不同的直線，為平面，，下列說法中正確的是（ ）
A．若，且與不垂直，則與一定不垂直
B．若與不平行，則與一定是異面直線
C．若，且，則與可能平行
D．若，則與可能垂直
【答案】D
【分析】結合點線面之間的關系逐項判斷即可得.
【詳解】對A：在平面內，存在無數條直線和垂直，故A錯誤；
對B：當時，與不是異面直線，故B錯誤；
對C：若，且，與為異面直線，故C錯誤；
對D：若，在內存在直線與垂直，故其可能與垂直，故D正確.
故選：D.
例5．（22-23高一下·上海寶山·階段練習）以下說法錯誤的是 .
①空間中三點確定一個平面
②一條直線及一個點確定一個平面
③兩條直線確定一個平面
④如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等.
【答案】①②③④
【分析】利用空間中點、線、面的位置關系及相關性質、公理、定理推論逐項分析即可.
【詳解】①若空間中不共線的三點確定一個平面，故錯誤；
②經過一條直線及直線外一點確定一個平面，故錯誤；
③由推論3、4兩條相交或平行直線確定一個平面，故錯誤；
④如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補.
故錯誤；
故答案為：①②③④.
例6．（23-24高二上·上海·期末）下列命題中，為假命題的是（ ）
A．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
B．垂直于同一個平面的兩條直線平行
C．是空間兩條直線，若且，則
D．若直線垂直于平面內的兩條相交直線，則直線垂直于平面
【答案】C
【分析】根據空間中的點線面的關系即可求解.
【詳解】對于A，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，正確；
對于B，垂直于同一個平面的兩條直線平行，正確；
對于C，是空間兩條直線，若且，則或者異面，故C錯誤；
對于D，根據線面垂直的判定定理即可知D正確.
故選：C
變式訓練4．（22-23高一下·江蘇南京·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．若直線與平面平行，則與平面內的任意一條直線都沒有公共點．
B．若直線上有無數個點不在平面內，則直線l與平面平行．
C．若直線與平面平行，則與平面內的任意一條直線都平行．
D．若兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條直線也與這個平面平行．
【答案】A
【分析】根據線線，線面平行的定義和關系，即可判斷選項.
【詳解】根據線面平行的定義，可知A正確；
若直線上有無數個點不在平面內，則直線l與平面平行或相交，故B錯誤；
若直線與平面平行，則與平面內的任意一條直線都平行或異面，故C錯誤；
若兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條直線與這個平面平行或在平面內，故D錯誤.
故選：A
變式訓練5．（22-23高一下·浙江·期中）若直線不平行平面，則以下命題成立的是 .
①內的所有直線都與異面；
②內不存在與平行的直線；
③內直線都與相交；
④直線與平面有公共點.
【答案】④
【分析】由題意得到直線在平面內或直線與平面相交，判斷出①②③錯誤，④正確.
【詳解】因為直線不平行平面，所以直線與平面的位置關系是：直線在平面內或直線與平面相交，則內的不是所有直線都與異面
若直線在平面內，存在與平行的直線，①②③錯誤，④正確.
故答案為：④
變式訓練6．（2024高三·全國·專題練習）（多選題）設直線與平面相交但不垂直，則下列說法中錯誤的是（ ）．
A．在平面內有且只有一條直線與直線垂直
B．過直線有且只有一個平面與平面垂直
C．與直線垂直的直線不可能與平面平行
D．與直線平行的平面不可能與平面垂直
【答案】ACD
【分析】依據空間中直線與平面的位置關系，結合圖形判斷，，，的正誤即可.
【詳解】過直線與平面的交點與直線垂直的直線只有一條，在平面內與此直線平行的直線都與直線垂直，錯誤；

在直線上取一點，過該點作平面的垂線，兩條直線確定一個平面，該平面與平面垂直，所以過直線有且只有一個平面與平面垂直，正確；
類似于A，在平面外可能有無數條直線垂直于直線并且平行于平面，錯誤；
如圖，，，可作的平行平面，則且，錯誤.

故選：.
重難點題型三：平面與平面的位置關系
例7．（20-21高二上·云南曲靖·期中）如圖所示，用符號語言可表達為（ ）
A．，， B．，，
C．，，， D．，，，
【答案】A
【分析】結合圖形及點、線、面關系的表示方法判斷即可．
【詳解】如圖所示，兩個平面與相交于直線，直線在平面內，直線和直線相交于點，
故用符號語言可表達為，，，
故選：A
例8．（21-22高一下·上海浦東新·期末）已知是兩條不同直線， 是兩個不同平面，對下列命題：
①若，則.
②若，則且.
③若，，則.
④若，則.
⑤若，則.
其中正確的命題是 （填序號）.
【答案】③⑤
【分析】由給定條件，舉例說明判斷命題①②④，利用線面垂直的性質判斷③，利用線面平行的性質、線面垂直的判定、面面垂直的判定推理判斷⑤作答.
【詳解】如圖，長方體中，記平面為，
對于①，記直線為，直線為，則，但與相交，①不正確；
對于②，記平面為平面，直線為直線，直線為直線，滿足，而，②不正確；
對于③，因為，，所以，又，所以，③正確，
對于④，記平面為平面，直線為直線，直線為直線，滿足，而與是異面直線，④不正確；
對于⑤，因，則過直線作平面，令，如圖，
于是得，而，則有，由，所以，⑤正確.
故答案為：③⑤
變式訓練7．（23-24高二上·上海·期末）已知m、n是兩條不同直線，、、是三個不同平面，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】D
【分析】利用長方體中線面的關系，逐一確定各選項.
【詳解】
A選項：令平面為平面，為直線，為直線，
有：，，但，A錯誤；
B選項：令平面為平面，令平面為平面，
令平面為平面，有：，，而，B錯誤；
C選項：令平面為平面，令平面為平面，為直線，
有：，，則，而，C錯誤；
D選項：垂直與同一平面的兩直線一定平行，D正確.
故選：D
變式訓練8．（23-24高二上·上海·期中）已知是空間的兩條不同直線，是兩個不同的平面，下列四個命題中真命題的編號是 .
①．，則 ②．，則
③．，則 ④．，則
【答案】①④
【分析】根據空間中直線與平面的位置關系一一判斷.
【詳解】對①，因為，所以，
又因為，所以，①正確；
對②，由，可得或，②錯誤；
對③，由，可得直線與平面的位置關系可以是平行或相交，③錯誤；
對④，因為，所以，④正確；
故答案為：①④.
重難點題型四：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”、
例9．（23-24高二上·北京·階段練習）如圖，在空間四邊形中，、分別是、的中點，，分別在，上，且.

(1)求證：；
(2)設與交于點，求證：三點共線.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由中位線性質和線段成比例即可得證.
（2）利用兩個平面內的公共點在兩個平面的交線上，即可得證.
【詳解】（1）、分別是、的中點，
，
，，
.
（2）因為，
，平面，
所以平面，同理平面.
所以是平面與平面的公共點，
又平面平面，
所以，所以三點共線
例10．（2023·四川瀘州·三模）如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，分別為，的中點．

(1)求證：直線、、交于一點；
(2)若，求多面體的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據題意可得四邊形為梯形，再根據平面的性質證明三線交于一點；
（2）根據題意利用割補法求體積.
【詳解】（1）連接、，
因為、分別為、的中點，所以且．
因為是直四棱柱，且底面是正方形，
所以，且，即四邊形是平行四邊形，
所以且，所以，且，
所以四邊形為梯形，所以與交于一點，記為，
即，且平面，平面，
所以平面，平面，
又因為平面平面，則直線，
所以直線、、交于一點.
（2）連接，
由題意可得：.

變式訓練9．（2023高三·全國·專題練習）如圖，在空間四邊形中， 分別在上，與交于點，求證：三點共線.

【答案】證明見解析
【分析】由基本事實3，證明點在兩平面的交線上即可.
【詳解】平面，
平面，同理，平面.
是平面與平面的公共點.
又平面平面，
,三點共線.

變式訓練10．（22-23高一下·四川綿陽·階段練習）如圖，已知正方體的棱長為分別為的中點.

(1)已知點滿足，求證四點共面；
(2)求三棱柱的表面積.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用正方體的結構特征，結合平行公理、平面基本事實推理作答.
（2）求出三棱柱各個面的面積作答.
【詳解】（1）在正方體中，取中點，連接，如圖，

因為是的中點，則，即四邊形是平行四邊形，
則有， 由，知為的中點，而為中點，于是，即有，
所以四點共面.
（2）顯然三棱柱是直三棱柱，，
上下兩個底面的面積和為，
側面積，
所以三棱柱的表面積.
重難點題型五：截面問題、
例11．（23-24高二上·江西·期末）如圖，正方體的棱長為2，點E，F分別是，的中點，過點，E，F的平面截該正方體所得的截面多邊形記為，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出輔助線，得到五邊形即為截面，根據三角形全等或相似得到各邊長度，求出截面周長.
【詳解】延長，與直線相交于，
連接與分別交于點，連接，
則五邊形即為截面，
正方體的棱長為2，點分別是的中點，
所以，
由得，
，，
所以分別為靠近的三等分點，故，
所以由勾股定理得，
，
，
所以的周長為.
故選：C.
例12．（23-24高三上·河北廊坊·期末）如圖所示，正四棱臺中，上底面邊長為3，下底面邊長為6，體積為，點在上且滿足，過點的平面與平面平行，且與正四棱臺各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先過點作于點，結合已知得，由棱臺體積公式得，由勾股定理得，再求出的長，最終根據相似三角形對應邊成比例即可得解.
【詳解】如圖所示，
過點作于點，因為，
所以，
則四棱臺的高為，則四棱臺的體積為，
解得，所以側棱長為.
如圖所示：
過于點，于點，連接，
由對稱性可知，
所以，
而，
所以，
所以，同理，
分別在棱上取點，使得，
易得，
所以截面多邊形的周長為.
故選：D.
變式訓練11．（2023·河南·模擬預測）在正四棱柱中，，點分別是，的中點，則過點的平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先作出圖形，然后分析圖形的特征，求出邊長，進而得出周長.
【詳解】如圖，延長交的延長線于點，交的延長線于點，
連接并延長交于點，交的延長線于點，
連接，分別交，于點，，
連接，，則六邊形所在平面即為平面，
六邊形即為過點的平面截正四棱柱所得的截面多邊形，
由全等三角形可知，，，分別為，，的中點，
因為，所以，
所以六邊形的周長為．
故選：D．

變式訓練12．（22-23高一下·天津南開·期中）如圖，正方體的棱長為2，E是側棱的中點，則平面截正方體所得的截面圖形的周長是 .
【答案】
【分析】為中點，則截面圖形為梯形，利用勾股定理求各邊的長，可得周長.
【詳解】為中點，連接，
正方體中，，，則四邊形為平行四邊形，
有，，
為中點，是的中點，則，得，
則平面截正方體所得的截面圖形為梯形，
其中，，，
則梯形的周長為 即所得的截面圖形的周長是
故答案為：
變式訓練13．（22-23高一下·江蘇淮安·期中）正方體的棱長為1，當，，分別是，，的中點時，平面截正方體所截面的周長為
【答案】
【分析】先作出平面截正方體所得截面，進而求得該截面的周長.
【詳解】連接并延長交延長線于Q，則
過Q作，交于H，交于K，則，
過K作，交于T，連接，
則六邊形即為平面截正方體所得截面，
又均為棱的中點，則截面的周長為
故答案為：
1．（23-24高二上·上海·期末）如果直線a和b沒有公共點，那么a與b（　　）
A．共面 B．平行
C．可能平行，也可能是異面直線 D．是異面直線
【答案】C
【分析】根據直線a和b沒有公共點，結合空間直線的位置關系進行判斷．
【詳解】∵直線a和b沒有公共點，
∴直線a與b不是相交直線．
∴直線a與b可能是相交直線或異面直線．
故選：C．
2．（23-24高二上·廣西桂林·開學考試）已知是空間中兩個不同的平面，是空間中兩條不同的直線，下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】C
【分析】根據題意，結合線面位置關系的判定與性質定理，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，若，則或，所以A錯誤；
對于B中，若，則，所以和相交、平面或異面，所以B錯誤；
對于C中，由，可得，又因為，所以，所以C正確；
對于D中，如圖所示，若，此時與不一定垂直，所以D不正確.
故選：C.

3．（22-23高一下·河北石家莊·期中）（多選題）下列說法中正確的是（ ）
A．若直線與平面不平行，則l與相交
B．直線在平面外，則直線上不可能有兩個點在平面內
C．如果直線上有兩個點到平面的距離相等，則直線與平面平行
D．如果是異面直線，，，則，是異面直線
【答案】BD
【分析】根據線線、線面位置關系有關知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】對A，若直線與平面不平行，則與相交或，故A錯誤；
對B，直線在平面外，則直線與平面平行或相交，
故直線在平面無交點或僅有個交點，故B正確；
對C，若直線與平面相交，
直線上仍存在兩個在平面不同側的點到平面的距離相等，則故C錯誤；
對D，如果是異面直線，，則異面，
則是異面直線，故D正確.
故選：BD
4．（22-23高三上·山東青島·期中）（多選題）如圖，在長方體中，，M，N分別為棱的中點，則下列說法正確的是（ ）
A．M，N，A，B四點共面 B．直線與平面相交
C．直線和所成的角為 D．平面和平面的夾角的正切值為2
【答案】BCD
【分析】A：連接，根據、、與面位置關系即可判斷；B：為中點，連接，易得，根據它們與面的位置關系即可判斷；C：若分別是中點，連接，易知直線和所成的角為，再證明△為等邊三角形即可得大小；D：若分別是中點，求面和面的夾角即可，根據面面角的定義找到其平面角即可.
【詳解】A：連接，如下圖面，而面，面，
所以M，N，A，B四點不共面，錯誤；
B：若為中點，連接，N為棱的中點，
由長方體性質知：，顯然面，
若面，而面，顯然有矛盾，
所以直線與平面相交，正確；
C：若分別是中點，連接，
由長方體性質易知：，
而，故，即直線和所成的角為，
由題設，易知，即△為等邊三角形，
所以為，正確；
D：若分別是中點，顯然，易知共面，
所以平面和平面的夾角，即為面和面的夾角，
而面面，長方體中，，
如下圖，為和面夾角的平面角，，正確.
故選：BCD
5．（23-24高二上·廣東深圳·期末）在正方體的棱長為2，為中點，為中點，則異面直線與所成角的余弦值為 .
【答案】/
【分析】構造平行線，得到兩條異面直線所成的角，解三角形得到所求角的余弦.
【詳解】如圖：
取的中點，連接，，因為，故即為異面直線與所成的角.
在中，，，
由余弦定理：.
故答案為：
6．（23-24高二上·上海·期末）如圖，在正四棱柱中，分別是棱的中點，直線過點．
①存在唯一的直線與直線和直線都相交；
②存在唯一的直線與直線和直線所成的角都是；
③存在唯一的直線與直線和直線都垂直；
以上三個命題中，所有真命題的序號是 .
【答案】①③
【分析】根據異面直線的性質以及夾角即可結合選項求解.
【詳解】對于①，若直線與直線相交，則直線在平面內，若直線與直線相交，則直線在平面內，
因此直線為平面與平面的交線，因此只有一條；
對于②，直線和直線所成角為，其補角為，，故應該是三條直線；
對于③，異面直線的公垂線有且只有一條，過點作與公垂線平行的直線即可；
故答案為：①③.
7．（23-24高二上·四川自貢·階段練習）如圖，在正方體中，點E，F分別為棱，AB的中點．

(1)求證：E、F、C、四點共面：
(2)求異面直線與BC所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）證明，即可得四點共面；
（2）由平行關系將異面直線所成角轉化為相交直線所成角，在平面內解三角形即可.
【詳解】（1）連接.
在中，點E，F分別為棱，AB的中點，
則，
在正方體中，，
，且，
四邊形是平行四邊形，
，則，
故、、、四點共面.

（2）由（1）知，，
則即為所求異面直線與BC所成的角，
設正方體的棱長為，
在中，，
則，
所以.
故所求異面直線與BC所成角的余弦值為．專題8 空間點、直線與平面之間的位置關系
知識點一．四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．
注意：（1）此公理是判定直線在平面內的依據；（2）此公理是判定點在面內的方法
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
注意：（1）此公理是確定一個平面的依據；（2）此公理是判定若干點共面的依據
推論①：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；
注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據
（2）此推論是判定若干平面重合的依據
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據
推論②：經過兩條相交直線，有且只有一個平面；
推論③：經過兩條平行直線，有且只有一個平面；
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據
（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據（比如證明三點共線、三線共點）
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
知識點二．直線與直線的位置關系
位置關系 相交（共面） 平行（共面） 異面
圖形
符號 a∥b
公共點個數 1 0 0
特征 兩條相交直線確定一個平面 兩條平行直線確定一個平面 兩條異面直線不同在如何一個平面內
知識點三．直線與平面的位置關系：有直線在平面內、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況．
位置關系 包含（面內線） 相交（面外線） 平行（面外線）
圖形
符號 ∥
公共點個數 無數個 1 0
知識點四．平面與平面的位置關系：有平行、相交兩種情況．
位置關系 平行 相交（但不垂直） 垂直
圖形
符號 ∥ ，
公共點個數 0 無數個公共點且都在唯一的一條直線上 無數個公共點且都在唯一的一條直線上
重難點題型一：直線與直線的位置關系
例1．（2021·高一課時練習）以下四個結論：
①若，則為異面直線；
②若，則為異面直線；
③沒有公共點的兩條直線是平行直線；
④兩條不平行的直線就一定相交．
其中正確答案的個數是（　　）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
例2．（2023·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉軸作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB=2，E是弧BC的中點，F是AB的中點，則（ ）
A．AE=CF，AC與EF是共面直線
B．，AC與EF是共面直線
C．AE=CF，AC與EF是異面直線
D．，AC與EF是異面直線
例3．（23-24高三上·陜西西安·期末）如圖，在長方體中，，異面直線與所成的的余弦值為，則（ ）
A． B． C． D．
變式訓練1．（2023·全國·高三對口高考）兩條直線分別和異面直線都相交，則直線的位置關系是（ ）
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．可能是平行直線 D．可能是異面直線，也可能是相交直線
變式訓練2．（23-24高二上·云南玉溪·期末）（多選題）在正方體中，E，F分別是線段BC，的中點，則（ ）
A．
B．
C．異面直線，EF所成角的正切值為
D．異面直線，EF所成角的正切值為
變式訓練3．（20-21高一下·湖南張家界·期中）（多選題）如圖，在正方體中，、、、、、分別是棱、、、、、的中點，則下列結論錯誤的是（ ）

A．直線和平行，和相交
B．直線和平行，和相交
C．直線和相交，和異面
D．直線和異面，和異面
重難點題型二：直線與平面的位置關系
例4．（23-24高三上·河南周口·期末）已知是兩條不同的直線，為平面，，下列說法中正確的是（ ）
A．若，且與不垂直，則與一定不垂直
B．若與不平行，則與一定是異面直線
C．若，且，則與可能平行
D．若，則與可能垂直
例5．（22-23高一下·上海寶山·階段練習）以下說法錯誤的是 .
①空間中三點確定一個平面
②一條直線及一個點確定一個平面
③兩條直線確定一個平面
④如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等.
例6．（23-24高二上·上海·期末）下列命題中，為假命題的是（ ）
A．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
B．垂直于同一個平面的兩條直線平行
C．是空間兩條直線，若且，則
D．若直線垂直于平面內的兩條相交直線，則直線垂直于平面
變式訓練4．（22-23高一下·江蘇南京·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．若直線與平面平行，則與平面內的任意一條直線都沒有公共點．
B．若直線上有無數個點不在平面內，則直線l與平面平行．
C．若直線與平面平行，則與平面內的任意一條直線都平行．
D．若兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條直線也與這個平面平行．
變式訓練5．（22-23高一下·浙江·期中）若直線不平行平面，則以下命題成立的是 .
①內的所有直線都與異面；
②內不存在與平行的直線；
③內直線都與相交；
④直線與平面有公共點.
變式訓練6．（2024高三·全國·專題練習）（多選題）設直線與平面相交但不垂直，則下列說法中錯誤的是（ ）．
A．在平面內有且只有一條直線與直線垂直
B．過直線有且只有一個平面與平面垂直
C．與直線垂直的直線不可能與平面平行
D．與直線平行的平面不可能與平面垂直
重難點題型三：平面與平面的位置關系
例7．（20-21高二上·云南曲靖·期中）如圖所示，用符號語言可表達為（ ）
A．，， B．，，
C．，，， D．，，，
例8．（21-22高一下·上海浦東新·期末）已知是兩條不同直線， 是兩個不同平面，對下列命題：
①若，則.
②若，則且.
③若，，則.
④若，則.
⑤若，則.
其中正確的命題是 （填序號）.
變式訓練7．（23-24高二上·上海·期末）已知m、n是兩條不同直線，、、是三個不同平面，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
變式訓練8．（23-24高二上·上海·期中）已知是空間的兩條不同直線，是兩個不同的平面，下列四個命題中真命題的編號是 .
①．，則 ②．，則
③．，則 ④．，則
重難點題型四：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”、
例9．（23-24高二上·北京·階段練習）如圖，在空間四邊形中，、分別是、的中點，，分別在，上，且.

(1)求證：；
(2)設與交于點，求證：三點共線.
例10．（2023·四川瀘州·三模）如圖，已知直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，分別為，的中點．

(1)求證：直線、、交于一點；
(2)若，求多面體的體積．
變式訓練9．（2023高三·全國·專題練習）如圖，在空間四邊形中， 分別在上，與交于點，求證：三點共線.

變式訓練10．（22-23高一下·四川綿陽·階段練習）如圖，已知正方體的棱長為分別為的中點.

(1)已知點滿足，求證四點共面；
(2)求三棱柱的表面積.
重難點題型五：截面問題、
例11．（23-24高二上·江西·期末）如圖，正方體的棱長為2，點E，F分別是，的中點，過點，E，F的平面截該正方體所得的截面多邊形記為，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
例12．（23-24高三上·河北廊坊·期末）如圖所示，正四棱臺中，上底面邊長為3，下底面邊長為6，體積為，點在上且滿足，過點的平面與平面平行，且與正四棱臺各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為（ ）
A． B． C． D．
變式訓練11．（2023·河南·模擬預測）在正四棱柱中，，點分別是，的中點，則過點的平面截正四棱柱所得截面多邊形的周長為（ ）
A． B． C． D．
變式訓練12．（22-23高一下·天津南開·期中）如圖，正方體的棱長為2，E是側棱的中點，則平面截正方體所得的截面圖形的周長是 .
變式訓練13．（22-23高一下·江蘇淮安·期中）正方體的棱長為1，當，，分別是，，的中點時，平面截正方體所截面的周長為
1．（23-24高二上·上海·期末）如果直線a和b沒有公共點，那么a與b（　　）
A．共面 B．平行
C．可能平行，也可能是異面直線 D．是異面直線
2．（23-24高二上·廣西桂林·開學考試）已知是空間中兩個不同的平面，是空間中兩條不同的直線，下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
3．（22-23高一下·河北石家莊·期中）（多選題）下列說法中正確的是（ ）
A．若直線與平面不平行，則l與相交
B．直線在平面外，則直線上不可能有兩個點在平面內
C．如果直線上有兩個點到平面的距離相等，則直線與平面平行
D．如果是異面直線，，，則，是異面直線
4．（22-23高三上·山東青島·期中）（多選題）如圖，在長方體中，，M，N分別為棱的中點，則下列說法正確的是（ ）
A．M，N，A，B四點共面 B．直線與平面相交
C．直線和所成的角為 D．平面和平面的夾角的正切值為2
5．（23-24高二上·廣東深圳·期末）在正方體的棱長為2，為中點，為中點，則異面直線與所成角的余弦值為 .
6．（23-24高二上·上海·期末）如圖，在正四棱柱中，分別是棱的中點，直線過點．
①存在唯一的直線與直線和直線都相交；
②存在唯一的直線與直線和直線所成的角都是；
③存在唯一的直線與直線和直線都垂直；
以上三個命題中，所有真命題的序號是 .
7．（23-24高二上·四川自貢·階段練習）如圖，在正方體中，點E，F分別為棱，AB的中點．

(1)求證：E、F、C、四點共面：
(2)求異面直線與BC所成角的余弦值．

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